迭代法重建图像

r12 r22 . . . rI 2
. . . r1J . . . r2 J . . . . .. . . . . . . . . . . . rIJ
R 为 I J 维矩阵 称投影矩阵
我们的任务是根据测量得到的p 和己知的矩阵 R(规定了像 素布置与射线的几何结构就可求出 R)求 x。

最小二乘方准则
使函数
最小，由此解得 x 。这一准则的物理意义 ：选取这样 ^ 的x ，使由此生成的射线和与测量值的误差的平方和 最小。
^
最大均匀性准则及平滑准则
物理意义为：每一像素同其邻接像素间的局部均匀 情况和整幅图像的均匀度。 如果兼顾最小二乘方准则 ，还可组合成目标函数 选择 x ， 最小，这样就融最小二乘方准则 最大 均匀性准则与平滑准则于一体了。

图像重建的数学原理
Rf l, f r, dz P l , （1） 图像函数 f r, 的雷当变换 Rf l, 是 f r,
沿直线L的线积分。它是该射线路径上物体 各体元衰减系数之和 即为测得的投影数 据。我们可以把图像重建问题的实质归纳 为： 根据投影数据P l, ，求出函数图像 f r, 。

i

1
ij

1
ij
j
代数重建法的基本思想
（4）式可用矩阵表示为： 式中
p Rx
（5）
p p1 , p2 ... pJ
x x1 , x2 ...xI
T
T
p 为 J 维矢量 称测量矢量
x 为 I 维矢量 称图像
r11 r 21 . R . . rI 1
代数重建法

代数重建法(Algebraic Reconstruction Technique)的实质是对离散投影方程采 用迭代方法近似求解，通过不断修正偏 差直到获得满意的效果 。代数重建法 在数学上是求解这样的数学问题：寻找 一个向量，使它满足给定的一个线性不 等式集 。
代数重建法的基本思想
xj
^

Baidu Nhomakorabea
变换法与迭代法重建图像的基本 思想

变换类算法的基本思想是寻求雷当变换 的逆变换。级数展开法与变换法的出发 点是不同的。 它不是寻找一个准确的 解析式 而是问题本身在一开头就被离 散化，估算函数值被转化成寻找一个有 限的数集，在某种最优化原则的前提下， 由该有限数集所建的图像最接近原始图 像。在级数展开类算法中，应用最为广 泛的是迭代法。迭代法的基本思想可以 概括为“假设-比较-修正”。
迭代法重建图像
汇报人：
图像重建算法分类
图像重建算法从大的类别上可归纳为：变 换法和级数展开法两种 变换法中的经典重建算法包括：直接 Fourier变换法（DFT）和卷积反投影法 （FBP） 在级数展开类算法中应用最为广泛的是迭 代法。迭代重建法有多种不同的类型 其中研究和应用最为广泛的有：代数重建 法(ART)、 同时迭代重建法（SIRT）、和 最大熵值法（ME）。
xj
代数重建法的基本思想
在图中，j号像素的像素值(或为灰度 或为 密度)为 x j ，i 号射线与 j 号像素重迭的面 积为图中阴影相交部分的面积 。它与像 素面积 2之比为 ： 2 r S / ij 阴影部分面积 （2） 像素 j 对射线 i 的射线投影贡献为 ： pij rij x j （3） j 号射线还经过其他像素 其总的射线投影为 N N （4） p p rx
代数重建法的实现
考虑到实际情况和不可避免的测量误差，将（5） 式做如下修正： （6） p Rx e 这里 e 为误差矢量 。 ^ ^ 1 x 选一个图像矢量x ，使目标函数 最小（称为 ^ 主准则），如果有多于一个 x 值，则在其中选 ^ ^ 2 x 最小（称为副 取一个 x 使 另一个目标函数 ^ ^ x x 准则）。 1 、 2 是根据一些使图像最好的判 据，即最优准则来确定的。常用的最优准则有 最小二乘方准则、最大均匀性准则及平滑准则、 最大熵准则、贝叶斯准则等。