节水洗衣机问题数学建模

1996年全国大学生数学建模竞赛B题

节水洗衣机问题数学建模

1.原问题

我国淡水资源有限节约用水人人有责洗衣在家庭用水中占有相当大的份额目前洗衣机已非常普及节约洗衣机用水十分重要假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为加水漂水脱水加水漂水脱水…加水漂水脱水称加水漂水脱水为运行一轮请为洗衣机设计一种程序包括运行多少轮每轮加水量等使得在满足一定洗涤效果的条件下总用水量最少选用合理的数据进行计算对照目前常用的洗衣机的运行情况对你的模型和结果作出评价

2问题剖析

2.1节水洗衣问题

不论人工洗衣还是洗衣机洗衣都存在节水问题显然若用水量为零则衣服肯定洗不净若用水量为无穷大则肯定浪费水因此必然存在刚好洗净衣物的最少用水量机器能够比人更精确地控制洗衣过程所以提出节水洗衣机问题

2.2洗衣机的基本原理和过程

洗衣的基本原理就是将吸附在衣物上的污物溶于水中通过脱去污水而带走污物溶

污物脱污水是由两个根本要素构成的一个元动作无论是如何精心设计的洗衣方式和程序都是以此为基础的洗衣的过程就是通过加水来实现上述溶污物脱污水动作的反复执行使得残留在衣物上的污物越来越少直到满意的程度

通常洗衣要加入洗涤剂它帮助溶解污物但是洗涤剂本身也是不能留在衣物上的东西因此污物应是衣物上原有污物与洗涤剂的总和有了这种认识后我们就可以统一地处理洗涤即通常加洗涤剂的首轮洗衣和漂洗即通常的以后各轮洗衣不再加洗涤剂但水中还有剩余洗涤剂把二者都看作溶污物环节

脱污水在洗衣机中通常称为脱水常由排水和甩干两个步骤组成

2.3 节水洗衣机要点分析

立足于溶污物脱污水这种基本原理我们可以找出节水洗衣机问题的基本要点如下

1污物的溶解情况如何我们将用溶解特性来刻划

2每轮脱去污水后污物减少情况如何这将由系统的动态方程表示

3如何设计由一系列溶污物脱污水构成的节水洗衣程序这将通过用水程序来

反映也是我们最终需要的结果

3

节水洗衣机问题建模

3.1基本假设

1) 仅考虑离散的洗衣方案即加水溶污物脱污水以下称为加水洗涤脱

水三个环节是分离的这三个环节构成一个洗衣周期称为一轮

2) 每轮用水量不能低于L 否则洗衣机无法转动用水量不能高于H 否则会溢出设L

3)

每轮的洗涤时间是足够的以便衣物上的污物充分溶入水中从而使每轮所用的水被充分利用

4 )

每轮的脱水时间是足够的

以使污水脱出

即让衣物所含的污水量达到一个低限设这个低限是一个大于0的常数C 设C

注 除首轮外每轮的用水量实际上包括该轮加水量和衣物中上轮脱水后残留的水量即残留水被自然地利用了 3

2变量定义

1

设共进行n 轮加水洗涤脱水的过程依次为第0轮第1轮第n-1轮

2

第k 轮用水量为u k k =01

2

n-1

3 衣物上的初始污物量为x 0在第k 轮脱水后仍吸附在衣物上的污物量为x k+1k=01

2

n-1 33溶解特性和动态方程

第k 轮洗涤之后和脱水之前第k-1轮脱水之后的污物量x k 已成为两部分

x k =p k +q k ,

k=01

2n-1, (3.3.1) 其中p k 表示已溶入水中的污物q k 表示尚未溶入水中的污物量p k 与第k 轮的加水量u k 有关总的规律是u k 越大p k 越大且当u k =L 时p k 最小=0因为此时洗衣机处于转动临界点有可能无法转动该轮洗衣无效当u k =H 时p k 最大=Qx k 0

解率因此简单地选用线性关系表示这种溶解特性则有

L

H L u Qx p k k k −−= (3.3.2) 在第k 轮脱水之后衣物上尚有污物q k =x k -p k 有污水C 其中污水C 中所含污物量为p k /u

k C 于是第k 轮完成之后衣物上尚存的污物总量为

k k k k k u p C

p x x +−=+)(1

3.3.3 将 3.3.2代入上式并整理后得系统动态方程

.1,,2,1,0 ,111−=

−− −−=+n k L H L u u C Q x x k k k k K (3.3.4) 3.4优化模型

由于x n 是洗衣全过程结束后衣服上最终残留的污物量而x 0是初始污物量故x n /x 0反

映了洗净效果由系统动态方程 3.3.4得

,11100 −−

−−=∏−=L H L u u C Q x x k k n k n

3.4.1 又总用水量为

∑−=10n k k u

3.4.2

于是可得优化模型如下

)1,,2,1,0( ,10 ,11..min 101

0−=≤≤<<≤ −−

−−∏∑−=−=n k H u L L H L u u C Q t s u k n k k k n k k

L εε

3.4.3

其中代表对洗净效果的要求ε若令

(3.4.5) ,)( (3.4.4) ,L v L H u L

H L u v k k k k +−=−−=

则 于是优化模型化为更简洁的形式

1

,,2,1,0 ,10 ,1..min 101

0−=≤≤≤

++−∏∑

−=−=n k v B Av Qv Qv t s v k n k k k k n k k

L ε

3.4.6 其中

C L B L H B C L H A =

−=−= ,1 (3.4.7) 4.分析与求解

4.1最少洗衣轮数

定义函数

10 ,1)(≤≤++

−=t B

At Qt Qt t r (4.1.1) 易知