二项式系数的性质
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1 C10C1
0 1 2 C2 C2C2 0 1 2 3 C3 C3C3 C3 0 1 2 3 4 C4 C4C4 C4 C4 0 1 2 3 4 5 C5 C5C5 C5 C5 C5
1 1 1 2 1 1 3 1 4 1 5
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n
C CC CC CC ……
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0 1 2 C2 C2C2 0 1 2 3 C3 C3C3 C3 0 1 2 3 4 C4 C4C4 C4 C4 0 1 2 3 4 5 C5 C5C5 C5 C5 C5
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C CC CC CC ……
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(a b) 0 1 2 m n n1 n1 C C C C C C (a b) n1 n1 n1 n1 n1 n1
0 1 2 m n Cn CnCn Cn Cn
二项式系数的性质
C ,C ,C ,,C
（2）对称性
上面右边的二项式系数表称为 杨辉三角
杨辉三角
(a b) 展开式中的二项式系数，如下表所示：
n
( a b) 2 (a b) (a b)3 4 (a b) 5 (a b) 6 (a b)
1
1 C10C1
0 1 2 C2 C2C2 0 1 2 3 C3 C3C3 C3 0 1 2 3 4 C4 C4C4 C4 C4 0 1 2 3 4 5 C5 C5C5 C5 C5 C5
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(a b) 0 1 2 m n n1 n1 C C C C C C (a b) n1 n1 n1 n1 n1 n1
0 1 2 m n Cn CnCn Cn Cn
杨辉三角，又称贾宪三角，帕斯卡三角，是 二项式系数在三角形中的一种几何排列。 • • • • 观察二项式系数表 （1）各行之间有什么联系？ （2）每行的二项式系数怎么变化的？ （3）各行有最大值吗？
C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
n
(a b) 的展开式的各二项式系 这就是说， n 数的和等于： 2
一般地， (a b) 展开式的二项式系数
n
C , C ,C 有如下性质：
（ 1） C （ 2） C
m n
0 n
1 n
n n
C C
n m n
m n
m1 n
C
m n1
n 2 n
（3）当n为偶数时， C
最大
当n为奇数时， C
（ 4） C
0 n 1 n
n 1 2 = n
n n
C
n 1 2 n
n
且最大
C C 2
• 例1.求 (1 x) 的展开式中二项式系 数最大的项。 • 解：已知二项式幂指数是偶数，展 开式共有9项，根据二项式系数的性 质，中间项的二项式系数最大， • 所以要求的项为 • 4 4 4
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(a b) 0 1 2 m n n1 n1 C C C C C C (a b) n1 n1 n1 n1 n1 n1
0 1 2 m n Cn CnCn Cn Cn
二项式系数的性质 （3）增减性与最大值 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可 知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取 得最大值。 因此，当 n为偶数时，中间一项的二项式 n 2 取得最大值； 系数 C n
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 C n 1
n 1 2 、 n
Cn 2 相等，且同时取得最大值。
二项式系数的性质
（a＋b） ＝C a ＋ C a
n
0 n
n
1 n
n－1
b＋C a
2 n
n－2 2
b ＋ ＋C b
n n n
（4）各二项式系数的和
在二项式定理中，令 a b 1，则：
C a
b C b
r n n
n
二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共 有多少个？
C ,C ,C ,,C
共有n+1个
0 n
1 n
2 n
n n
杨辉三角
(a b) 展开式中的二项式系数，如下表所示：
n
( a b) 2 (a b) (a b)3 4 (a b) 5 (a b) 6 (a b)
1
1 C10C1
0 1 2 C2 C2C2 0 1 2 3 C3 C3C3 C3 0 1 2 3 4 C4 C4C4 C4 C4 0 1 2 3 4 5 C5 C5C5 C5 C5 C5
1 1 1 2 1 1 3 1 4 1 5
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C CC CC CC ……
0 1 2 m n Cn CnCn Cn Cn
二项式系数的性质
C ,C ,C ,,C
0 n
1 n
2 n
n n
• （1）除每行两端外，每个数字都等于它 肩上的两个数之和。 • 即
C
m n1
C
m1 n
C
m n
杨辉三角
(a b) 展开式中的二项式系数，如下表所示：
n
( a b) 2 (a b) (a b)3 4 (a b) 5 (a b) 6 (a b)
0 n
1 n
2 n
n n
与首末两端“等距离”的两个二项 式系数相等．
这一性质可直接由公式 m nm 得到． C C
n n
杨辉三角
(a b) 展开式中的二项式系数，如下表所示：
n
( a b) 2 (a b) (a b)3 4 (a b) 5 (a b) 6 (a b)
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(a b) 0 1 2 m n n1 n1 C C C C C C (a b) n1 n1 n1 n1 n1 n1
二项式系数的性质
复习
组合数的两个性质： m nm （1） Cn Cn （2） C
m n1
C
m1 n
C
m n
引入 二项式定理:
n N 有 n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 (a b ) C n a C na b C n a b
一般地，对于
r n n r
1 C10C1
0 1 2 C2 C2C2 0 1 2 3 C3 C3C3 C3 0 1 2 3 4 C4 C4C4 C4 C4 0 1 2 3 4 5 C5 C5C5 C5 C5 C5
1 1 1 2 1 1 3 1 4 1 5
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0 1 2 C2 C2C2 0 1 2 3 C3 C3C3 C3 0 1 2 3 4 C4 C4C4 C4 C4 0 1 2 3 4 5 C5 C5C5 C5 C5 C5
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(a b) 0 1 2 m n n1 n1 C C C C C C (a b) n1 n1 n1 n1 n1 n1
0 1 2 m n Cn CnCn Cn Cn
二项式系数的性质
C ,C ,C ,,C
（2）对称性
上面右边的二项式系数表称为 杨辉三角
杨辉三角
(a b) 展开式中的二项式系数，如下表所示：
n
( a b) 2 (a b) (a b)3 4 (a b) 5 (a b) 6 (a b)
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1 C10C1
0 1 2 C2 C2C2 0 1 2 3 C3 C3C3 C3 0 1 2 3 4 C4 C4C4 C4 C4 0 1 2 3 4 5 C5 C5C5 C5 C5 C5
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(a b) 0 1 2 m n n1 n1 C C C C C C (a b) n1 n1 n1 n1 n1 n1
0 1 2 m n Cn CnCn Cn Cn
杨辉三角，又称贾宪三角，帕斯卡三角，是 二项式系数在三角形中的一种几何排列。 • • • • 观察二项式系数表 （1）各行之间有什么联系？ （2）每行的二项式系数怎么变化的？ （3）各行有最大值吗？
C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
n
(a b) 的展开式的各二项式系 这就是说， n 数的和等于： 2
一般地， (a b) 展开式的二项式系数
n
C , C ,C 有如下性质：
（ 1） C （ 2） C
m n
0 n
1 n
n n
C C
n m n
m n
m1 n
C
m n1
n 2 n
（3）当n为偶数时， C
最大
当n为奇数时， C
（ 4） C
0 n 1 n
n 1 2 = n
n n
C
n 1 2 n
n
且最大
C C 2
• 例1.求 (1 x) 的展开式中二项式系 数最大的项。 • 解：已知二项式幂指数是偶数，展 开式共有9项，根据二项式系数的性 质，中间项的二项式系数最大， • 所以要求的项为 • 4 4 4
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二项式系数的性质 （3）增减性与最大值 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可 知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取 得最大值。 因此，当 n为偶数时，中间一项的二项式 n 2 取得最大值； 系数 C n
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 C n 1
n 1 2 、 n
Cn 2 相等，且同时取得最大值。
二项式系数的性质
（a＋b） ＝C a ＋ C a
n
0 n
n
1 n
n－1
b＋C a
2 n
n－2 2
b ＋ ＋C b
n n n
（4）各二项式系数的和
在二项式定理中，令 a b 1，则：
C a
b C b
r n n
n
二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共 有多少个？
C ,C ,C ,,C
共有n+1个
0 n
1 n
2 n
n n
杨辉三角
(a b) 展开式中的二项式系数，如下表所示：
n
( a b) 2 (a b) (a b)3 4 (a b) 5 (a b) 6 (a b)
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1 C10C1
0 1 2 C2 C2C2 0 1 2 3 C3 C3C3 C3 0 1 2 3 4 C4 C4C4 C4 C4 0 1 2 3 4 5 C5 C5C5 C5 C5 C5
1 1 1 2 1 1 3 1 4 1 5
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0 1 2 m n Cn CnCn Cn Cn
二项式系数的性质
C ,C ,C ,,C
0 n
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• （1）除每行两端外，每个数字都等于它 肩上的两个数之和。 • 即
C
m n1
C
m1 n
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m n
杨辉三角
(a b) 展开式中的二项式系数，如下表所示：
n
( a b) 2 (a b) (a b)3 4 (a b) 5 (a b) 6 (a b)
0 n
1 n
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n n
与首末两端“等距离”的两个二项 式系数相等．
这一性质可直接由公式 m nm 得到． C C
n n
杨辉三角
(a b) 展开式中的二项式系数，如下表所示：
n
( a b) 2 (a b) (a b)3 4 (a b) 5 (a b) 6 (a b)
1 1 1 2 1 1 3 1 4 1 5
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(a b) 0 1 2 m n n1 n1 C C C C C C (a b) n1 n1 n1 n1 n1 n1
二项式系数的性质
复习
组合数的两个性质： m nm （1） Cn Cn （2） C
m n1
C
m1 n
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引入 二项式定理:
n N 有 n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 (a b ) C n a C na b C n a b
一般地，对于
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