第一节 样本空间与概率

集合(事件){ x | x A}称为A相对于Ω的补集(对立事件),记为 A .
并集（和事件）A B { x | x A或x B}, 交集（积事件）A B { x | x A且(和）x B},
Ω
A
A
Ω B
B A
阴影部分是
Ω
B
阴影部分是 A B
阴影部分是 A B
C
3 10
1 2
(1) A含有的基本事件总数为 C 2 C 8
1 2
8 所以 P( A) C 2 C 3
1
2
C
10
2
7 15
2 1
(2)B含有的基本事件总数为 C 2 C 8 C 2 C 8
2
1
P( B )
C 2C8 C 2C8 C
3 10
1

8 15
例2 一部五卷的文集按任意顺序放到书架上,求下列事件的概率: (1)A=“各卷自左向右或自右向左的卷号恰为1,2,3,4,5”; (2)B=“第一卷及第五卷分别在两端”.
A ( B C ) ( A B) ( A C )
A A A
A ( B C ) ( A B) ( A C )
A A
A A
AA
摩根定律：
一般情形：
ห้องสมุดไป่ตู้
A B A B
An An
n n
A B A B
第一章 样本空间与概率
1.1 序言
生活中的概率实例：病人家属和护士的对话
1.2 概率模型
概率模型的基本构成：
样本空间Ω，这是一个实验的所有可能结果的集合
概率律，概率律为实验结果的集合A（称之为事件）确定 一 个非负数P（A）（称为事件A的概率）。这个非负数
刻画了我们对事件A的认识或所产生的信念的程度。概率
C1 1 （1）事件A包含的基本事件总数为 C 所以 P (A) 43 . 27 3 1 2 2 C 4 P2 （2）事件B包含的基本事件总数为 C 3
1 3
2 2 C1 C P 4 4 2 所以 P(B) 3 4 9. 3
例4 假设有100件产品,其中有60件一等品,30件二等品,10件三等品. (1) 从中随机一次抽取两件,求两件均为一等品的概率; (2) 从中每次随机抽取1件,连续两次,求抽到两件一等品的概率; 解 (1)略 (2)分为两种情形:重复抽样(有放回抽样),基本事件总数1002, A所含基本事件个数为602,所以
1.2.2 选择适当的样本空间
1、在确定样本空间的时候，不同的实验结果必须相互排斥。
例如，掷骰子的试验中，我们可以把{1,2,3}定义为一个结果，记 为ω1，把{4,5,6}定义为另一个结果，记为ω2，于是样本空间为 Ω={ω1，ω2}
但是不能把{1,2,3}定义为一个结果，同时把{1,4,5}也定义为一 个结果，因为如果这样定义，当出现“1”时，就不知道得到 什么结果了。
2、对同一个实验，根据我们的兴趣可以确定不同的模型。 注：但在确定模型时，不能遗漏样本空间中的任何一个结 果，也就是实验过程中总能够得到样本空间中的一个结果。 另外，建立样本空间时，一方面要避免不必要的麻烦，同时 清楚的刻画我们感兴趣的事件。
例:考虑两个不同的游戏，他们都涉及连续抛掷10次硬币。
游戏1：每次抛掷硬币的时候，只要正面向上，我们就赢1元 游戏2：在抛掷硬币的时候，知道第一次出现正面朝上（含 正面朝上的那一次),以前的每次抛掷都赢1元（若10次都正面向 下，赢10元）。若第一次正面朝上以后还有机会抛掷硬币，则 以后每次赢2元，直到第二次出现正面向上。每次抛掷得到正面 向上的时候，以后每次抛掷硬币所赢的钱数比以前每次抛掷硬 币所赢得的钱数加倍。
更一般的，若 A1 , A2 ,... 是一个互不相容的事件序列，则他们
的并满足
P ( A1 A2 ...) P ( A1 ) P ( A2 ) ...
P () 1
（3）（归一化）整个样本空间Ω（必然事件）的概率为1
1、为了形象的理解概率的概念，可以把样本空间中的实验 结果看成是质点每个质点有一个质量。P(A)就是这个质点集合的 总质量，而全空间的总质量为1.这样，可加性的公理理解为：不 相交的事件序列的总质量等于各个事件的质量总和。 2、概率更具体的解释是频率。例如P(A)=2/3表示：在大量 重复试验中事件A出现的频率约为2/3.(p8投硬币实验） 3、概率的很多性质没有包含在公理中，但可以从公理系统 中推导出来。例如，由可加性和归一性可得：
602 P ( B) 0.36 2 100
不重复抽样(无放回抽样)基本事件总数为100×99,A所含的基 本事件个数为60×59,所以
60 59 59 P ( A) 0.3576 100 99 165
1.2.8连续模型 例1 赌场中有一种叫做幸运轮的赌具，在轮子上有均匀连续的 刻度，范围为0~1,。当转动的轮子停止时，固定的指针会留在刻 度上。这样，产生的实验结果是[0,1]之间的一个数，是指针所指 向的位置的刻度。 因此样本空间为Ω=[0,1]。 假如轮子是均匀的，可以认为轮子上的每一个点在实验中都 是等可能的。但一个单点在试验中出现的可能性是多大呢？ 它不可能是正数。否则的话，若单点出现的概率为正，看利用可 加性，可导致某些事件的概率大于1的荒谬结论。 因此，单点所组成的事件的概率必定为0. 对于连续模型，若每一个结果在试验中的出现是等可能的，称 为几何概型，并且有：
例3（课本例4）某射手连续3次向某一目标射击。用“1”表 示击中，“0”表示未击中，其样本空间可用树状图表示如下：
1 1 1 0
每一个实验结果可以用一 个末端的树叶表示，或等价 的用由树叶到根部的一个路 径表示。 树状图的优点是可以表示 实验的顺序特征。
0 1 0 1 0 1 0
根
0 1 0
“第一次击中目标”表示为：{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0)} 而{(1,1,0),(1,0,0),0,1,0),(0,0,0)}表示“第三次没有击中”
自学：课本例4~例7
练习1：若A表示“甲产品是优质品，乙产品是合格品”，则 表示 （ ）
A.甲产品是合格品，乙产品是优质品 B.甲产品不是优质品，乙产品不是合格品 C.甲产品不是优质品或乙产品是次品 D.甲产品不是优质品或乙产品不是合格品 练习2：袋子中有一个黑球，两个白球，3个红球，有放回取 两次，用树状图表示概率空间。
An An
n n
1.2.5 特殊事件 必然事件：每次试验中一定出现的事件。用Ω 表示。 不可能事件：每次试验中一定不出现的事件,用φ 表示 基本事件：只包含一个样本点的单点子集。
例1 观察人的寿命：A=“活到七十岁”,B=“活到六十岁”， 则A,B的关系为： 解：设x表示人的寿命，则 A { x | x 70}, B { x | x 60}, 故 A B 例2 甲乙二人向同一目标射击，事件A表示“甲至少中2发， 乙最多中3发”，则 A 表示（ ） A.甲最多中2发，乙最少中3发。B.甲最多中2发或乙最少中3发。 C.甲最多中1发，乙最少中4发。D.甲最多中1发或乙最少中4发。 解：设x表示击中发数，y表示乙击中发数，则 A { x 2} { y 3} 所以 A { x 2} { y 3} { x 2} { y 3} { x 2} { y 3} { x 1} { y 4} 故 A 表示“甲最多中1发或乙最少中4发”。
律必须满足某些性质。 事件B 试验 事件A 样本空间 （可能结果的集合） P(A) 概率律 P(B)
A
B 事件
概率模型的基本构成
1.2.1 试验、样本空间和事件
每一个概率模型都关联着一个试验,(试验有三个基本特性) 试验将产生一个试验结果，称为样本点，用ω表示; 该试验的所有可能结果形成样本空间，用Ω 表示; 样本空间的子集，即某些试验结果的集合，称为事件， 用大写字母A，B，C等表示 例： E1：抛掷一枚硬币，观察正面向上还是反面向上。 Ω={正面，反面} E2：掷一枚骰子，观察出现的点数 Ω={1,2,3,4,5,6}
A B 或 AB
Ω C
B
此处
A
Ω B
A
Ω C B
A
B A
阴影部分是 A
A，B，C互不相交
A，B，C形成Ω的一个 完备事件组（分割）
1.2.4 集合（事件）的代数运算
A B B A A B B A
A ( B C ) ( A B) C
A ( B C ) ( A B) C
E3：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命
Ω=[0，+∞) （无限多个结果）
注：在我们所讨论的概率模型的问题中，只涉及一个试验.
例如:连续抛掷两次硬币的实验,只能作为一次试验,样本空间为 Ω ={(正面,正面)，(正面,反面)，(反面,正面)，(反面,反面)} 若事件A表示“第一次出现正面”，则 A={(正面,正面)，(正面,反面)
离散概率律 设样本空间由有限个可能结果组成，则事件的概率可由组成 这个事件的实验结果（样本点或基本事件）的概率所决定。即： P ({s1 , s2 ,...,sn }) P ( s1 ) P ( s2 ) ... P ( s) 若每个实验结果是等概率的，利用归一化定理的 P ({ s i }) 得到：
游戏1中，赢钱数只与10次抛掷中正面向上的次数有关，样本空 间可由11个实验结果组成：Ω={0，1，2，...，10} 游戏2中，赢钱数不仅与正面出现的次数有关，也与正面出现的 顺序有关，样本空间由所有长度为10的正反序列组成。 注： 游戏2的样本空间是古典概型，有 210 个样本点
1.2.3 事件间的关系和运算
2 1 (1)事件A包含两个基本事件，所以 P(A) 5 . A 5 60 3 A2 A 1 2 3 (2)事件B包含 A2 A3 个基本事件，所以 P(B) 2 5 3 . 10 A5
5 A 解 基本事件总数为 5
例3 有三个打字员为四个科室服务,如果四个科室各有一份 文件要打字,且各科室对打字员的选择是随机的,试求: (1)四个科室把任务交给同一个打字员的概率; (2)每个打字员都有任务的概率. 解:基本事件总数为 34
红 红 白 黑 红 白 黑 红 白 黑
根
白 黑
1.2.6 概率律的定义
假定我们已经确定了样本空间Ω以及与之联系的实验，为了刻画 每一个结果或结果的集合（事件）的似然程度，对每一个事件A, 确定一个数P(A)与之对应，称为事件A的概率，如果满足下面几 条公理：
概率公理： （1）（非负性）对一切事件A，满足 P ( A) 0 （2）（可加性）设A和B是两个互不相容的事件（互不 相交的集合），则他们的并满足 P ( A B) P ( A) P ( B)
1 n
离散均匀概率律（古典概型） 设样本空间由n个等可能性的试验结果组成，则
P ( A) 含与事件 A的试验结果 ( 基本事件）数 n
古典概型中必须清楚概率空间及这个事件包含的结果数 （基本事件数）
例1 有10只晶体管,其中有2只次品,从中随机地抽取3只,求: (1)其中恰有1只次品的概率P(A); (2)其中至少有1只次品的概率P(B). 解: 基本事件总数为
1 P () P ( ) P () P () 1 P ()
由此可知空事件（不可能事件）的概率为0，即 P () 0 又如： P( A) 1 P( A)
1.2.7 离散概率模型与古典概型 例 考虑抛掷一枚硬币。共两个结果：正面向上{H}和反面向 上{T}，样本空间为Ω={H,T},事件为 {H,T}，{H}， {T}，Ф 若硬币均匀，则两面出现机会相同，由可加性和归一性可知： P({H,T})=P({H})+P({T})=1 由此可得概率律： P({H,T})=1，P({H})=0.5，P({T})=0.5，P(Ф)=0 考虑另一个试验：依次抛掷三枚硬币，样本空间为： Ω={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}. 假定上述8种结果可能性相同，每个结果出现的概率为1/8. 现利用三条公理建立概率。例如事件： A={两个正面向上，一个反面向上}={HHT,HTH,THH} 利用可加性： P({HHT,HTH,THH})=P({HHT})+P({HTH}+P({THH}) =1/8+1/8+1/8=3/8 相似的，任何事件的概率等于1/8乘以该事件包含的结果数。