把有理函数分解成部分分式解读
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S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s ,Y u n n a n U n i v e r s t i y S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s ,Y u n n a n U n i v e r s t i y S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s ,Y u n n a n U n i v e r s t i y
f (x =
p (x q (x
(1
的形式的函数,这里p (x ,q (x均是关于x的多项式.
由于有理函数的不定积
分和定积分(以下简称积分都涉及到进行部分分式分解,所以这里给出部分分式分解的一般结论.感兴趣的同学可以参阅网址:http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_fraction
s a n d S t a t i s t i c s ,Y u n n a n U n i v e r s t i y S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s ,Y u n n a n U n i v e r s t i y S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s ,Y u n n
由于积分的线性,我们总可以把(1中的分母的最高次系数化为1.然后根据代数
基本定理,分母总可以进行如下的分解因式:
q (x =(x −a 1j 1···(x −a m j m (x 2+b 1x +c 1k 1···(x 2+b n x +c n k n
其中这里的a 1,...,a m ,b 1,...,b n ,c 1,...,c n都是实数,并且b 2i −4c i <0,j 1,...,j m ,k 1,...,k n
都是正整数.
于是f (x有如下的部分分式分解定理(partial fraction decomposition:
f (x =p (x q (x =P (x +m ∑i =1j i ∑r =1A ir (x −a i r +n ∑i =1
k
i ∑r =1B ir x +C ir
(x 2+b i x +c i r其中上式右端的P (x是根据比如多项式的长除法得出的一个(可能是零多项式,
剩下的部分就是把f (x表示成P (x加上一个真分式后对该真分式做的部分分式分
解.这里的系数A ir ,Bir,C ir是唯一确定来自百度文库,一般在中学都学过可以使用待定系数法来确定这些系数.
下面给出一些实例来说明如何应用上面提到的分解方法,同时介绍一种比较简单
的确定系数的方法,请大家仔细研究:
(12
x 2+5x +5
=2=A ,按照同样的方法就可以得到其它两个系数,最后分解的结果应
该是:
S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s ,Y u n n a n U n i v e r s t i y S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s ,Y u n n a n U n i v e r s t i y S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s ,Y u n n a n U n i v e r s t i y
(x −1(x +1(x +2=A x −1+B x +1+C x +2
,其中待定系数A,B,C可以这样来确定:比如想确定A ,可以这样做:首先在等式两边同乘以x −1,然后再令x =1以使得x −1=0,此时右边只剩下A ,左边的分母中的(x −1已经约去了,剩下的就是
2·12+5·1+5
(1+1(1+2
a n U n i v e r s t i y
A v e c Y u a n h o n g Z h i有理函数的部分分式分解
Yuanhong Zhi
Department of Mathematics,YNU
October 22,2012
所谓有理函数,对一元实变量(不妨记为x函数而言,就是指能够写成
S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s ,Y u n n a n
U n i v e r s t i y S c h o o l
o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s ,Y u n n a n U n i v e r s t i y S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s ,Y u n n a n U n i v e r s t i y S c h o o l o f M a t h e m a t i c
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f (x =
p (x q (x
(1
的形式的函数,这里p (x ,q (x均是关于x的多项式.
由于有理函数的不定积
分和定积分(以下简称积分都涉及到进行部分分式分解,所以这里给出部分分式分解的一般结论.感兴趣的同学可以参阅网址:http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_fraction
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由于积分的线性,我们总可以把(1中的分母的最高次系数化为1.然后根据代数
基本定理,分母总可以进行如下的分解因式:
q (x =(x −a 1j 1···(x −a m j m (x 2+b 1x +c 1k 1···(x 2+b n x +c n k n
其中这里的a 1,...,a m ,b 1,...,b n ,c 1,...,c n都是实数,并且b 2i −4c i <0,j 1,...,j m ,k 1,...,k n
都是正整数.
于是f (x有如下的部分分式分解定理(partial fraction decomposition:
f (x =p (x q (x =P (x +m ∑i =1j i ∑r =1A ir (x −a i r +n ∑i =1
k
i ∑r =1B ir x +C ir
(x 2+b i x +c i r其中上式右端的P (x是根据比如多项式的长除法得出的一个(可能是零多项式,
剩下的部分就是把f (x表示成P (x加上一个真分式后对该真分式做的部分分式分
解.这里的系数A ir ,Bir,C ir是唯一确定来自百度文库,一般在中学都学过可以使用待定系数法来确定这些系数.
下面给出一些实例来说明如何应用上面提到的分解方法,同时介绍一种比较简单
的确定系数的方法,请大家仔细研究:
(12
x 2+5x +5
=2=A ,按照同样的方法就可以得到其它两个系数,最后分解的结果应
该是:
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(x −1(x +1(x +2=A x −1+B x +1+C x +2
,其中待定系数A,B,C可以这样来确定:比如想确定A ,可以这样做:首先在等式两边同乘以x −1,然后再令x =1以使得x −1=0,此时右边只剩下A ,左边的分母中的(x −1已经约去了,剩下的就是
2·12+5·1+5
(1+1(1+2
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所谓有理函数,对一元实变量(不妨记为x函数而言,就是指能够写成
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