2-单自由度自由振动解析
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转动惯量为JO，利用定 轴转动微分方程可得到 用转角 f 表示的转动微 分方程:
mgaf 0 J Of
第2章 单自由度系统自由振动 2.2 自由振动系统
6
纯滚动圆盘(P15)
已知m、r、R，利
用功率方程 ( 动能定理 )
或拉格郎日方程可得到 用角度f 表示的运动微 分方程:
3 gf 0 ( R r )f 2
比较前面几种不同系统的振动微分方程
kx 0 m x mgaf 0 J Of
3 gf 0 ( R r )f 2
Jq ktq 0 48EI 3 y 0 m y l
第2章 单自由度系统自由振动 2.2 自由振动系统
9
可以写成统一的数学形式
第2章 单自由度系统自由振动 2.2 自由振动系统
7
梁的横向振动
质量为 m的重物放在简支梁的中部，不计梁的
质量。设梁长为l，材料的弹性模量为E，截面惯
性矩为I。则利用材料力学的概念可得到：
48EI 3 y 0 m y l
dst
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
8
振动微分方程的统一形式
圆盘在轴的弹性恢复力矩
作用下在平衡位置附近作扭 转振动。设q为圆盘相对静平 衡位置转过的角度 , J 为圆盘 对轴的转动惯量 , kt为使轴产
生单位转角所需施加的扭矩
(即轴的扭转刚度)。则
Jq ktq 0
第2章 单自由度系统自由振动 2.2 自由振动系统
5
复摆(P12)
设物体对悬挂点 O 的
第2章 单自由度系统自由振动
2
2.2 自由振动系统
振动微分方程 (P6-20)
根据振动系统结构形式的不同，建
立振动微分方程的方法也不同，主要采
用牛顿定律、动力学基本定理（动量定
理、动能定理、动量矩定理）以及拉格
朗日方程等。
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
3
m-k系统的自由振动 (P6)
用角度 f 表示的运动 微分方程:
3 gf 0 ( R r )f 2
则固有频率:
n
keq meq
2g 3( R r )
2.2 自由振动系统
第2章 单自由度系统自由振动
19
扭转振动系统
转动方程为
Jq ktq 0
则固有频率:
n
keq meq
kx 0 m x
1. 方程的解 设 则方程变为 通解为 或
第2章 单自由度系统自由振动 2.2 自由振动系统
k m
2 n
2 x n x 0
x b1 cos n t b2 sin nt
11
设系统的初始条件为：t＝0时，x＝x0， x 则可确定上述解中的常数为：
keq x 0 meq x
meq和keq分别称为等效质量和等效刚 度，x为广义坐标。为方便起见，以后将 等效质量和等效刚度直接写为 m和k。则 方程变为：
kx 0 m x
因此只讨论此方程的解即可。
第2章 单自由度系统自由振动 2.2 自由振动系统
10
振动微分方程的解(P6)
m-k 系统虽然非常简单 ，
但却是许多实际结构振动问
题的力学模型。 已知质量为 m ，弹簧的刚 度系数为 k 。取质量的静平衡 位置为坐标原点 , 当重物偏离
x 时 , 利用牛顿定律可得到运
动微分方程：
kx 0 m x
第2章 单自由度系统自由振动 2.2 自由振动系统
4
扭转振动 (P9)
第2章 单自由度系统 自由振动
第2章 单自由度系统自由振动
1
2.1 引 言
单自由度系统: 可以用一个独立坐标来确定 系统的位置及其运动规律的振动系统; 单自由度线性系统的振动是最简单的振动
系统;
许多实际问题可以足够精确地简化为单自 由度振动系统; 单自由度振动系统的一些概念、特征和研 究方法，是研究复杂振动系统的基础。
dst
k g n m d st
第2章 单自由度系统自由振动 2.2 自由振动系统
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复摆系统的固有频率
用转 角 f 表示的转动微 分
方程:
mgaf 0 J Of
则固有频率:
n
keq meq
mga JO
2.2 自由振动系统
mg
第2章 单自由度系统自由振动
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纯滚动圆盘系统
0 x
b1 x0 , b2
x0
n
2
x0 n x0 A x , f arctan x0 n
2 0
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
12
2. 概念与名词(P6-7) 一阶线性振动微分方程的解是时间 t 的简
谐函数，因此这种振动为简谐振动。
其重要的参数。 显然
2 n 2 f T
因此 n的物理意义是在2时间内振动的 次数，单位为弧度/秒(rad/s)。 圆有频率、振幅和初相位是简谐振动的 三个重要特征量。
第2章 单自由度系统自由振动 2.2 自由振动系统
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固有频率的计算
1. 直接计算法 即直接利用固有频率的公式进行计算。 求出振动系统微分方程后，利用等效刚
方程的解中 n只决定于系统本身的参数m 和 k ，而与系统的初始条件无关，是系统本 身所固有的特性，所以称为固有频率，或称 圆频率或角频率。
方程解中的A称为振幅，是质量偏离静平
衡位置的最大距离; f称为初相位。
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
13
从方程的解中还可以看出，系统属于周
度和等效质量，即可求出固有频率：
k m
2 n
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
16
2. 静位移方法(P7)
m-k 系 统 是 所 有 一 阶 线 性
微振动系统的模型，利用此模
型得出的结论具有一般性。 质 量 在静 平 衡位 置 时弹 簧
的位移为
则固有频率为
mg d sBiblioteka k期振动，振动的周期为
T
2
n
周期是系统振动一次所需要的时间，单位
为秒（s）。
周期的倒数称为频率，是系统每秒钟振动
的次数,单位为1/秒(1/s)或赫兹(Hz)。记作 f
1 n f T 2
第2章 单自由度系统自由振动 2.2 自由振动系统
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固有频率n和频率 f 只相差常数2，因
此经常通称为固有频率。是振动分析中极
mgaf 0 J Of
第2章 单自由度系统自由振动 2.2 自由振动系统
6
纯滚动圆盘(P15)
已知m、r、R，利
用功率方程 ( 动能定理 )
或拉格郎日方程可得到 用角度f 表示的运动微 分方程:
3 gf 0 ( R r )f 2
比较前面几种不同系统的振动微分方程
kx 0 m x mgaf 0 J Of
3 gf 0 ( R r )f 2
Jq ktq 0 48EI 3 y 0 m y l
第2章 单自由度系统自由振动 2.2 自由振动系统
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可以写成统一的数学形式
第2章 单自由度系统自由振动 2.2 自由振动系统
7
梁的横向振动
质量为 m的重物放在简支梁的中部，不计梁的
质量。设梁长为l，材料的弹性模量为E，截面惯
性矩为I。则利用材料力学的概念可得到：
48EI 3 y 0 m y l
dst
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
8
振动微分方程的统一形式
圆盘在轴的弹性恢复力矩
作用下在平衡位置附近作扭 转振动。设q为圆盘相对静平 衡位置转过的角度 , J 为圆盘 对轴的转动惯量 , kt为使轴产
生单位转角所需施加的扭矩
(即轴的扭转刚度)。则
Jq ktq 0
第2章 单自由度系统自由振动 2.2 自由振动系统
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复摆(P12)
设物体对悬挂点 O 的
第2章 单自由度系统自由振动
2
2.2 自由振动系统
振动微分方程 (P6-20)
根据振动系统结构形式的不同，建
立振动微分方程的方法也不同，主要采
用牛顿定律、动力学基本定理（动量定
理、动能定理、动量矩定理）以及拉格
朗日方程等。
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
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m-k系统的自由振动 (P6)
用角度 f 表示的运动 微分方程:
3 gf 0 ( R r )f 2
则固有频率:
n
keq meq
2g 3( R r )
2.2 自由振动系统
第2章 单自由度系统自由振动
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扭转振动系统
转动方程为
Jq ktq 0
则固有频率:
n
keq meq
kx 0 m x
1. 方程的解 设 则方程变为 通解为 或
第2章 单自由度系统自由振动 2.2 自由振动系统
k m
2 n
2 x n x 0
x b1 cos n t b2 sin nt
11
设系统的初始条件为：t＝0时，x＝x0， x 则可确定上述解中的常数为：
keq x 0 meq x
meq和keq分别称为等效质量和等效刚 度，x为广义坐标。为方便起见，以后将 等效质量和等效刚度直接写为 m和k。则 方程变为：
kx 0 m x
因此只讨论此方程的解即可。
第2章 单自由度系统自由振动 2.2 自由振动系统
10
振动微分方程的解(P6)
m-k 系统虽然非常简单 ，
但却是许多实际结构振动问
题的力学模型。 已知质量为 m ，弹簧的刚 度系数为 k 。取质量的静平衡 位置为坐标原点 , 当重物偏离
x 时 , 利用牛顿定律可得到运
动微分方程：
kx 0 m x
第2章 单自由度系统自由振动 2.2 自由振动系统
4
扭转振动 (P9)
第2章 单自由度系统 自由振动
第2章 单自由度系统自由振动
1
2.1 引 言
单自由度系统: 可以用一个独立坐标来确定 系统的位置及其运动规律的振动系统; 单自由度线性系统的振动是最简单的振动
系统;
许多实际问题可以足够精确地简化为单自 由度振动系统; 单自由度振动系统的一些概念、特征和研 究方法，是研究复杂振动系统的基础。
dst
k g n m d st
第2章 单自由度系统自由振动 2.2 自由振动系统
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复摆系统的固有频率
用转 角 f 表示的转动微 分
方程:
mgaf 0 J Of
则固有频率:
n
keq meq
mga JO
2.2 自由振动系统
mg
第2章 单自由度系统自由振动
18
纯滚动圆盘系统
0 x
b1 x0 , b2
x0
n
2
x0 n x0 A x , f arctan x0 n
2 0
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
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2. 概念与名词(P6-7) 一阶线性振动微分方程的解是时间 t 的简
谐函数，因此这种振动为简谐振动。
其重要的参数。 显然
2 n 2 f T
因此 n的物理意义是在2时间内振动的 次数，单位为弧度/秒(rad/s)。 圆有频率、振幅和初相位是简谐振动的 三个重要特征量。
第2章 单自由度系统自由振动 2.2 自由振动系统
15
固有频率的计算
1. 直接计算法 即直接利用固有频率的公式进行计算。 求出振动系统微分方程后，利用等效刚
方程的解中 n只决定于系统本身的参数m 和 k ，而与系统的初始条件无关，是系统本 身所固有的特性，所以称为固有频率，或称 圆频率或角频率。
方程解中的A称为振幅，是质量偏离静平
衡位置的最大距离; f称为初相位。
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
13
从方程的解中还可以看出，系统属于周
度和等效质量，即可求出固有频率：
k m
2 n
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
16
2. 静位移方法(P7)
m-k 系 统 是 所 有 一 阶 线 性
微振动系统的模型，利用此模
型得出的结论具有一般性。 质 量 在静 平 衡位 置 时弹 簧
的位移为
则固有频率为
mg d sBiblioteka k期振动，振动的周期为
T
2
n
周期是系统振动一次所需要的时间，单位
为秒（s）。
周期的倒数称为频率，是系统每秒钟振动
的次数,单位为1/秒(1/s)或赫兹(Hz)。记作 f
1 n f T 2
第2章 单自由度系统自由振动 2.2 自由振动系统
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固有频率n和频率 f 只相差常数2，因
此经常通称为固有频率。是振动分析中极