函数单调性的应用

函数单调性的应用 The latest revision on November 22, 2020
函数单调性的应用
一、比较大小
例1若函数f(x)＝x2＋mx＋n，对任意实数x都有f(2－x)＝f(2＋x)成立，试比较f(－1)，
f(2)，f(4)的大小.
解依题意可知f(x)的对称轴为x＝2，
∴f(－1)＝f(5).
∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴f(2)<f(4)<f(5)，即f(2)<f(4)<f(－1).
评注(1)利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而变大；
(2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间.
二、解不等式
例2已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是增函数，且f(t－1)<f(1－2t)，求实数t的取值范围.
解依题意可得解得0<t<.
评注(1)利用单调性解不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，推出两个变量的大小，然后去解不等式.
(2)利用单调性解不等式时应注意函数的定义域，即首先考虑使给出解析式有意义的未知数的取值范围.
(3)利用单调性解不等式时，一定要注意变量的限制条件，以防出错.
三、求参数的值或取值范围
例3已知a>0，函数f(x)＝x3－ax是区间[1，＋∞)上的单调函数，求实数a的取值范围.
解任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，
则Δx＝x2－x1>0.
Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x－ax2)－(x－ax1)
＝(x2－x1)(x＋x1x2＋x－a).
∵1≤x1<x2，∴x＋x1x2＋x>3.
显然不存在常数a，使(x＋x1x2＋x－a)恒为负值.
又f(x)在[1，＋∞)上是单调函数，
∴必有一个常数a，使x＋x1x2＋x－a恒为正数，
即x＋x1x2＋x>a.
当x1，x2∈[1，＋∞)时，x＋x1x2＋x>3，
∴a≤3.此时，∵Δx＝x2－x1>0，∴Δy>0，
即函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴a的取值范围是(0,3].
四、利用函数单调性求函数的最值
例4已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞).
(1)当a＝4时，求f(x)的最小值；
(2)当a＝时，求f(x)的最小值；
(3)若a为正常数，求f(x)的最小值.
解(1)当a＝4时，f(x)＝x＋＋2，易知，f(x)在[1,2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，∴f(x)min＝f(2)＝6.
(2)当a＝时，f(x)＝x＋＋2.
易知，f(x)在[1，＋∞)上为增函数.
∴f(x)min＝f(1)＝.
(3)函数f(x)＝x＋＋2在(0，]上是减函数，
在[，＋∞)上是增函数.
当>1，即a>1时，f(x)在区间[1，＋∞)上先减后增，
∴f(x)min＝f()＝2＋2.
当≤1，即0<a≤1时，f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，∴f(x)min＝f(1)＝a＋3.。