非线性电路中的混沌现象

非线性电路中的混沌现象
实验指导及操作说明书
北航实验物理中心
2013-03-09
教师提示：混沌实验简单，模块化操作，但内容较多，需要课前认真预习。

5.2 非线性电路中的混沌现象
二十多年来混沌一直是举世瞩目的前沿课题和研究热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，有序与无序的统一，确定性与随机性的统一，大大拓宽了人们的视野，加深了对客观世界的认识。

许多人认为混沌的发现是继上世纪相对论与量子力学以来的第三次物理学革命。

目前混沌控制与同步的研究成果已被用来解决秘密通讯、改善和提高激光器性能以及控制人类心律不齐等问题。

混沌（chaos）作为一个科学概念，是指一个确定性系统中出现的类似随机的过程。

理论和实验都证实，即使是最简单的非线性系统也能产生十分复杂的行为特性，可以概括一大类非线性系统的演化特性。

混沌现象出现在非线性电路中是极为普遍的现象，本实验设计一种简单的非线性电路，通过改变电路中的参数可以观察到倍周期分岔、阵发混沌和奇导吸引子等现象。

实验要求对非线性电路的电阻进行伏安特性的测量，以此研究混沌现象产生的原因，并通过对出现倍周期分岔时实验电路中参数的测定，实现对费根鲍姆常数的测量，认识倍周期分岔及该现象的普适常数费根鲍姆（Feigenbaum）常数、奇异吸引子、阵发混沌等非线性系统的共同形态和特征。

此外，通过电感的测量和混沌现象的观察，还可以巩固对串联谐振电路的认识和示波器的使用。

5.2.1 实验要求
1．实验重点
①了解和认识混沌现象及其产生的机理；初步了解倍周期分岔、阵发混沌和奇异吸引子等现象。

②掌握用串联谐振电路测量电感的方法。

③了解非线性电阻的特性，并掌握一种测量非线性电阻伏安特性的方法。

熟悉基本热学仪器的使用，认识热波、加强对波动理论的理解。

④通过粗测费根鲍姆常数，加深对非线性系统步入混沌的通有特性的认识。

了解用计算机实现实验系统控制和数据记录处理的特点。

2．预习要点
（1）用振幅法和相位法测电感
①按已知的数据信息（L～20mh，r～10Ω，C0见现场测试盒提供的数据）估算电路的共振频率f。

②串联电路的电感测量盒如图5.2-7所示。

J1和J2是两个Q9插座，请考虑测共振频率时应如何连线？你期望会看到什么现象？
③考虑如何用振幅法和相位法测量共振频率并由此算得电感量？当激励频率小于、等于和大于电路的共振频率时，电流和激励源信号之间的相位有什么关系？
（2）混沌现象的研究和描述
① 本实验中的混沌现象是怎样发生的？LC 电路有选频作用，为什么还会出现如此复杂的图形呢？ ② 什么叫相图？为什么要用相图来研究混沌现象？本实验中的相图是怎么获得的？复习示波器的使用，考虑如何用示波器观察混沌系统的相图和动力学系统各变量如Vc 1(t )、Vc 2(t )的波形。

③ 什么叫倍周期分岔，表现在相图上有什么特点？
④ 什么叫混沌？表现在相图上有什么特点？
⑤ 什么叫做吸引子？什么是非奇异吸引子？什么是奇异吸引子？表现在相图上有什么特点？ ⑥ 什么是费根鲍姆常数？在本实验中如何测量它的近似值？
（3）负阻元件
① 负阻元件在本实验中起什么作用？为什么把它叫做负阻
元件？对结构比较复杂的负阻元件，我们采用了什么方法来进
行研究？这种方法有什么优缺点？
② 非线性电阻R 的伏安特性如何测量？如何对实验数据进
行分段和拟合？实验中使用的是哪一段曲线(图5.2-1)？
③ 给出测量负阻元件特性的电路图，实验时应当怎样安排
测量点？ 5.2.2 实验原理
1．非线性电路与混沌
非线性电路如图5.2-2所示。

电路中只有一个非线性电阻R =1/g ，它是一个有源非线性负阻元件，电感L 与电容C 2组成一个损耗很小的振荡回路。

可变电阻1/G 和电容C 1构成移相电路。

最简单的非线性元件R 可以看做由三个分段线性的元件组成。

由于加在此元件上的电压增加时，其上面的电流减少，故而称为非线性负阻元件（图5.2-1）。

图5.2-2电路的动力学方程为
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=--=221221
1211)()(c L L c c c c c c c V dt di L i V V G dt dV C gV V V G dt dV C (5.2-1） 上式方程组中，G 代表可变电阻的导纳，1c V 、2c V 分别表示加在电容1C 、2C 上的电压，L i 表示流过L 的电流，g =1/R 表示非线性电阻R 的导纳。

将电导值G 取最小（电阻最大），同时用示波器观察1c V —2c V 的李萨如图形。

它相当于由方程x =
图5.2-1 负阻曲线的拟合 图5.2-2 实验电路原理图
1c V (t)和y =2c V (t )消去时间变量t 而得到的空间曲线，在非线性理论中这种曲线称为相图(phase portrait)[1]。

“相”的意思是运动状态，相图反映了运动状态的联系。

一开始系统存在短暂的稳态，示波器上的李萨如图形表现为一个光点。

随着G 值的增加（电阻减小），李萨如图表现为一个接近斜椭圆的图形（图5.2-3a ）。

它表明系统开始自激振荡，其振荡频率决定于电感与非线性电阻组成的回路特性。

由于1c V 和2c V 同频率但存在一定的相移，所以此时图形为一斜椭圆；由于非线性的存在示波器显示的并不是严格的椭圆，但系统进行着简单的周期运动。

这一点也不难用示波器双踪观察予以证实。

应当指出的是，无论是代表稳态的“光点”，或是开始自激振荡的“椭圆”都是系统经过一段暂态过程后的终态。

示波器显示的是系统进入稳定状态后的“相”图。

实验和理论都证明：只要在各自对应的系统参数（G ，C 1，C 2，L 和R ）下，无论给它什么样的激励（初值条件），最终都将落入到各自的终态集上，故它们被称为“吸引子（attractor ）”。

在非线性动力学理论中，前者又叫“不动点”，后者则属于“极限环”。

继续增加电导（减小可变电阻值1/G ），此时示波器屏幕上出现两相交的椭圆（图5.2-3b ），运动轨线从其中一个椭圆跑到另一个椭圆，再在重叠处又跑到原来的椭圆上，它说明：原先的一倍周期变为两倍周期，即系统需两个周期才恢复原状。

这在非线性理论中称为倍周期分岔(period-doubling bifurcation)。

它揭开了动力学系统步入混沌的“序幕”。

继续减小1/G 值，依次出现4倍周期、8倍周期、16倍周期与阵发混沌（图5.2-3d ）。

再减小1/G 值，出现3倍周期如图5.2-4a ，随着1/G 值的进一步减小，系统完全进入了混沌区，由图5.2-4b 到图5.2-4c ，可以看出运动轨线不再是周期性的，我们从屏幕上观察轨道（如5.2-4c 双吸引子）的演化时，可以看到轨道在左侧绕一会，然后又跑到右侧范围走来走去，绕几圈绕多大似乎是随机的。

完全无法预料它什么时候该从一边过渡到另一边。

但这种随机性与真正随机系统中不可预测的无规性又不相同。

因为相点貌似无规游荡，不会重复已走过的路，但并不以连续概率分布在相平面上随机行走。

类似“线圈”的轨道本身是有界的，其极限集合呈现出奇特而美丽的形状，带有许多空洞，显然有某种规律。

我们仍把这时的解集和前面看到的周期解一样称为一种吸引子。

此类吸引子与其它周期解的吸引子不同，我们通常称之为奇异吸引子（strange attractor ）或混沌吸引子（chaotic attractor ）。

图5.2-4b 称为单吸引子，图5.2-4c 被称为双吸引子。

[1]
在传统的讨论中，人们总是习惯在时间域来研究运动规律，例如讨论电压或电流的时间过程V c2(t ), V c1(t )等。

在非线性理论中，我们会看到使用运动状态之间的关系，更有利于揭示事物的本质。

在本实验中就是研究V c2(t )—V c 1(t )的关系。

这样做表面上看不到V c2和V c 1的时间信息，却突出了电路系统运动的全局概念。

a ． 一倍周期
b ． 两倍周期
c ． 四倍周期
d ． 阵发混沌
图5.2-3 倍周期相图
那么究竟什么是混沌（chaos ）呢？混沌的本意是指宇宙形成以前模糊一团的景象，作为一个科学的术语，它大体包含以下一些主要
内容：① 系统进行着貌似无规的
运动，但决定其运动的基础动力学
却是决定论的；
a ．三倍周期
b ．单吸引子
c ．双吸引子
图5.2-4 混沌吸引子
② 具体结果敏感地依赖初始条件，从而其长期行为具有不可预测性；③ 这种不可预测性并非由外界噪声引起；④ 系统长期行为具有某些全局和普适性的特征，这些特征与初始条件无关。

混沌吸引子具有许多新的特征，例如具有无穷嵌套的自相似结构，几何上的分形即具有分数维数等，还可以用李雅普诺夫（Lyapunov ）指数、功率谱分析等手段来描述，这里我们仅就倍周期分岔通向混沌道路中的某种普适性做一简单分析。

尽管混沌行为是一种类随机运动，但其步入混沌的演化过程在非线性系统中具有普适性。

对于任一非线性电路，其动力学方程可表示为
),(r X F dt dX = N R X ∈ （5.2-2） 其中N 为系统变量数，r 是系统参量。

借助于相图（也称运动轨迹观察法，如任意两变量之间的关系图）可以观察系统的运动状态。

改变参量r 当1r r =时可以看到系统由稳定的周期一变为周期二，继续改变r ，当2r r =时周期二失稳，同时出现周期四，如此继续下去，当n r r =时出现周期为n 2的轨道，上述描述的过程为倍周期分岔。

这一过程不断继续下去，即存在一个集合n r ，使得如果n n r r r ≥>+1，存在稳定的周期n 2解，且存在一极限∞r ，这样系统经过不断周期倍化而进入混沌，这
种演化过程在非线性系统中带有通有（genetic ）性质。

上述分岔值序列按几何收敛方式n n r r -∞⋅-=δConst 迅速收敛。

其中Const 为常数，是大于1的常数
6692016091.4lim 11=--=+-∞→n
n n n n r r r r δ （5.2-3） 常数 被命名为费根鲍姆（Feigenbaum ）常数，它反应了沿周期倍化分岔序列通向混沌的道路中具有的普适性，其普适性地位如同圆周率π，自然对数e 和普朗克常数h 一样。

实际上Feigenbaum 常数之谜还有待更深入的科学论证。

最后再对阵发混沌做一点说明。

当∞>r r 时系统的结果大都完全不收敛于任何周期有限的轨道上，因而可以说系统在倍周期分岔的终点步入混沌。

但是在混沌区当系统参量变化时会出现周期窗口和间歇现象(intermittency)。

其中最宽的窗口是对应周期3的运动轨道。

在这些窗口内，周期轨道也要发生倍周期分岔，最后又进入混沌状态。

另外在出现周期3窗口的位置，发生的分岔在分岔理论中被称为切分岔。

这类分岔点的一侧有三个稳定的周期解，而另一侧根本没有任何稳定的周期解存在，这样当r 稍小于切分岔时的参量c r 时，系统动力学行为呈现间歇现象。

)(t X 在一段时间内好象在往一周期轨道上收敛，但由于并没有稳定的周期存在，“徘徊”几次后又远离而去，经过一些无规可循的运动后，又可能来到某个不稳定周期轨道附近，再次重复上述过程。

但是每次都不是准确地去重蹈覆辙。

整个过程看起来就象在周期运动中随机地夹杂了一些混沌运动，这种运动状态称为阵发混沌。

2．有源非线性负阻元件
有源非线性负阻元件实现的方法有多种，这里使用一种较为简单的电路，采用两个运算放大器（一个双运放TL
082）和6个配置电阻来实现，其电路如图5.2-5所示，它主要是一个正反馈电路，能输出电流维持振荡器不断振荡，而非线性负阻元件的作用是能使振动周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象。

实验一：非线性电阻的伏安特性实验
1．实验目的：测绘非线性电阻的伏安特性曲线
2．实验装置：混沌原理及应用实验仪。

3．实验对象：非线性电阻模块。

4．实验原理框图：
图1
非线性电阻伏安特性原理框图
5．实验方法：
第一步：在混沌原理及应用实验仪面板上插上跳线J01、J02，并将可调电压源处电位器旋钮逆时针旋转到头，在混沌单元1中插上非线性电阻NR1。

第二步：连接混沌原理及应用实验仪电源，打开机箱后侧的电源开关。

面板上的电流表应有电流显示，电压表也应有显示值。

第三步：按顺时针方向慢慢旋转可调电压源上电位器，并观察混沌面板上的电压表上的读数，每隔0.2V记录面板上电压表和电流表上的读数，直到旋钮顺时针旋转到头，将数据记录于表1中。

电压（V）……00.20.40.60.81 1.2 1.4……
电流（mA）
线如图2所示。

图2 非线性电阻伏安特性曲线图
第五步：找出曲线拐点，分别计算五个区间的等效电阻值。

教师提醒：1. 测非线性电阻时需要从混沌电路中隔离，如何实现？
2．为了节省时间，电压间隔可以在找到拐点的前提下变大。

实验二：混沌波形发生实验
1．实验目的：调节并观察非线性电路振荡周期分岔现象和混沌现象。

2．实验装置：混沌原理及应用实验仪、数字示波器1台、电缆连接线2根。

3．实验原理图：
图3 混沌波形发生实验原理框图
4．实验方法：
第一步：拔除跳线J01、J02，在混沌原理及应用实验仪面板的混沌单元1中插上电位器W1、电感L1、电容C1、电容C2、非线性电阻NR1，并将电位器W1上的旋钮顺时针旋转到头。

第二步：用两根Q9线分别连接示波器的CH1和CH2端口到混沌原理及应用实验仪面板上标号Q8和Q7处。

打开机箱后侧的电源开关。

第三步：把示波器的时基档切换到X－Y。

调节示波器通道CH1和CH2的电压档位使示波器显示屏上能显示整个波形，逆时针旋转电位器W1直到示波器上的混沌波形变为一个点，然后慢慢顺时针旋转电位器W1并观察示波器，示波器上应该逐次出现单周期分岔(见图4)、双周期分岔(见图5)、四周期分岔(见图6)、多周期分岔(见图7) 、单吸引子(见图8)、双吸引子(见图9)现象。

教师提醒：1. 整个实验有3套混沌电路，相互独立，实验时不用都拔下。

2．插拔接头初期使用都比较紧，不要插太紧，以免拔出时损坏。

3. 实验二是整个混沌实验的基础，要认真理解，仔细调节。

图4 单周期分岔图5双周期分岔图6四周期分岔
图7多周期分岔图8单吸引子图9 双吸引子
注：在调试出双吸引子图形时，注意感觉调节电位器的可变范围。

即在某一范围内变化，双吸引子都会存在。

最终应该将调节电位器调节到这一范围的中间点，这时双吸引子最为稳定，并易于观察清楚。

实验三混沌电路的同步实验
1．实验目的：调试并观察混沌同步波形
2．实验装置：混沌原理及应用实验仪、双通道示波器1台、电缆连接线2根。

3．实验原理图：
图10
混沌同步原理框图
4．工作原理：
1），由于混沌单元2与混沌单元3的电路参数基本一致，它们自身的振荡周期也具有很大的相似性，只是因为它们的相位不一致，所以看起来都杂乱无章。

看不出它们的相似性。

2），如果能让它们的相位同步，将会发现它们的振荡周期非常相似。

特别是将W2和W3作适当调整，会发现它们的振荡波形不仅周期非常相似，幅度也基本一致。

整个波形具有相当大的等同性。

3），让它们相位同步的方法之一就是让其中一个单元接受另一个单元的影响，受影响大，则能较快同步。

受影响小，则同步较慢，或不能同步。

为此，在两个混沌单元之间加入了“信道一”。

4），“信道一”由一个射随器和一只电位器及一个信号观测口组成。

射随器的作用是单向隔离，它让前级（混沌单元2）的信号通过，再经W4后去影响后级（混沌单元3）的工作状态，而后级的信号却不能影响前级的工作状态。

混沌单元2信号经射随器后，其信号特性基本可认为没发生改变，等于原来混沌单元2的信号。

即W4左方的信号为混沌单元2的信号。

右方的为混沌单元3的信号。

电位器的作用：调整它的阻值可以改变混沌单元2对混沌单元3的影响程度。

5．实验方法：
第一步：插上面板上混沌单元2和混沌单元3的所有电路模块。

按照实验二的方法将混沌单元2和混沌单元3分别调节到混沌状态，即双吸引子状态。

电位器调到保持双吸引子状态的中点。

调试混沌单元2时示波器接到Q5、Q6座处。

调试混沌单元3时示波器接到Q3、Q4座处。

第二步：插上“信道一”和键控器，键控器上的开关置“1”。

用电缆线连接面板上的Q3和Q5到示波器上的CH1和CH2，调节示波器CH1和CH2的电压档位到0.5V。

第三步：细心微调混沌单元2的W2和混沌单元3的W3直到示波器上显示的波形成为过中点约45度的细斜线。

如图11：
图11 混沌同步调节好后示波器上波形状态示意图
这幅图形表达的含义是：如果两路波形完全相等，这条线将是一条45度的非常干净的直线。

45度表示两路波形的幅度基本一致。

线的长度表达了波形的振幅，线的粗细代表两路波形的幅度和相位在细节上的差异。

所以这条线的优劣表达出了两路波形的同步程度。

所以，应尽可能的将这条线调细，但同时必须保证混沌单元2和混沌单元3处于混沌状态。

第四步：用电缆线将示波器的CH1和CH2分别连接Q6和Q5，观察示波器上是否存在混沌波形，如不存在混沌波形，调节W2使混沌单元2处于混沌状态。

再用同样的方法检查混沌单元3，确保混沌单元3也处于混沌状态，显示出双吸引子。

第五步：用电缆线连接面板上的Q3和Q5到示波器上的CH1和CH2，检查示波器上显示的波形为过中点约45度的细斜线。

将示波器的CH1和CH2分别接Q3和Q6，也应显示混沌状态的双吸引子。

第六步：在使W4尽可能大的情况下调节W2，W3，使示波器上显示的斜线尽可能最细。

思考题：为什么要将W4尽可能调大呐？如果W4很小，或者为零，代表什么意思？会出现什么现象？
教师提醒：1. 同步实验是后面通讯实验的准备。

2．分清Q1, Q2，……Q10连接的内容和作用。

实验四混沌键控实验
1．实验目的：用混沌电路方式传输键控信号
2．实验装置：混沌原理及应用实验仪、双通道示波器1台、电缆连接线2根。

3．实验原理框图：
图12
混沌键控实验原理框图
键控器说明：键控器主要由三个部份组成：
1）、控制信号部份：控制信号有三个来原。

A，手动按键产生的键控信号。

低电平0V，高电平5V。

B，电路自身产生的方波信号，周期哟40mS。

低电平0V，高电平5V。

C，外部输入的数字信号。

要求最高频率小于100Hz，低电平0V，高电平5V。

2）、控制信号选择开关：开关拨到“1”时，选择手动按键产生的键控信号。

按键不按时输出
低电平，按下时输出高电平。

开关拨到“2”时，选择电路自身产生的方波信号。

开关拨到“3”时，选择外部输入的数字信号。

3）、切换器：利用选择开关送来的信号来控制切换器的输出选通状态。

当到来的控制信号为高电平时，选通混沌单元1，低电平选通混沌单元2。

4．实验方法：
第一步：在混沌原理及应用实验仪的面板上插上混沌单元1、2和3的所有电路模块。

按照实验二的方法分别将混沌单元1、2和3调节到混沌状态。

第二步：在面板上插上键控单元，信道一和信号处理单元。

将键控器上的拨动开关拨到“1”，此时通过切换器的是来自混沌2的信号（未按按键）。

第三步：将示波器时基切换到“Y-T”，将CH1与“信道一”上的测试插座“TEST1”联接好，此时示波器上将显示“混沌单元二”的输出波形。

调整W2及W5，使波形的峰-峰值为15V左右。

第四步：按住“键控器”上的兰色按键，此时示波器上将显示“混沌单元一”的输出波形。

调整W1，使波形的峰-峰值也为15V左右。

第五步：松开按键，将拨动开关拨到“2”，此时该单元自动产生的控制信号为周期约40ms的方波信号。

它将以方波的半周期为时间单位，周期性的分别把混沌单元1和混沌单元2的信号送过切换器。

此时示波器上显示的波形为“混沌单元一”与“混沌单元二”的交替输出的波形。

如图13。

此波形的峰-峰值也应为15V左右。

应看不出交替的痕迹，可微调W1和W2以及W5来满足此要求。

调整时仔细观测波形，波形不能有太明显变化，否则可能造成混沌状态丢失。

需重调。

图13
第六步：时基切换到“X-Y”，CH1换接Q3，CH2接Q5，示波器上将显示一条约45度的过中心的斜线，调整W3使此斜线为较准确的45度，且尽可能的细（如图14）。

图14
第七步：CH2换接Q7，按住按住“键控器”上的兰色按键，也将出现一条斜线，调整W4使此斜线较粗。

如图15
如图15
第八步：重复上述步骤“第六步”和“第七步”，使“第六步”的一条尽可能的细，“第七步”的一条尽可能的粗。

把W4调整到两条斜线粗细比例最大的位置。

第九步：将示波器时基切换到“Y-T”，CH1接Q1，将开关掷“2”，示波器将显示解密波形（如图16）。

可调整W4，使低电平尽可能的低。

高电平尽可能的高。

观察：将开关掷“1”，快速敲击按键，观测示波器波形。

图16
第十步：控制信号为外部输入波形的情况下混沌加解密波形的观察：
将键控器上的拨动开关拨向“3”，此时的控制信号为外部接入信号。

接入信号的位置为“Q9”，外接输入信号幅值需为0V到+5V,频率需小于100Hz。

输出到示波器上的信号为：当外输入为高电平时为高杂波电平，当外输入为低电平时波形幅度约为0V。

该信号周期与外部接入信号相同，但占空比有一小点变化。

第十一步：用示波器探头测量信道一上面的测试座“TEST1”的输出信号波形，该波型即键控加密波形，比较该波形与外部接入信号，解调输出信号，观察键控混沌的效果。

实验五混沌掩盖与解密实验
1．实验目的：用混沌电路方式实现传输信号的掩盖与解密
2．实验装置：混沌原理及应用实验仪、双通道示波器1台、信号发生器1台、电缆连接线2根。

3．实验原理框图：
图17 混沌掩盖与解密原理框图
4．实验方法：
第一步：在混沌原理及应用实验仪的面板上插上混沌单元2和混沌单元3的所有电路模块。

按照实验二的方法将混沌单元2和3调节到混沌状态。

第二步：按照实验三的步骤将混沌单元2和3调节到混沌同步状态。

第三步：插上减法器模块JAN1、信道《二》模块、加法器模块JIA1，示波器CH1端口连接到Q2处。

第四步：把示波器的时基切换到Y-T并将电压档旋转到500mV位置、时间档旋转到10ms位置、耦合档切换到交流位置， Q10处连接信号发生器的输出口，调节信号发生器的输出信号的频率为100~200Hz、输出幅度为50mV左右的正弦信号。

第五步：逆时针调节电位器W4上的旋钮，直到示波器上出现频率为的输入频率、幅度约为0.7V 左右叠加有一定噪声的正弦信号。

细心调节W2和W3，使噪声最小。

如图18
图18 混沌解密波形
第六步：用示波器探头测量信道二上面的测试口“ TEST2”的输出波形，如图19。

观察外输入信号被混沌信号掩盖的效果，并比较输入信号波形与解密后的波形（第五步中输出的波形）的差别。

图19
附录一 原理说明
一、离散混沌系统的电路实验原理提示
一般说来，非线性离散系统可以写成
),(1μn n X G X =+ 52- 1
这里N R X ∈(N 维空间的矢量)，μ为系统的参量集合，G 为非线性函数。

构造离散系统的电路大致可以分两步进行：首先由方程(1)的G 函数形式建立对应的模拟电路，为了简便起见，假设G 函数是多项式的形式，且最高次幂是二阶的，这样只需用运放和乘法器以及电阻和电容等器件就可以组成相应的模拟电路；然后再利用采样保持电路实现连续状态量的离散化。

下面以一种最典型的离散映象——Logistic 映象为例说明具体的电路实现过程。

Logistic 映象也称为虫口模型，可以描述某些昆虫世代繁衍的规律，方程为：
]1,0[],4,0[),1(1 ∈∈-=+n n n n x x x x μμ 52- 2
其中μ是系统的可调参量，n x 是第n 年昆虫的数目。

Logistic 映象简单，只有二次项，在时间上离散，状态上连续，是一个很好的研究混沌基本特性的模型。

理论研究表明，随着μ值由小至大变化，系统出现倍周期分岔，并通过倍周期分岔通向混沌。

实现Logistic 映象的电路如图52-1所示：虚线框I 为使连续信号离散化的电路，它由采样保持器
II 内是模
拟电路部分，由它实现方程(2)的右端函数形式，电路中的运放A 1和A 2分别构成反向器和反向加法器，
乘法器M 用来实现非线性平方项。

电路的状态方程为
)1.01(1
1n n w n u R R u R R u -=
+ 52- 3 作如下标度变换I
I 图52-1 离散Logistic 系统电路。