正弦函数、余弦函数的性质-公开课课件
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(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常
要画出图象，结合图象判定．
变式训练 2 求下列函数的单调区间：
(1)y＝21sinπ4－23x；(2)y＝－sinx＋π4.
解 (1)y＝12sinπ4－23x＝－12sin23x－π4， 因为函数 y＝sin x 的递增区间是2kπ－π2，2kπ＋π2，(k∈Z)， 递减区间是2kπ＋2π，2kπ＋32π，(k∈Z)， 故由 2kπ－2π≤23x－π4≤2kπ＋π2⇒3kπ－38π≤x≤3kπ＋98π (k∈Z)， 由 2kπ＋2π≤23x－π4≤2kπ＋32π⇒3kπ＋98π≤x≤3kπ＋281π (k∈Z)， ∴函数的递减区间为3kπ－38π，3kπ＋98π (k∈Z)， 递增区间为3kπ＋98π，3kπ＋218π (k∈Z)．
题型三 三角函数的对称性与奇偶性
例 3 (1)(2010·陕西)函数 f(x)＝2sin xcos x 是
()
A．最小正周期为 2π 的奇函数
B．最小正周期为 2π 的偶函数
C．最小正周期为 π 的奇函数
D．最小正周期为 π 的偶函数
(2)函数 y＝sin2x＋π3图象的对称轴方程可能是 (
)
A．x＝－π6 B．x＝－1π2 C．x＝π6 D．x＝1π2
思维启迪 本题求函数的定义域：(1)需注意对 数的真数大于零，然后利用弦函数的图象求 解；(2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于 零，然后利用函数的图象或三角函数线求解．
解 (1)要使函数有意义，必须使 sin(cos x)>0. ∵－1≤cos x≤1，∴0<cos x≤1. 方法一 利用余弦函数的简图得知 定义域为{x|－π2＋2kπ<x<π2＋2kπ，k∈Z}． 方法二 利用单位圆中的余弦线 OM，依题意 知 0<OM≤1， ∴OM 只能在 x 轴的正半轴上， ∴其定义域为
点评 函数的定义域就是使函数解析式各部分有意 义的自变量的取值范围，因此转化为求不等式(组)的 解集问题来解决．要解三角不等式，常用的方法有二： 一是图象，二是三角函数线．
题型二 三角函数的单调性与周期性 例 2 写出下列函数的单调区间及周期：
(1)y＝sin－2x＋π3；(2)y＝|tan x|.
答案 (1)C (2)D
探究提高 若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当 x＝0 时， f(x)取得最大或最小值． 若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当 x＝0 时，f(x)＝0. 如果求 f(x)的对称轴，只需令 ωx＋φ＝π2＋kπ (k∈Z)，求 x. 如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令 ωx＋φ＝kπ (k∈Z) 即可．
2．对函数周期性概念的理解 (1)周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范 围的每一个 x 值都满足 f(x＋T)＝f(x)，其中 T 是不为零的 常数．如果只有个别的 x 值满足 f(x＋T)＝f(x)，或找到哪 怕只有一个 x 值不满足 f(x＋T)＝f(x)，都不能说 T 是函数 f(x)的周期． (2)从周期函数的定义，对于条件等式“f(x＋T)＝f(x)”可 以理解为自变量增加一个常数 T 后，函数值不变；从图象 的角度看就是，每相隔距离 T 图象重复出现．因此对于 f(ωx ＋φ＋T)＝f(ωx＋φ) (ω>0)，常数 T 不能说是函数 f(ωx＋φ) 的周期．因为 f(ωx＋φ)＝f ωx＋ωT ＋φ，即自变量由 x 增加到 x＋ωT，也就是ωT才是函数的周期．
思维启迪 (1)化为 y＝－sin2x－π3，再求单调 区间及周期．(2)y＝|tan x|的图象→y＝|tan x|的 图象→求单调性及周期．
解 (1)y＝－sin2x－π3， 它的增区间是 y＝sin2x－π3的减区间， 它的减区间是 y＝sin2x－π3的增区间． 由 2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z 得 kπ－1π2≤x≤kπ＋51π2，k∈Z. 由 2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋32π，k∈Z
的一个对称中心，若点 P 到图象 C 的对称 轴的距离的最小值是π4，则 f(x)的最小正周
期是( B )
A．2π
B．π
π C.2
π D.4
解析 由正弦函数的图象知对称中心与对 称轴的距离的最小值为最小正周期的14，故 f(x)的最小正周期为 T＝4×π4＝π.
5．函数 y＝sin2x＋π3的图象( A ) A．关于点π3，0对称 B．关于直线 x＝π4对称
基 1．础函自数测y＝tanπ4－x的定义域为__x_| _x___k____4__, k___Z__．
解析 π4－x≠2π＋kπ，k∈Z，
故 x≠－π4－kπ，k∈Z，
即 x≠－π4＋kπ，k∈Z.
2．已知函数 y＝asin x－b (a<0)的最大值为 2，最小值为 1， 则 a＝___12___，b＝____32____.
定义域
R
y＝cos x R
y＝tan x {x|x≠kπ＋π2，k∈Z}
图象
值域
[－1,1]
[－1,1]
对称轴：
对称性
_x_＝__k_π_＋__π2____ (k_∈__Z_) __；
对称轴：
_x_＝__k__π_(_k_∈___Z_)_；
对称中心：
对称中心：
(kπ，0)(k∈Z) (kπ＋π2，0) (k∈Z)
C．关于点π4，0对称 D．关于直线 x＝π3对称 解析 验证法：当 x＝π3时，sin2×π3＋π3＝sin π
＝0，所以 y＝sin2x＋π3的图象关于点π3，0对 称．
题型分类 深度剖析
题型一 与三角函数有关的函数定义域问题 例 1 求下列函数的定义域：
(1)y＝lgsin(cos x)；(2)y＝ sin x－cos x.
方法二 利用三角函数线，如图 MN 为正弦线，
OM 为余弦线，
要使 sin x≥cos x，即 MN≥OM， 则π4≤x≤54π(在[0,2π]内)． ∴定义域为x|π4＋2kπ≤x≤54π＋2kπ，k∈Z. 方法三 sin x－cos x＝ 2sinx－π4≥0， 将 x－π4视为一个整体，由正弦函数 y＝sin x 的 图象和性质可知 2kπ≤x－π4≤π＋2kπ，k∈Z， 解得 2kπ＋π4≤x≤54π＋2kπ，k∈Z.
所以定义域为 x|2kπ＋π4≤x≤54π＋2kπ，k∈Z.
探究提高 (1)对于含有三角函数式的(复合)函数 的定义域，仍然是使解析式有意义即可． (2)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式 (或等式)． (3)求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位 圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用 数轴．
得 kπ＋51π2≤x≤kπ＋1112π，k∈Z.
故 所 给 函 数 的 减 区 间 为 kπ－1π2，kπ＋51π2 ，
k∈Z；增区间为kπ＋51π2，kπ＋1112π，k∈Z. 最小正周期 T＝22π＝π.
(2) 观 察 图 象 可 知 ， y ＝ |tan x| 的 增 区 间 是 kπ，kπ＋π2，k∈Z，减区间是kπ－π2，kπ， k∈Z.最小正周期：T＝π.
(2)对于 y＝Atan(ωx＋ ) (A、ω、 为常数)，其周期 T ＝|ωπ |，单调区间利用 ωx＋ ∈kπ－π2，kπ＋π2，解出
x 的取值范围，即为其单调区间．对于复合函数 y＝f(v)，
v＝ (x)，其单调性判定方法是：若 y＝f(v)和 v＝ (x) 同为ห้องสมุดไป่ตู้(减)函数时，y＝f( (x))为增函数；若 y＝f(v) 和 v＝ (x)一增一减时，y＝f( (x))为减函数．
思维启迪 (1)可以先化简为 y＝sin 2x，再判断周期及奇
偶性． (2)对 y＝sin x 的对称轴为 x＝π2＋kπ，把“ωx＋φ”看作
一个整体，即可求．
解析 (1)∵f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x， ∴f(x)是最小正周期为 π 的奇函数． (2)令 2x＋π3＝kπ＋π2 (k∈Z)，得 x＝k2π＋1π2(k∈Z)， 令 k＝0 得该函数的一条对称轴为 x＝1π2.本题也可用 代入验证法来解．
(2)作出函数 y＝－sinx＋π4的简图(如图)， 由 图 象 得 函 数 的 递 增 区 间 为 kπ＋π4，kπ＋34π
(k∈Z)，递减区间为kπ－π4，kπ＋π4 (k∈Z)．
点评 (1)熟练掌握正、余弦函数 y＝sin x、y＝cos x 单调 区间是迅速正确求解正、余弦型函数的单调区间的关 键．特别提醒，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明 k∈Z. (2)在求 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要特别注意 A 和 ω 的符号，若 ω<0，则通过诱导公式先将 ω 化正再求．
[难点正本 疑点清源] 1．关于正、余弦函数的有界性
由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈ R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以 1 叫做 y＝sin x，y＝cos x 的上确界,－1 叫做 y＝sin x，y＝ cos x 的下确界． 在解含有正余弦函数的问题时，要注意深入挖掘正、 余弦函数的有界性．
奇偶性
奇
偶
奇
3.一般地对于函数 f(x)，如果存在一个非零的常数 T，使 得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)， 那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函 数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正
周期(函数的周期一般指最小正周期)．函数 y＝Asin(ωx ＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0 且为常数)的周期 T＝2ωπ， 函数 y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期 T＝ωπ.
R
对称中心：
k2π，0(k∈Z)
周期
2π
2π
π
单调性
单调增区间[2kπ－π2， 单调增区间 [2kπ－
2kπ＋2π](k∈Z) ； π，2kπ] (k∈Z) ； 单2k调π＋减3区2π]间(k∈[2kZπ)＋π2，单2k调π＋减π区](k间∈[Z2)kπ，
单调增区间 (kπ－π2，kπ＋π2) (k∈Z)
§4.3 三角函数的图象与性质
基础知识
要点梳理 1．“五点法”作图原理
自主学习
在确定正弦函数 y＝sin x 在[0,2π]上的图象形状时，起
关键作用的五个点是 (0,0) 、 π2，1 、(π，0) 、 (2π,0) 、 32π，－1 .
余弦函数呢？
2．三角函数的图象和性质 函数性质 y＝sin x
x|－π2＋2kπ<x<π2＋2kπ，k∈Z.
(2)要使函数有意义，必须使 sin x－cos x≥0. 方法一 利用图象．在同一坐标系中画出[0,2π]上
y＝sin x 和 y＝cos x 的图象，如图所示． 在[0,2π]内，满足 sin x＝cos x 的 x 为π4，54π，再结 合正弦、余弦函数的周期是 2π，所以定义域为 x|π4＋2kπ≤x≤54π＋2kπ，k∈Z.
变式训练 1 求下列函数的定义域： (1)y＝ 2＋log12x＋ tan x； (2)y＝ sincos x.
解
2＋log12x≥0 (1)tan x≥0
⇒
x>0
0<x≤4 kπ≤x<kπ＋π2，k∈Z
⇒0<x<2π或 π≤x≤4，
所以函数的定义域是0，π2∪[π，4]．
(2)sin(cos x)≥0⇒0≤cos x≤1 ⇒2kπ－π2≤x≤2kπ＋π2，k∈Z. 所以函数的定义域为 x|2kπ－π2≤x≤2kπ＋π2，k∈Z.
解析 ∵－1≤sin x≤1， ∴a－b≤asin x－b≤－a－b， ∴－ a－a－ b＝b＝ 1 2 ，∴a＝－12，b＝－32. 3．函数 y＝1－2sin xcos x 的最小正周期为___π_____． 解析 y＝1－sin 2x，T＝22π＝π.
4．设点 P 是函数 f(x)＝sin ωx (ω≠0)的图象 C
探究提高 (1)求形如 y＝Asin(ωx＋ )或 y＝Acos(ωx＋ ) (其中 A≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式 的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋ (ω>0)” 视为一个“整体”；②A>0 (A<0)时，所列不等式的方向与 y ＝sin x (x∈R)，y＝cos x (x∈R)的单调区间对应的不等式 方向相同(反)．
要画出图象，结合图象判定．
变式训练 2 求下列函数的单调区间：
(1)y＝21sinπ4－23x；(2)y＝－sinx＋π4.
解 (1)y＝12sinπ4－23x＝－12sin23x－π4， 因为函数 y＝sin x 的递增区间是2kπ－π2，2kπ＋π2，(k∈Z)， 递减区间是2kπ＋2π，2kπ＋32π，(k∈Z)， 故由 2kπ－2π≤23x－π4≤2kπ＋π2⇒3kπ－38π≤x≤3kπ＋98π (k∈Z)， 由 2kπ＋2π≤23x－π4≤2kπ＋32π⇒3kπ＋98π≤x≤3kπ＋281π (k∈Z)， ∴函数的递减区间为3kπ－38π，3kπ＋98π (k∈Z)， 递增区间为3kπ＋98π，3kπ＋218π (k∈Z)．
题型三 三角函数的对称性与奇偶性
例 3 (1)(2010·陕西)函数 f(x)＝2sin xcos x 是
()
A．最小正周期为 2π 的奇函数
B．最小正周期为 2π 的偶函数
C．最小正周期为 π 的奇函数
D．最小正周期为 π 的偶函数
(2)函数 y＝sin2x＋π3图象的对称轴方程可能是 (
)
A．x＝－π6 B．x＝－1π2 C．x＝π6 D．x＝1π2
思维启迪 本题求函数的定义域：(1)需注意对 数的真数大于零，然后利用弦函数的图象求 解；(2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于 零，然后利用函数的图象或三角函数线求解．
解 (1)要使函数有意义，必须使 sin(cos x)>0. ∵－1≤cos x≤1，∴0<cos x≤1. 方法一 利用余弦函数的简图得知 定义域为{x|－π2＋2kπ<x<π2＋2kπ，k∈Z}． 方法二 利用单位圆中的余弦线 OM，依题意 知 0<OM≤1， ∴OM 只能在 x 轴的正半轴上， ∴其定义域为
点评 函数的定义域就是使函数解析式各部分有意 义的自变量的取值范围，因此转化为求不等式(组)的 解集问题来解决．要解三角不等式，常用的方法有二： 一是图象，二是三角函数线．
题型二 三角函数的单调性与周期性 例 2 写出下列函数的单调区间及周期：
(1)y＝sin－2x＋π3；(2)y＝|tan x|.
答案 (1)C (2)D
探究提高 若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当 x＝0 时， f(x)取得最大或最小值． 若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当 x＝0 时，f(x)＝0. 如果求 f(x)的对称轴，只需令 ωx＋φ＝π2＋kπ (k∈Z)，求 x. 如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令 ωx＋φ＝kπ (k∈Z) 即可．
2．对函数周期性概念的理解 (1)周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范 围的每一个 x 值都满足 f(x＋T)＝f(x)，其中 T 是不为零的 常数．如果只有个别的 x 值满足 f(x＋T)＝f(x)，或找到哪 怕只有一个 x 值不满足 f(x＋T)＝f(x)，都不能说 T 是函数 f(x)的周期． (2)从周期函数的定义，对于条件等式“f(x＋T)＝f(x)”可 以理解为自变量增加一个常数 T 后，函数值不变；从图象 的角度看就是，每相隔距离 T 图象重复出现．因此对于 f(ωx ＋φ＋T)＝f(ωx＋φ) (ω>0)，常数 T 不能说是函数 f(ωx＋φ) 的周期．因为 f(ωx＋φ)＝f ωx＋ωT ＋φ，即自变量由 x 增加到 x＋ωT，也就是ωT才是函数的周期．
思维启迪 (1)化为 y＝－sin2x－π3，再求单调 区间及周期．(2)y＝|tan x|的图象→y＝|tan x|的 图象→求单调性及周期．
解 (1)y＝－sin2x－π3， 它的增区间是 y＝sin2x－π3的减区间， 它的减区间是 y＝sin2x－π3的增区间． 由 2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z 得 kπ－1π2≤x≤kπ＋51π2，k∈Z. 由 2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋32π，k∈Z
的一个对称中心，若点 P 到图象 C 的对称 轴的距离的最小值是π4，则 f(x)的最小正周
期是( B )
A．2π
B．π
π C.2
π D.4
解析 由正弦函数的图象知对称中心与对 称轴的距离的最小值为最小正周期的14，故 f(x)的最小正周期为 T＝4×π4＝π.
5．函数 y＝sin2x＋π3的图象( A ) A．关于点π3，0对称 B．关于直线 x＝π4对称
基 1．础函自数测y＝tanπ4－x的定义域为__x_| _x___k____4__, k___Z__．
解析 π4－x≠2π＋kπ，k∈Z，
故 x≠－π4－kπ，k∈Z，
即 x≠－π4＋kπ，k∈Z.
2．已知函数 y＝asin x－b (a<0)的最大值为 2，最小值为 1， 则 a＝___12___，b＝____32____.
定义域
R
y＝cos x R
y＝tan x {x|x≠kπ＋π2，k∈Z}
图象
值域
[－1,1]
[－1,1]
对称轴：
对称性
_x_＝__k_π_＋__π2____ (k_∈__Z_) __；
对称轴：
_x_＝__k__π_(_k_∈___Z_)_；
对称中心：
对称中心：
(kπ，0)(k∈Z) (kπ＋π2，0) (k∈Z)
C．关于点π4，0对称 D．关于直线 x＝π3对称 解析 验证法：当 x＝π3时，sin2×π3＋π3＝sin π
＝0，所以 y＝sin2x＋π3的图象关于点π3，0对 称．
题型分类 深度剖析
题型一 与三角函数有关的函数定义域问题 例 1 求下列函数的定义域：
(1)y＝lgsin(cos x)；(2)y＝ sin x－cos x.
方法二 利用三角函数线，如图 MN 为正弦线，
OM 为余弦线，
要使 sin x≥cos x，即 MN≥OM， 则π4≤x≤54π(在[0,2π]内)． ∴定义域为x|π4＋2kπ≤x≤54π＋2kπ，k∈Z. 方法三 sin x－cos x＝ 2sinx－π4≥0， 将 x－π4视为一个整体，由正弦函数 y＝sin x 的 图象和性质可知 2kπ≤x－π4≤π＋2kπ，k∈Z， 解得 2kπ＋π4≤x≤54π＋2kπ，k∈Z.
所以定义域为 x|2kπ＋π4≤x≤54π＋2kπ，k∈Z.
探究提高 (1)对于含有三角函数式的(复合)函数 的定义域，仍然是使解析式有意义即可． (2)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式 (或等式)． (3)求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位 圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用 数轴．
得 kπ＋51π2≤x≤kπ＋1112π，k∈Z.
故 所 给 函 数 的 减 区 间 为 kπ－1π2，kπ＋51π2 ，
k∈Z；增区间为kπ＋51π2，kπ＋1112π，k∈Z. 最小正周期 T＝22π＝π.
(2) 观 察 图 象 可 知 ， y ＝ |tan x| 的 增 区 间 是 kπ，kπ＋π2，k∈Z，减区间是kπ－π2，kπ， k∈Z.最小正周期：T＝π.
(2)对于 y＝Atan(ωx＋ ) (A、ω、 为常数)，其周期 T ＝|ωπ |，单调区间利用 ωx＋ ∈kπ－π2，kπ＋π2，解出
x 的取值范围，即为其单调区间．对于复合函数 y＝f(v)，
v＝ (x)，其单调性判定方法是：若 y＝f(v)和 v＝ (x) 同为ห้องสมุดไป่ตู้(减)函数时，y＝f( (x))为增函数；若 y＝f(v) 和 v＝ (x)一增一减时，y＝f( (x))为减函数．
思维启迪 (1)可以先化简为 y＝sin 2x，再判断周期及奇
偶性． (2)对 y＝sin x 的对称轴为 x＝π2＋kπ，把“ωx＋φ”看作
一个整体，即可求．
解析 (1)∵f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x， ∴f(x)是最小正周期为 π 的奇函数． (2)令 2x＋π3＝kπ＋π2 (k∈Z)，得 x＝k2π＋1π2(k∈Z)， 令 k＝0 得该函数的一条对称轴为 x＝1π2.本题也可用 代入验证法来解．
(2)作出函数 y＝－sinx＋π4的简图(如图)， 由 图 象 得 函 数 的 递 增 区 间 为 kπ＋π4，kπ＋34π
(k∈Z)，递减区间为kπ－π4，kπ＋π4 (k∈Z)．
点评 (1)熟练掌握正、余弦函数 y＝sin x、y＝cos x 单调 区间是迅速正确求解正、余弦型函数的单调区间的关 键．特别提醒，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明 k∈Z. (2)在求 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要特别注意 A 和 ω 的符号，若 ω<0，则通过诱导公式先将 ω 化正再求．
[难点正本 疑点清源] 1．关于正、余弦函数的有界性
由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈ R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以 1 叫做 y＝sin x，y＝cos x 的上确界,－1 叫做 y＝sin x，y＝ cos x 的下确界． 在解含有正余弦函数的问题时，要注意深入挖掘正、 余弦函数的有界性．
奇偶性
奇
偶
奇
3.一般地对于函数 f(x)，如果存在一个非零的常数 T，使 得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)， 那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函 数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正
周期(函数的周期一般指最小正周期)．函数 y＝Asin(ωx ＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0 且为常数)的周期 T＝2ωπ， 函数 y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期 T＝ωπ.
R
对称中心：
k2π，0(k∈Z)
周期
2π
2π
π
单调性
单调增区间[2kπ－π2， 单调增区间 [2kπ－
2kπ＋2π](k∈Z) ； π，2kπ] (k∈Z) ； 单2k调π＋减3区2π]间(k∈[2kZπ)＋π2，单2k调π＋减π区](k间∈[Z2)kπ，
单调增区间 (kπ－π2，kπ＋π2) (k∈Z)
§4.3 三角函数的图象与性质
基础知识
要点梳理 1．“五点法”作图原理
自主学习
在确定正弦函数 y＝sin x 在[0,2π]上的图象形状时，起
关键作用的五个点是 (0,0) 、 π2，1 、(π，0) 、 (2π,0) 、 32π，－1 .
余弦函数呢？
2．三角函数的图象和性质 函数性质 y＝sin x
x|－π2＋2kπ<x<π2＋2kπ，k∈Z.
(2)要使函数有意义，必须使 sin x－cos x≥0. 方法一 利用图象．在同一坐标系中画出[0,2π]上
y＝sin x 和 y＝cos x 的图象，如图所示． 在[0,2π]内，满足 sin x＝cos x 的 x 为π4，54π，再结 合正弦、余弦函数的周期是 2π，所以定义域为 x|π4＋2kπ≤x≤54π＋2kπ，k∈Z.
变式训练 1 求下列函数的定义域： (1)y＝ 2＋log12x＋ tan x； (2)y＝ sincos x.
解
2＋log12x≥0 (1)tan x≥0
⇒
x>0
0<x≤4 kπ≤x<kπ＋π2，k∈Z
⇒0<x<2π或 π≤x≤4，
所以函数的定义域是0，π2∪[π，4]．
(2)sin(cos x)≥0⇒0≤cos x≤1 ⇒2kπ－π2≤x≤2kπ＋π2，k∈Z. 所以函数的定义域为 x|2kπ－π2≤x≤2kπ＋π2，k∈Z.
解析 ∵－1≤sin x≤1， ∴a－b≤asin x－b≤－a－b， ∴－ a－a－ b＝b＝ 1 2 ，∴a＝－12，b＝－32. 3．函数 y＝1－2sin xcos x 的最小正周期为___π_____． 解析 y＝1－sin 2x，T＝22π＝π.
4．设点 P 是函数 f(x)＝sin ωx (ω≠0)的图象 C
探究提高 (1)求形如 y＝Asin(ωx＋ )或 y＝Acos(ωx＋ ) (其中 A≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式 的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋ (ω>0)” 视为一个“整体”；②A>0 (A<0)时，所列不等式的方向与 y ＝sin x (x∈R)，y＝cos x (x∈R)的单调区间对应的不等式 方向相同(反)．