模糊事件的概率及其性质
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…
Ｐ （ Ａ ） ＝ ∑Ｐ （ ｘ ） 厶 （ ） ， 其 中 ， ， Ａ （ 筏 ） ＝ ｛ ： ‘ ∈ ’
，
Ｐ （ ４ ７ ）＝∑ Ｐ （ ） （ ）
其中， Ｐ （ ）＝Ｐ （ ｛ ｝ ） ， （ ） 是每个 相对于 的隶属度 ， ＝１ ， ２ ， …．
京： 科学 出版社 ， ２ ０ ０ ９ ．
４ ７ （ ｘ ） ＋ ∑Ｐ （ ） ・ （ ） 一 ∑Ｐ （ ｘ ） ・ （ ｎ ） （ ）
Ｊ ｌ Ｊ
＝
∑ｐ （ ｘ ｉ ） ・ ７ ４ （ ｘ ） ＋∑Ｐ （ ） ・ 雪 （ ）
Ｔｈ ｅ Ｐｒ ｏ ｂａ ｂｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｆｕ ｚ ｚ ｙ Ｅｖ ｅ ｎｔ ｓ ａ ｎｄ Ｉ ｔ ｓ Ｐｒ ｏ ｐｅ ｒ ｔ ｉ ｅ ｓ
＝
为Ｆ （ ）中的两个模糊事件 ， 则：
∑Ｐ （ ） ｍ ａ ｘ ｛ ４ ７ （ ｘ ） ， （ ） ｝ ．
（ １ ） Ｐ （ Ａ ｕ ）＝∑ Ｐ （ ｘ ｉ ） ・ ｍ ａ ｘ ｌ ￣ （ ｘ ） ， （ ｉ ） ｝ ； （ ２ ） Ｐ （ ｎ莒 ）＝∑Ｐ （ ） ・ ｍ ｉ ｎ ｌ Ａ （ ｘ ） ， 莒 （ ） ．
第３ １ 卷 第５期
２ ０ １ ３ 年 Ｏ ９月
佳 木 斯 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ） Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｊ ｉ ａ ｍｕ ｓ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
Ｖ ｏ １ ． ３ １ Ｎｏ ． ５ Ｓ ｅ ｐ ． ２ ０ １ ３
文章编 号： １ ０ ０ ８—１ ４ ０ ２（ ２ ０ １ ３ ） ０ ５－０ ７ ８ １—０ ２
模 糊 事 件 的概 率及 其性 质①
陈 莉 ，段 刚２ ， 李曼生
（ １ ．兰州城市学院数学学院 ． 甘肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ７ ０ ； ２ ．兰州交通大学交通运输学院 ， 甘肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ７ ０ ）
类似于经典概率 ， 模糊事件的概率也有如下的 加法 公式 ： 定理 ２ ． ４ 对于任意两个模糊事件有 Ｐ （ ４ ７ ｕ ） ＝Ｐ （ ７ ４ ）＋Ｐ（ ）一Ｐ （ ７ ４ ｉ ￣ ） ．
［ ３ ］ 张跃． 模糊 随机变量［ Ｊ ］ ． 哈尔滨建筑工程学 院学报 ， １ ９ ８ ９ ，
（ ３ ）： １ ２— ２ １ ．
［ ４ ］ Ｍ ｉ ｙ ａ ｋ ｏ ｓ ｈ ｉ Ｍ， Ｓ ｈ ｉ ｍ ｂ ｏ Ｍ ． Ａ ｓ ｔ ｒ ｏ ｎ ｇ ｌ ａ ｗ ｏ ｆ ｌ ａ ｒ ｇ ｅ ｎ ｕ ｍ ｂ ｅ ｒ ｓ ｆ ｏ ｒ ｆ ｕ ｚ ｚ ｙ ｒ ａ ｎ ｄ ｏ ｍ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｂ ｌ ｅ ｓ ［ Ｊ ］ ．Ｆ ｕ ｚ ｚ ｙ Ｓ ｅ ｔ ｓ ａ ｎ ｄ Ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｓ ， １ ９ ８ ４ ， １ ２ ： １ ３ ３
①
∑Ｐ （ ） （ ）
ｌ＝ ｌ
又 因为 ｃ舌 ， 所以， Ｐ （ 盖 ）＝∑Ｐ （ ） 秀 （ ）＝
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ７— ２ ４ 基金项 目： 兰州交通大学青年科学研究基金项 目（ ２ ｏ Ｈ ｏ ２ ｏ ） ． 作者简介： 陈莉 （ １ ９ ７ ９一 ） ， 女， 甘肃 天水人 ， 讲师 ， 博士研究生 ， 主要从事模糊系统方 面的研究．
∑Ｐ （ ．
定理２ ． ６ 对于任 意 的 ７ ４ ｃ Ｆ’ （ 力） ， 有 Ｐ（ ４ ７ ）
＝ １一Ｐ（ Ａ ） ．
（ ２ ）由定 义 １ ． ４与 由定 义 １ ． ２可得
Ｐ （ ｎ雪 ）＝∑ ｐ （ ｘ ） ・ （ Ａ ｎ ） （ ）
＝
∑Ｐ （ ｘ ） ・ ｍ ｉ ｎ ｛ ４ ７ （ ｘ ） ， 雪 （ ） ｝ ．
摘 要： 在概 率论的基础上 ， 对 第一类模糊概率 ， 也 即模糊事件 的概 率做 了探讨和研 究．首 先， 通过对模糊事件的定义及特征 的描述，引出离散集上模糊事件概率的概念． 其次， 将模糊事 件概率与分明事件 的概率进行 了比较研究； 最后 ， 刻划并证明了模糊事件概率的基本性质． 关键词 ｉ 模糊集； 模糊事件 ； 模糊概率； 概率
中 图分 类号 ： ０１ ５ ９ 文 献标识 码 ： Ａ
本文对第一类模糊 概率¨ Ｊ ， 也 即模糊事件 的概率做 了探讨 和研究 ， 首先 ， 通过对模糊事件 的定 义及特 征 的 描述 ，引 出离 散 集 上 模 糊 事 件 概 率 的概 念 ， 并将 其 与分 明事 件 的概 率 进 行 了 比较 研究 ， 发现模糊事件 的概率是 经典事件概率 的推 广， 涵盖了经 典概率 ， 进而给 出并证 明了模糊事 件概率的基本性质 ， 对其进行了刻划．
∑Ｐ （ ｘ ） ・ （ １ 一 （ ） ） ∑ｐ （ ｘ ） 一∑ ｐ （ ｘ ） （ ）＝１ 一 Ｐ （ ４ ７ ） ．
Байду номын сангаас
＝
（ １ ） Ｐ （ ） ＝ ∑Ｐ （ ｘ ｉ ） ・ ， ， １ ａ ） 【 ｛ ） ） ， … ） ｝ ；
ｎ
参考 文献 ：
注１ ． １ 当模糊子集７ ４ 退化为分明集Ａ时， 的隶 属函数 （ ） 退化为Ａ的特征函数厶（ ） ， ＝１ ， ２ ， …． 注１ ． ２ 在定 义 １ ． ４中 ， 若 （ ）；０ ， 此 时 盛 ， 即 为 空集 ， 从 而得 到 Ｐ （ ４ ７ ）＝０； 若Ａ （ ）； １ ， 此时 ∈ ， 模糊事件 退化为经典事件 （ 分明
７ ８ ２
佳 木 斯 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
２ ０ １ ３ 年
∑ｅ （ ｘ ） ４ ７ （ ｘ ｉ ） ＋∑Ｐ （ ｘ ） ａ Ｂ （ ｘ ） ≥Ｐ （ Ａ ） ．
定理 ２ ． ２ 设 为 随机试验 的样本 空 间 ， ，
一
∑Ｐ （ ｘ ） ・ ｍ ｉ ｎ ｛ ￣ （ ｘ ） ， 雪 （ ） ｝
［ １ ］ Ｌ ．Ａ ．Ｚ ａ ｄ ｅ ｈ ．Ｆ ｕ ｚ ｚ ｙ ｓ ｅ ｔ ｓ ［ Ｊ ］ ．Ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ Ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ，８
（ １ ０ ６ ５ ） ： ３ ３ ８— ３ ５ ３ ．
ｎ
ｍｉ （ ）。 ｎ ｛ （ ２ ） Ｐ （ ） ＝∑Ｐ
—
１ ４ ２．
证明 Ｐ （ ７ ４ ） ＋ ｐ （ 雷 ） 一 Ｐ （ ４ ７ １ ￣ ） ＝∑ｐ （ ｘ ） ・
［ ５ ］ 尹 国举 ， 朱 建华 等．模糊 随机 变量的模糊 概率特征 的性质 ［ Ｊ ］ ， 军械工程学院学报 ， ２ ０ ０ ０ ，（ ４ ） ： ７ ３ — ７ ６ ． ［ ６ ］ 哈明虎 ， 杨兰珍 ， 吴 从圻．广义模糊集值测度 引论［ Ｍ］ ．北
ｉ ＝ １
－ ）
） ， …
） ｝ ・
［ ２ ］ Ｌ ．Ａ ．Ｚ ａ ｄ ｅ ｈ ．Ｐ ｒ ｏ ｂ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｍ ｅ ａ ｓ ｕ ｒ ｅ ｓ ｏ ｆ ｆ ｕ ｚ ｚ ｙ ｅ ｖ ｅ ｎ ｔ ｓ ［ Ｊ ］ ．Ｍ ａ ｔ —
ｎ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ａ ｎ ｄ Ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｅ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ，１ ９ ６ ８ ， ２（ ２ ３ ） ．
证明 Ｐ （ Ａ 。 ）＝∑ｐ （ ｘ ） ・ 。 （ ）
＝
同理 ， 此结论可以推广至有限个模糊和事件与 积事件 的概 率 ： 定理２ ． ３ 设 为 随机试 验 的样本 空间 ， ４ ７ （ ｋ ＝１ ， ２ ， …， ｎ ） 为Ｆ ’ （ ）中的模糊事件 ， 则：
＝
证明 若 Ｖ｛ ｝ ｃ Ｆ （ 力） ， ｎ ＝ ， ｉ ≠
． 『 （ ， ． 『 ＝１ ， ２ ， …） ， 有 Ｐ（ ）：０ ， ｍ ：２ ， ３ ， …， 则
由定 理 ２ ． ４及 数 学 归 纳 法 得 到， Ｐ （Ｕ 』
＝
∑Ｐ （ ｘ ） ・ ｍ ａ ｘ Ｉ ４ ７ （ ｘ ） ， 雪 （ ） ｝ ．
事 件） ， 从而得 到ｅ （ ４ ７ ）＝∑Ｐ （ ） ．
由以上结论可以得到经典事件 Ａ的概率实际 上是 它 的特征 函数 的数 学期 望 ，即
∞
，
１ 模 糊 事 件 的 概 率
定义 １ ． １［ ６ 设 是 一 非空 集合 ，给 出映射
１
． ．
』
： 力 ［ ０ ， １ ］ ， Ｉ Ａ （ ） ， 称 确定一个 力的模 ‘ ｌ Ｌ ｕ， ｉ 嚆 Ａ， ＝１ ， ２ ， …， 而分 明事件的特征函数又是模糊事件 糊子集 ． 称为 的隶属 函数 ， ／ ． ｔ ａ （ ） 称 为 对 的 隶属 度． 全 体 力 的模 糊 子 集 构 成 的 类 记 为 的隶属函数 的特殊情况 ， 故模糊事件的概率是经 Ｆ’ （ ） ． 特别地 ， 若 （ ）兰 ０ ， 则 为空集 ； 若 典事件概率的推广 ， 且具有更广泛的实用价值． （ ）兰 １ ， 则 为全 集． 此时 ， （ ， ， Ｐ ） 称为模糊概率空间． 定义 １ ． ２ 【 设 ， ∈Ｆ ’ （ ） ， 分别定义运 ２ 模 糊 事 件 的性 质 及 其 计 算 公式 算 ｕ 雪， ｎ 雪， 。 如下 ： ／ － ｔ ａ ｕ Ｂ （ ）圭 Ａ （ ）Ｖ 置 （ ） 由模糊事件概率 的定义 ， 可以推得模糊事件概 ｎ 置 （ ）圭 （ ）Ａ 五 （ ） 率 的一些性 质． 圭 ｌ一 （ ） 定理 ２ ． １ 设 为 随机试 验 的样本 空间 ， 则模 定义 １ ． ３ 设 为随机 试验 的样 本 空间 ， 上 糊 概 率满足 以下 性 质 ： 的任意模糊子集称为随机试验的模糊事件． （ １ ） Ｖ ∈Ｆ ’ （ ） ， ０≤ Ｐ （ ４ ７ ）≤ １ ； 定义 １ ． ４ ［ ６ 】 设 Ｐ： Ｆ （ ） ［ ０， １ ］ ， 若 （ ２ ） Ｖ ， ∈ Ｆ’ （ ． ） ， ｃ 秀， Ｐ （ ４ ７ ）≤ Ｐ（ 雪 ） ． 力｛ 。 ， ， …｝ ， 基 本事件 的概率为 Ｐ（ ） ， ｉ＝ １ ， ２ ， 证 明 则对于任意模糊事件 ＿ Ａ∈Ｆ ‘ （ ， 其模糊概率为 （ １ ）显 然； （ ２ ） 由定 义 １ ． ３ ， Ｐ Ｏ） ＝
Ｃ ＨＥＮ Ｌ ｉ ， ＤＵ ＡＮ Ｇａ ｎ ｇ ， Ｌ Ｉ Ｍａ ｎ—ｓ ｈｅ ｎ
（ １ ． Ｄ ｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ，Ｌａ ｎ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｃ ｉ ｔ ｙ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｙ ，Ｌ ｔ ａ ｎ ｚ ｈ ｏ ｕ ７ ３ ０ ０ ７ ０ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ；２ ．Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｔｒ ａ ｆ ｉ ｆ ｃ ａ ｎ ｄ Ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｐ ｏ ｒ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ，
证 明 （ １ ）由定义 １ ． ４
Ｐ （
定理 ２ ． ５ 若对于任意的模糊事件序列 ｛ ｝
ｃ Ｆ’ （ ） ， ｎ ＝ ， ｉ ≠＿ 『 （ ， ＿ 『＝ １ ， ２ ， …） ， 则
＝ Ｐ（ ・
Ｐ （ ｕ雪 ）＝∑Ｐ （ ｘ ） ・ （ ｕ秀 ） （ ） 由 定义１ ． ２ ， Ｐ （ Ｓ ４ ｕ ）＝∑ｐ （ ｘ ） ・ （ Ａ ｕ雷 ） （ ）
Ｐ （ Ａ ） ＝ ∑Ｐ （ ｘ ） 厶 （ ） ， 其 中 ， ， Ａ （ 筏 ） ＝ ｛ ： ‘ ∈ ’
，
Ｐ （ ４ ７ ）＝∑ Ｐ （ ） （ ）
其中， Ｐ （ ）＝Ｐ （ ｛ ｝ ） ， （ ） 是每个 相对于 的隶属度 ， ＝１ ， ２ ， …．
京： 科学 出版社 ， ２ ０ ０ ９ ．
４ ７ （ ｘ ） ＋ ∑Ｐ （ ） ・ （ ） 一 ∑Ｐ （ ｘ ） ・ （ ｎ ） （ ）
Ｊ ｌ Ｊ
＝
∑ｐ （ ｘ ｉ ） ・ ７ ４ （ ｘ ） ＋∑Ｐ （ ） ・ 雪 （ ）
Ｔｈ ｅ Ｐｒ ｏ ｂａ ｂｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｆｕ ｚ ｚ ｙ Ｅｖ ｅ ｎｔ ｓ ａ ｎｄ Ｉ ｔ ｓ Ｐｒ ｏ ｐｅ ｒ ｔ ｉ ｅ ｓ
＝
为Ｆ （ ）中的两个模糊事件 ， 则：
∑Ｐ （ ） ｍ ａ ｘ ｛ ４ ７ （ ｘ ） ， （ ） ｝ ．
（ １ ） Ｐ （ Ａ ｕ ）＝∑ Ｐ （ ｘ ｉ ） ・ ｍ ａ ｘ ｌ ￣ （ ｘ ） ， （ ｉ ） ｝ ； （ ２ ） Ｐ （ ｎ莒 ）＝∑Ｐ （ ） ・ ｍ ｉ ｎ ｌ Ａ （ ｘ ） ， 莒 （ ） ．
第３ １ 卷 第５期
２ ０ １ ３ 年 Ｏ ９月
佳 木 斯 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ） Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｊ ｉ ａ ｍｕ ｓ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
Ｖ ｏ １ ． ３ １ Ｎｏ ． ５ Ｓ ｅ ｐ ． ２ ０ １ ３
文章编 号： １ ０ ０ ８—１ ４ ０ ２（ ２ ０ １ ３ ） ０ ５－０ ７ ８ １—０ ２
模 糊 事 件 的概 率及 其性 质①
陈 莉 ，段 刚２ ， 李曼生
（ １ ．兰州城市学院数学学院 ． 甘肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ７ ０ ； ２ ．兰州交通大学交通运输学院 ， 甘肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ７ ０ ）
类似于经典概率 ， 模糊事件的概率也有如下的 加法 公式 ： 定理 ２ ． ４ 对于任意两个模糊事件有 Ｐ （ ４ ７ ｕ ） ＝Ｐ （ ７ ４ ）＋Ｐ（ ）一Ｐ （ ７ ４ ｉ ￣ ） ．
［ ３ ］ 张跃． 模糊 随机变量［ Ｊ ］ ． 哈尔滨建筑工程学 院学报 ， １ ９ ８ ９ ，
（ ３ ）： １ ２— ２ １ ．
［ ４ ］ Ｍ ｉ ｙ ａ ｋ ｏ ｓ ｈ ｉ Ｍ， Ｓ ｈ ｉ ｍ ｂ ｏ Ｍ ． Ａ ｓ ｔ ｒ ｏ ｎ ｇ ｌ ａ ｗ ｏ ｆ ｌ ａ ｒ ｇ ｅ ｎ ｕ ｍ ｂ ｅ ｒ ｓ ｆ ｏ ｒ ｆ ｕ ｚ ｚ ｙ ｒ ａ ｎ ｄ ｏ ｍ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｂ ｌ ｅ ｓ ［ Ｊ ］ ．Ｆ ｕ ｚ ｚ ｙ Ｓ ｅ ｔ ｓ ａ ｎ ｄ Ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｓ ， １ ９ ８ ４ ， １ ２ ： １ ３ ３
①
∑Ｐ （ ） （ ）
ｌ＝ ｌ
又 因为 ｃ舌 ， 所以， Ｐ （ 盖 ）＝∑Ｐ （ ） 秀 （ ）＝
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ７— ２ ４ 基金项 目： 兰州交通大学青年科学研究基金项 目（ ２ ｏ Ｈ ｏ ２ ｏ ） ． 作者简介： 陈莉 （ １ ９ ７ ９一 ） ， 女， 甘肃 天水人 ， 讲师 ， 博士研究生 ， 主要从事模糊系统方 面的研究．
∑Ｐ （ ．
定理２ ． ６ 对于任 意 的 ７ ４ ｃ Ｆ’ （ 力） ， 有 Ｐ（ ４ ７ ）
＝ １一Ｐ（ Ａ ） ．
（ ２ ）由定 义 １ ． ４与 由定 义 １ ． ２可得
Ｐ （ ｎ雪 ）＝∑ ｐ （ ｘ ） ・ （ Ａ ｎ ） （ ）
＝
∑Ｐ （ ｘ ） ・ ｍ ｉ ｎ ｛ ４ ７ （ ｘ ） ， 雪 （ ） ｝ ．
摘 要： 在概 率论的基础上 ， 对 第一类模糊概率 ， 也 即模糊事件 的概 率做 了探讨和研 究．首 先， 通过对模糊事件的定义及特征 的描述，引出离散集上模糊事件概率的概念． 其次， 将模糊事 件概率与分明事件 的概率进行 了比较研究； 最后 ， 刻划并证明了模糊事件概率的基本性质． 关键词 ｉ 模糊集； 模糊事件 ； 模糊概率； 概率
中 图分 类号 ： ０１ ５ ９ 文 献标识 码 ： Ａ
本文对第一类模糊 概率¨ Ｊ ， 也 即模糊事件 的概率做 了探讨 和研究 ， 首先 ， 通过对模糊事件 的定 义及特 征 的 描述 ，引 出离 散 集 上 模 糊 事 件 概 率 的概 念 ， 并将 其 与分 明事 件 的概 率 进 行 了 比较 研究 ， 发现模糊事件 的概率是 经典事件概率 的推 广， 涵盖了经 典概率 ， 进而给 出并证 明了模糊事 件概率的基本性质 ， 对其进行了刻划．
∑Ｐ （ ｘ ） ・ （ １ 一 （ ） ） ∑ｐ （ ｘ ） 一∑ ｐ （ ｘ ） （ ）＝１ 一 Ｐ （ ４ ７ ） ．
Байду номын сангаас
＝
（ １ ） Ｐ （ ） ＝ ∑Ｐ （ ｘ ｉ ） ・ ， ， １ ａ ） 【 ｛ ） ） ， … ） ｝ ；
ｎ
参考 文献 ：
注１ ． １ 当模糊子集７ ４ 退化为分明集Ａ时， 的隶 属函数 （ ） 退化为Ａ的特征函数厶（ ） ， ＝１ ， ２ ， …． 注１ ． ２ 在定 义 １ ． ４中 ， 若 （ ）；０ ， 此 时 盛 ， 即 为 空集 ， 从 而得 到 Ｐ （ ４ ７ ）＝０； 若Ａ （ ）； １ ， 此时 ∈ ， 模糊事件 退化为经典事件 （ 分明
７ ８ ２
佳 木 斯 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
２ ０ １ ３ 年
∑ｅ （ ｘ ） ４ ７ （ ｘ ｉ ） ＋∑Ｐ （ ｘ ） ａ Ｂ （ ｘ ） ≥Ｐ （ Ａ ） ．
定理 ２ ． ２ 设 为 随机试验 的样本 空 间 ， ，
一
∑Ｐ （ ｘ ） ・ ｍ ｉ ｎ ｛ ￣ （ ｘ ） ， 雪 （ ） ｝
［ １ ］ Ｌ ．Ａ ．Ｚ ａ ｄ ｅ ｈ ．Ｆ ｕ ｚ ｚ ｙ ｓ ｅ ｔ ｓ ［ Ｊ ］ ．Ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ Ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ，８
（ １ ０ ６ ５ ） ： ３ ３ ８— ３ ５ ３ ．
ｎ
ｍｉ （ ）。 ｎ ｛ （ ２ ） Ｐ （ ） ＝∑Ｐ
—
１ ４ ２．
证明 Ｐ （ ７ ４ ） ＋ ｐ （ 雷 ） 一 Ｐ （ ４ ７ １ ￣ ） ＝∑ｐ （ ｘ ） ・
［ ５ ］ 尹 国举 ， 朱 建华 等．模糊 随机 变量的模糊 概率特征 的性质 ［ Ｊ ］ ， 军械工程学院学报 ， ２ ０ ０ ０ ，（ ４ ） ： ７ ３ — ７ ６ ． ［ ６ ］ 哈明虎 ， 杨兰珍 ， 吴 从圻．广义模糊集值测度 引论［ Ｍ］ ．北
ｉ ＝ １
－ ）
） ， …
） ｝ ・
［ ２ ］ Ｌ ．Ａ ．Ｚ ａ ｄ ｅ ｈ ．Ｐ ｒ ｏ ｂ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｍ ｅ ａ ｓ ｕ ｒ ｅ ｓ ｏ ｆ ｆ ｕ ｚ ｚ ｙ ｅ ｖ ｅ ｎ ｔ ｓ ［ Ｊ ］ ．Ｍ ａ ｔ —
ｎ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ａ ｎ ｄ Ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｅ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ，１ ９ ６ ８ ， ２（ ２ ３ ） ．
证明 Ｐ （ Ａ 。 ）＝∑ｐ （ ｘ ） ・ 。 （ ）
＝
同理 ， 此结论可以推广至有限个模糊和事件与 积事件 的概 率 ： 定理２ ． ３ 设 为 随机试 验 的样本 空间 ， ４ ７ （ ｋ ＝１ ， ２ ， …， ｎ ） 为Ｆ ’ （ ）中的模糊事件 ， 则：
＝
证明 若 Ｖ｛ ｝ ｃ Ｆ （ 力） ， ｎ ＝ ， ｉ ≠
． 『 （ ， ． 『 ＝１ ， ２ ， …） ， 有 Ｐ（ ）：０ ， ｍ ：２ ， ３ ， …， 则
由定 理 ２ ． ４及 数 学 归 纳 法 得 到， Ｐ （Ｕ 』
＝
∑Ｐ （ ｘ ） ・ ｍ ａ ｘ Ｉ ４ ７ （ ｘ ） ， 雪 （ ） ｝ ．
事 件） ， 从而得 到ｅ （ ４ ７ ）＝∑Ｐ （ ） ．
由以上结论可以得到经典事件 Ａ的概率实际 上是 它 的特征 函数 的数 学期 望 ，即
∞
，
１ 模 糊 事 件 的 概 率
定义 １ ． １［ ６ 设 是 一 非空 集合 ，给 出映射
１
． ．
』
： 力 ［ ０ ， １ ］ ， Ｉ Ａ （ ） ， 称 确定一个 力的模 ‘ ｌ Ｌ ｕ， ｉ 嚆 Ａ， ＝１ ， ２ ， …， 而分 明事件的特征函数又是模糊事件 糊子集 ． 称为 的隶属 函数 ， ／ ． ｔ ａ （ ） 称 为 对 的 隶属 度． 全 体 力 的模 糊 子 集 构 成 的 类 记 为 的隶属函数 的特殊情况 ， 故模糊事件的概率是经 Ｆ’ （ ） ． 特别地 ， 若 （ ）兰 ０ ， 则 为空集 ； 若 典事件概率的推广 ， 且具有更广泛的实用价值． （ ）兰 １ ， 则 为全 集． 此时 ， （ ， ， Ｐ ） 称为模糊概率空间． 定义 １ ． ２ 【 设 ， ∈Ｆ ’ （ ） ， 分别定义运 ２ 模 糊 事 件 的性 质 及 其 计 算 公式 算 ｕ 雪， ｎ 雪， 。 如下 ： ／ － ｔ ａ ｕ Ｂ （ ）圭 Ａ （ ）Ｖ 置 （ ） 由模糊事件概率 的定义 ， 可以推得模糊事件概 ｎ 置 （ ）圭 （ ）Ａ 五 （ ） 率 的一些性 质． 圭 ｌ一 （ ） 定理 ２ ． １ 设 为 随机试 验 的样本 空间 ， 则模 定义 １ ． ３ 设 为随机 试验 的样 本 空间 ， 上 糊 概 率满足 以下 性 质 ： 的任意模糊子集称为随机试验的模糊事件． （ １ ） Ｖ ∈Ｆ ’ （ ） ， ０≤ Ｐ （ ４ ７ ）≤ １ ； 定义 １ ． ４ ［ ６ 】 设 Ｐ： Ｆ （ ） ［ ０， １ ］ ， 若 （ ２ ） Ｖ ， ∈ Ｆ’ （ ． ） ， ｃ 秀， Ｐ （ ４ ７ ）≤ Ｐ（ 雪 ） ． 力｛ 。 ， ， …｝ ， 基 本事件 的概率为 Ｐ（ ） ， ｉ＝ １ ， ２ ， 证 明 则对于任意模糊事件 ＿ Ａ∈Ｆ ‘ （ ， 其模糊概率为 （ １ ）显 然； （ ２ ） 由定 义 １ ． ３ ， Ｐ Ｏ） ＝
Ｃ ＨＥＮ Ｌ ｉ ， ＤＵ ＡＮ Ｇａ ｎ ｇ ， Ｌ Ｉ Ｍａ ｎ—ｓ ｈｅ ｎ
（ １ ． Ｄ ｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ，Ｌａ ｎ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｃ ｉ ｔ ｙ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｙ ，Ｌ ｔ ａ ｎ ｚ ｈ ｏ ｕ ７ ３ ０ ０ ７ ０ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ；２ ．Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｔｒ ａ ｆ ｉ ｆ ｃ ａ ｎ ｄ Ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｐ ｏ ｒ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ，
证 明 （ １ ）由定义 １ ． ４
Ｐ （
定理 ２ ． ５ 若对于任意的模糊事件序列 ｛ ｝
ｃ Ｆ’ （ ） ， ｎ ＝ ， ｉ ≠＿ 『 （ ， ＿ 『＝ １ ， ２ ， …） ， 则
＝ Ｐ（ ・
Ｐ （ ｕ雪 ）＝∑Ｐ （ ｘ ） ・ （ ｕ秀 ） （ ） 由 定义１ ． ２ ， Ｐ （ Ｓ ４ ｕ ）＝∑ｐ （ ｘ ） ・ （ Ａ ｕ雷 ） （ ）