西南名校联盟2020届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷(二)理数-答案

理科数学参考答案·第1页（共12页）
2020届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（二）
理科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
【解析】
1．结合图象易知2y x =与y x =有两个交点，所以A B I 的元素个数为2，故选B ． 2．设i z a b =+，由题意知，
cos30a =︒=
，1
sin302
b =︒=，所以1i 2z =+，故选A ．
3．湖北最新确诊人数有增有减，A 错误；全国最新确诊人数呈先增加后减少的趋势，B 错误；2月4号全国新增确诊人数达到最多，并非患病人数最多，C 错误；非湖北地区1月20日至2月10日这几天内新增确诊人数相较于湖北地区新增确诊人数的波动性较小，变化比较平稳，方差更小，D 正确，故选D ．
4．圆22220x y x y m +--+=化为标准方程为22(1)(1)2x
y m -+-=-(2)m <，由题意
(11)，到
C ．
5
．双曲线x c =，得2b y a =±，所以22||b AB a
=，由题意2
22b c a =，化简得
22c a ac -=，所以210e e --=，解得1e
，2e =（舍去），所以e =，
故选B ．
6．1πcos ()ln πcos x f x x x +⎛= -⎝除C ，D ；当π02x ⎛∈ ⎝，A ．
理科数学参考答案·第2页（共12页）
7．令
t x ω=
D ． 8．因为
()-⊥a b
又因为222282[(2]2]4t t -
+=++=≥，所以1
0cos 2
<〈〉，≤
a b ，所C ． 9．()ln(e e )x
x
f x -=+，x ∈R ，则()ln(e e )()x
x
f x f x --=+=，并且e e ()e e x x
x x
f x ---'=+，则
[0)x ∈+∞，时，()0f x '≥，当且仅当0x =时，“=”成立，所以()f x 为在[0)x ∈+∞，上
单增，在(0]x ∈-∞，上单减的偶函数，ππ
22
00111sin d (cos )|222
a x x x ==-=
⎰，1.11
11
10222b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，221log log 32c ==-，2211()log 3log 322f c f f ⎛⎫⎛⎫
=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
12f ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，所以()()()f c f a
f b >>，故选C ．
10．由程序框图可知1n =时，2πS r =，
r =；2n =时，223
ππ4S r r =+，2
34r r r ==⎝⎭
；3n =时，2
2
2233πππ44S r r r ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，34r =；4n =时，2
22233πππ44S r r r ⎛⎫
=+++ ⎪⎝⎭
理科数学参考答案·第3页（共12页）
323π4r ⎛⎫ ⎪⎝⎭L ，，由以上规律可知2020n =时，23
2222333ππππ444S r r r r ⎛⎫⎛⎫
=+++++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L
2019
22019
20202
2
2
33333ππ14π144444r r r ⎡⎤⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L ，故选B ．
11．如图1所示，线段GP 在平面ABCD 上的投影随着点P 的变化而变化，故①错；
11
||33
C BPG P BCG BCG BCG V V S h S AB --===△△为定值，
②正确；因为E ，F ，G 分别为棱AA '，AD ，CC '的中点，所以EF A D '∥，EG A C ''∥，EG EF E =I ，
所以平面EFG A DC ''∥平面，所以GP ∥平面A DC ''，③正确；因为BD '不垂直于DC ，所以一定不存在点P ，使得BD '⊥平面PDC ，④错误，故选B ．
12．2
()ln f x x a x a '=--，设2
()ln g x x a x a =--，22()20a x a
g x x x x
-'=-=>，所以()f x '在
[12]，上为增函数，不妨设12x x >，则
1212|()()|
||
f x f x a x x ''->-等价于12()()f x f x ''->
12()a x x -，即1122()()f x ax f x ax ''->-，设2()()ln h x f x ax x a x ax a '=-=---，则证明
12()()h x h x >，即证明()20a
h x x a x '=--≥在[12]，上恒成立，化简得221x a x +≤
，[12]x ∈，，设1x t +=，则22(21)122t t a t t t -+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭≤，[23]t ∈，，因为1()22m t t t ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
在[23]，上单调递增，所以min 1()22212m t ⎛⎫
=+-= ⎪⎝⎭
，所以min ()1a m t =≤，故选D ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16 答案
24
124 47
(043]，
图1
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【解析】
13．4
12x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭展开式的通项公式为4442144C (2)(1)C (2)
(1)r r r r r r
r r r T x x x ----+=-=-，令2r =，得22
34C 224T ==，所以展开式的常数项为24．
14．因为(1)4f -=，所以1m -≥时，(1)2f -=，不满足题意，1m >-时，(1)4f m -==，满
足题意，所以4m =，又因为23log 34+>，所以223log 3
3
log 3
2111(3log 3)222f +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⨯ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
111
8324
=⨯=
． 15．设11()A x y ，，22()B x y ，，联立方程2202y x y px -+=⎧⎨=⎩，
，
得2240y py p --=，显然0∆>，由韦
达定理得122y y p +=，124y y p =-
，所以12|||AB y y =-=，
M y p =，则2M x p =+，2N p x =
，则||||22
M N p
MN x x =-=+，又因为M 为AB 的中点，且π2ANB ∠=
，所以||2||AB MN =，
4p +，解得4
7p =． 16．由sin (2cos )
=sin 1+cos C
A A C
-，化简得2sin sin sin C A B =+，所以2c a b =+．
法一：4c =，8a b =-，且满足844848b b b b b b -+>⎧⎪
+>-⎨⎪+->⎩
，，，解得26b <<，由余弦定理得cos A =
222262b c a b bc b +--=，又因为1sin 2ABC S bc A =△，所以222222
1sin 4(1cos )4
ABC
S b c A b A ==-△ 212(812)(26)b b b =-+-<<，所以2
(048]ABC
S ∈△，
，则(0ABC S ∈△， 法二：因为4c =，8a b +=，所以顶点C 的轨迹为以A 和B 为焦点的椭圆，由图形可知当4a b ==，即ABC △
为等边三角形时面积最大，此时ABC S =△，又因为ABC S △可以趋近0
，所以(0ABC S ∈△，．
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三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
解：（1）{}n a 为等差数列，因为410S =，55a =， 所以14610a d +=，145a d +=，解得11a =，1d =，
所以n a n =．………………………………………………………………………………（3分）
因为4
(41)3
n n T =-，
所以当2n ≥时，1144
(41)(41)433
n n n n n n b T T --=-=---=；
……………………………………………………………………（5分）
当1n =时，114b T ==，
综上，4n n b =，n *∈N ．…………………………………………………………………（6分） （2）211
1log 42(1)1n n c n n n n n ⎛⎫=+
=+- ⎪++⎝⎭
，…………………………………………（8分）
所以12n n C c c c =+++=L 2(123)n ++++L 1111
1112231n n ⎛⎫+-+-++- ⎪+⎝⎭L
1(1)11n n n ⎛
⎫=++- ⎪
+⎝⎭
(1)1n n n n =+++， 所以(1)1
n n
C n n n =++
+，………………………………………………………………
（10分） 因为(1)1001n n C n n n =++
<+，当1n ≥时，1
(1)11
n C n n n =++-
+为关于n 的递增数列， 8999010010C C <=+
<，1010
11010011
C =+>， 所以n 的最大值为9．…………………………………………………………………（12分）
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18．（本小题满分12分）
解：（1）应选择模型①，因为模型①每组数据对应的残差绝对值都比模型②的小，残差波动小，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明拟合精度高．（言之有理即可）
………………………………………………………………………………………（4分） （2）由（1）知，需剔除第一组数据，得到下表
x
6 7 8 9 10 y
3.5
5.2
7.0
8.6
10.7
则上表的数据中，7.56585x ⨯-=
=， 5.960.4
75
y ⨯-==，5280x y =，25320x =， 5
1
299.850.4297.8i i
i x y
==-⨯=∑，5
21
35525330i i x ==-=∑，
所以5
1
5
22
1
5297.82803303205i i
i i
i x y
x y
b
x
x ==--===--∑∑$17.8
1.7810
=，
………………………………………………………………………………………（10分） ˆ7 1.7887.24a
y bx =-=-⨯=-$，得模型①的回归方程为 1.787.24y x =-， 则11x =时， 1.78117.2412.34mm y =⨯-=，
故光照时间为11h 时，该植物的平均增长高度为12.34mm ．
………………………………………………………………………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
（1）证明：如图2，连接DM ，因为2AB BC ==90ABC ADC ∠=∠=︒，M 为AC 的中点，
所以BM AC ⊥，………………………………………（1分） 2AC =，1
DM BM ==， 又因为2DB 222DM BM DB +=，所以BM DM ⊥，
……………………………………………………（3分）
图2
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DM AC M =I ，所以BM ⊥平面ADC ，而DC ⊂平面ADC ，所以BM DC ⊥．
………………………………………………………………………………………（4分） （2）解：取MC 的中点为O ，BC 的中点为E ，连接DO ，OE ，则BM OE ∥， 因为60DCA ∠=︒，所以1DC MC DM ===， 又因为O 为MC 的中点，所以DO AC ⊥， 由（1）知BM ⊥平面ADC ，DO ⊂平面ADC ， 所以BM DO ⊥，
又BM AC M =I ，所以DO ⊥平面ABC ，
以O 为坐标原点，OA ，OE ，OD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示坐标系，
………………………………………………………………………………………（6分） 由题意知3002A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，1102B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，
，00D ⎛ ⎝⎭，，1002C ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，，，
则112BD ⎛=-- ⎝⎭u u u r ，，(110)BA =-u u u r ，，
，102DC ⎛=-- ⎝⎭u u u r ，，， 设平面DAB 的向量为()n x y z =r
，，，
则1020n BD x y n BA x y ⎧=--+=⎪
⎨⎪=-=⎩
r u u u r g r u u u r g ，，令1x =
，得(11n =r 为平面DAB 的一个法向量， ………………………………………………………………………………………（8分） 假设线段DC 上存在点Q ，使得直线BQ 与平面ADB
， 设[01]DQ DC λλ=∈u u u r u u u r ，，
，则BQ BD DQ BD DC λ=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
所以1(1)1)2BQ λλ⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r ，，
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|cos |||||n BQ n BQ n BQ =〈〉==r u u u r
r u u u r g r u u u r ，化简得21520λλ+-=， 解得113λ=，22
5
λ=-（舍去），所以存在这样的点Q ，
……………………………………………………………………………………（11分）
此时11
33DQ DC ==．…………………………………………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
（1
）解：由00
12
x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，
得到002x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，
又因为00()P x y ，在圆224x y +=上，
所以220
4x y +=
①，把0x =，02y y =带入①，得2
212
x y +=，
所以曲线C 的标准方程为2
212x y +=．…………………………………………………（4分）
（2）证明：设直线AB 的方程为1x my =+，11()A x y ，，22()B x y
，12(x x ≠，， 联立直线和椭圆方程22
121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，
，化简得22(2)210m y my ++-=，易知0∆>，
由韦达定理12222m y y m -+=
+，122
1
2y y m -=+，…………………………………………（6分）
由题意：直线NA l y x =
：
，所以2D ⎛⎫
⎝
，
所以D F k =
，所以FE k =
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所以1)FE l y x =-：，令2x =，
得2E ⎛ ⎝，， ………………………………………………………………………………………（8分）
因为(0)N ，(10)F ，
，所以22()NB x y =+u u u r
，2NE ⎛⎫
=+- ⎝u u u r ，
因为222(2((2y x y ⎡+--=++
⎢⎢⎣
=
2=
222
=
=
0=
=，
所以NB u u u r 与NE u u u r
共线，所以N ，B ，E 三点共线．……………………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
解：（1）当0k =时，2()2cos f x x x =-，()22sin 2(sin )f x x x x x '=+=+，
………………………………………………………………………………………（1分） 设()sin g x x x =+，()1cos 0g x x '=+≥，且()0g x '=在任意子区间上不恒成立， 所以()g x 在R 上单增，
又因为(0)0g =，所以(0)x ∈+∞，时，()0g x >，即()0f x '>；
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(0)x ∈-∞，时，()0g x <，即()0f x '<，………………………………………………（3分） 所以()f x 的单调减区间为(0)-∞，，单调增区间为(0)+∞，．
………………………………………………………………………………………（4分） （2）因为()f x 在π02⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上为单调递增函数，
()22sin (cos sin sin )f x x x k x x x x '=+-+-22sin cos x x kx x =+-在π02⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，的任意子区间
内不恒为0，
所以()0f x '≥在π02⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上恒成立，
令()22sin cos h x x x kx x =+-，π0.2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，……………………………………………（5分）
①当0k ≤时，()22sin cos 0h x x x kx x =+-≥显然成立，满足题意；
………………………………………………………………………………………（6分） ②当0k >时，()22cos (cos sin )2(2)cos sin h x x k x x x k x kx x '=+--=+-+， （ⅰ）当04k <≤时，()2(2)cos sin 22cos sin 0h x k x kx x x kx x '=+-+-+>≥， 所以()h x 在π02⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上单增，所以()(0)0h x h =≥，满足题意；
………………………………………………………………………………………（8分） （ⅱ）当4k >时，()2(2)cos sin h x k x kx x '=+-+，()(22)sin cos 0h x k x kx x ''=-+≥， 所以()h x '在π02⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上单增，
因为(0)40h k '=-<，π2π >022k h ⎛⎫
'=+ ⎪⎝⎭，
理科数学参考答案·第11页（共12页） 所以0π02x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭
，，使得0()0h x '=， 又因为()h x '在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单增，所以0(0)x x ∈，时，()0h x '<，0π2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭，时，()0h x '>， 所以0x 为()h x 在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭
，上唯一的极小值点，所以0()()h x h x ≥， 又因为(0)0h =，所以0()(0)0h x h <=，
所以0(0)x x ∈，时，()0h x <，不满足题意．
………………………………………………………………………………………（11分） 综上所述，4k ≤．……………………………………………………………………（12分）
22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（1）联立22cos 0ρρθ-=和π6
θ=，得到10ρ=
（舍去），2ρ= 所以π6M ⎫⎪⎭，，则π2N ⎫⎪⎭
，．………………………………………………………（4分） （2）由（1）知，OMN △
则外接圆的直径2R ，得1R =， 将π6M ⎫⎪⎭，，π2N ⎫⎪⎭，
化为直角坐标为32M ⎛ ⎝⎭
，(0N ，
所以内接圆的圆心坐标为12C ⎛ ⎝⎭
，
所以圆C
的标准方程为2
2112x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭
，化为普通方程为220x y x +-=，
理科数学参考答案·第12页（共12页） 所以圆C
的极坐标方程为2cos sin 0ρρθθ-=，化简得π2sin 6ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭． ………………………………………………………………………………………（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
（1）解：因为0m >，所以22()|2||2|42222m m x m m f x x m x m x x m m x ⎧-⎪⎪⎪=--+=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，，，≥，
所以max ()24f x m ==，所以2m =．……………………………………………………（5分）
（2）证明：由（1）知，2abc =，且a ，b ，c 为正实数，
故有333()()()3()()()a b a c b c a b a c b c +++++=+++≥
348⨯⨯⨯=≥， 所以333()()()48a b a c b c +++++≥．…………………………………………………（10分）。