材料力学第五章 梁弯曲时的位移

分
F
F
B
M
+
B a wC (F )
C qB×a wC (F )
qB = qB ( q ) + qB ( M )
§5-5 梁的刚度校核 提高梁的刚度的措施
一、梁的刚度校核
wmax w [ ] l l
qmax [q ]
刚度条件
吊车梁：
w 1 1 [ ] ～ l 500 600
屋梁和楼板梁： 钢闸门主梁： 普通机床主轴：
wA ＝ 0 wB ＝ 0
wA ＝ 0
qA ＝ 0
边界条件 —— 支座处的约束条件
挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠 度和转角 —— 连续条件
错！
错！
当弯矩方程需要分段建立时，在相邻梁 段的交接处，应具有相同的挠度和转角。
约束条件 本教材中 连续条件 边界条件
例1：悬臂梁在自由端受集中力F作用， 试求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转 角和最大挠度。设梁的弯曲刚度为 EI。
F
A a B a
M
C a D
F
A H B a
M
C a D x
y
0.5Fa
－
a
＋
M图
0.5Fa
M＜0，挠曲线上凸； M＞0，挠曲线下凸； H 为挠曲线的拐点； M＝0，挠曲线为直线。
例4：已知一直梁的挠曲线方程为
试求：
q0 x 3 2 3 w (l 3lx 2 x ) 48EI
① 端点（ x ＝0 及 x ＝l ）的约束情况； ② 画弯矩图、剪力图； ③ 荷载情况，并画出梁的简图。
1
高等数学：
w = ± 3/2 r (x) （1＋ w2）
1
M (x ) w ± = 2 3/2 E Iz （1＋ w ）
M ＜ 0，w ＞ 0
取负号!
M ＞ 0，w ＜ 0
M (x ) w － = 2 3/2 E I z （1＋ w ） w = － M(x) 挠曲线微分方程 2 3/2 E I z （1＋ w ）
2
② 横力弯曲
应变能 弯曲应变能（弯曲变形）
剪切应变能（剪切变形） 可略去不计
M ( x) d x d Vε 2 EI
S S
2
M ( x) Vε dx 2EI l
2
例：悬臂梁长为 l，弯曲刚度为 EI，受 集中力F 作用。试求梁的应变能，并利用功 能原理求 A端的挠度。
A
B
F l P178 例5-9
P160 例5-1
边界条件 x = 0 时： w0 w 0
M ( x) F (l x)
EIw M ( x) F (l x) 2 Fx 积分 EIw EIq Flx C 2 2 3 C 0 Flx Fx EIw Cx D D0 2 6 2 2 3 Flx Fx Flx Fx w q w EI 2 EI 2 EI 6 EI
4
C
bi为Fi离支座最 近的距离
b3 0.9 m
b1 0.4 m b2 0.8 m
b4 0.6 m
wmax 4.94 mm
w [ w] [ ] l 6 mm l
刚度条件满足
wmax [w]
选用两个20a 号槽钢
二、提高梁的刚度的措施
梁的位移除与梁的支承和荷载情况有关外， 还与下列因素有关：
例2：简支梁在D点受集中力F 作用，试求 梁的转角方程和挠度方程，并求最大挠度。设 梁的弯曲刚度为 EI。
P162 例5-3
x
Fb FA l
FA
x
AD段（ 0≤ x ≤ a ）：
DB段（ a ≤ x ≤ l ）：
FB
Fb M 1 ( x) x l
Fa FB l
Fb M 2 ( x) x F ( x a) l
P372 附录Ⅳ
求 wC 、qA
拆
分
叠
加
wC ( q ) 、 q A ( q )
+
+
wC ( F ) 、 q A ( F )
q
A
0.5 l
B
0.5 l
C
求 wC 、qC wB(q) qB(q)×0.5 l
拆 q
A
0.5 l
分
B
+
B
qB(q)
0.5 l
C
wB ( q ) 、qB ( q ) 变形位移
第五章 梁弯曲时的位移
◆ 梁的位移——挠度及转角 ◆ 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 ◆ 按叠加原理计算梁的挠度和转角 ◆ 奇异函数的刚度的措施
◆ 梁内的弯曲应变能
§5-1 梁的位移 — 挠度和转角
当梁发生对称弯曲时，梁的轴线在纵向对称 平面内弯成一条平面曲线。
边界条件
w2 w1
x = l 时： w2 0
x = 0 时： w1 0
D1 D2 0
Fb 2 C1 C2 (l b 2 ) 6l
AD段（ 0≤ x ≤ a ）：
Fb(l 2 b 2 ) Fb 2 q1 w1 x 6 EIl 2 EIl
Fb(l 2 b 2 ) Fb 3 w1 x x 6 EIl 6 EIl
正问题
反问题
q0 x 3 2 3 w (l 3lx 2 x ) 48EI q0 3 2 3 q w (l 9lx 8 x ) 48 EI
w(0) 0
q0l q (0) 48EI
3
固定铰支座 活动铰支座 固定端 活动铰支座
w(l ) 0
q (l ) 0
q0 M ( x) EI w (3lx 4 x 2 ) 8 d M q0 FS ( x) (3l 8 x) dx 8
横力弯曲
wA
A
M ( x) Fx
应变能
2
F
l
x
B
l
2 2 3
F F l M ( x) 2 x dx Vε dx 0 2 EI 6 EI 2 EI l
外力作功
1 W Fw A Vε 2
Fl wA 3EI
3
作业：
5－6 ；
5－12、23 ；
5－24 。
DB段（ a ≤ x ≤ l ）：
Fb(l 2 b 2 ) Fb 2 F 2 w2 q 2 x ( x a) 6 EIl 2 EIl 2 EI
Fb(l 2 b 2 ) Fb 3 F w2 x x ( x a)3 6 EIl 6 EIl 6 EI
可以证明：当a ＞b 时，梁最大挠度发生在AD段。
刚体位移
叠加法
不仅可将荷载拆开，进行上、下叠加；
还可将梁拆开，进行左、右叠加。
注意：
① 拆分时不能改变梁的受力情况； ② 叠加时不能改变梁的变形情况。
例：外伸梁受力如图，已知 F、q、a，试 用叠加法求梁自由端 C 的挠度。设梁的弯曲刚 度为 EI。
q
F
A
2a
B
C
a
q
A
2a
F
B
a C
拆
q
A
2a
0 w1
l b x0 3
2
2
wmax
Fb(l 2 b 2 ) 3 / 2 9 3EIl
Fb(3l 2 4b 2 ) 而 wC 48EI
wC 与 wmax 非常接近，最大误差2.65％。
对于受任意荷载的简支梁，若挠曲线上无拐点， 则可用梁中点的挠度代替最大挠度。
例3：悬臂梁如图，已知F、a，M＝0.5 Fa， 梁的弯曲刚度 EI 为常数，试画出挠曲线的大致形 状。
AD段（ 0≤ x ≤ a ）：
Fb EI w1 x l
Fb M 1 ( x) x l
Fb x EIq1 EIw1 C1 l 2 Fb x EIw C1 x D1 1 l 6
3
2
DB段（ a ≤ x ≤ l ）：
Fb M 2 ( x) x F ( x a) l
要校核正应力强度条件
s max
M max 175 MPa [s ] Wz
相对误差为3％＜5％，满足正应力强度条件。
③ 校核切应力强度条件
查型钢表（20a 号槽钢）： I z 1780 .4 cm4
h 200 mm
b 73 mm
d 7 mm
FS max S t max Izd
小 变 形
w = －
M (x ) E Iz
挠曲线近似微分方程
等直梁：
E I w ＝－ M(x)
E I 为常量
EI q M ( x) dx C
EIw [ M ( x) dx] dx Cx D
积分法
积分常数由边界条件、连续条件确定
挠曲线上某些点的已知位移（挠度和 转角）条件 —— 边界条件
Fb EIw2 x F ( x a) l
Fb x ( x a) EIq 2 EIw2 F C2 l 2 2
2 2
Fb x 3 ( x a)3 EIw2 F C2 x D2 l 6 6
确定积分常数
连续条件
x = a 时：
w1 w2
P173 例5-8
FA
FSmax＝138 kN
FB
① 画 内 力 图
S
Mmax＝62.4 kN· m
②按正应力强度条件选择槽钢型号
s max
M max [s ] Wz
M max Wz 367 cm3 [s ]
3 3
3
查型钢表(P370)，选用两个 20a 号槽钢。
Wz 178 2 cm 356 cm 367 cm
3 8
＋ －
FS 图（ q0l ）
－
＋
5 8 1 8
9 128
M 图（ q0
l2 ）
9 128
§5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
积分法
挠度和转角的普遍方程
梁上荷载复杂时，须分段建立弯矩方程，积分常数 成倍增长，确定积分常数十分烦琐。
叠加法、奇异函数法（初参数法）、能量法等
叠加原理
当某一参数（如内力、应力、位移等）与荷 载成线性关系时， 多个荷载作用下引起的参数等 于各个荷载单独作用下所引起的参数的叠加。
挠曲线
光 滑 连 续 曲 线
挠度 w —— 线位移 转角 q
—— 角位移
梁的位移
w = f (x)
挠曲线方程 （挠度方程） 小变形情况下：f =
tanq ≈q
转角方程
q = f ( x )
图示坐标下：w向下为正，
q 顺时针转为正。
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程 及其积分
梁中性层的曲率：
M (x ) ＝ r (x) E Iz
z max
11 mm
FS max 2[b (0.5h 0.5 ) d 0.5(0.5h ) ] 2I z 2d
2
57.4 MPa [t ]
切应力强度条件满足
④ 校核刚度
Fi bi (3l 2 4bi2 ) wmax wC 48EI i 1
抛物线
直线
d FS q ( x) q0 dx
3 M (0) 0 FS (0) q0l 8 1 5 2 M (l ) q0l FS (l ) q0l 8 8
q0
静定梁（简支梁）
1 q l2 8 0
q0
超静定梁
静定梁 ？
3 8
＋ －
FS 图（ q0l ）
－
＋
5 8 1 8
材料 —— 与弹性模量 E 成反比 截面 —— 与惯性矩 I 成反比 跨长 —— 与跨长 l 的 n 次幂成正比 ①增大梁的弯曲刚度 EI ②调整跨长和改变结构
q
A
缩短跨长
q
B
A
B
F
增加约束
q
超静定结构
§5-6 梁内的弯曲应变能
① 纯弯曲
Ml q r EI
Me
l
O
q
M l 1 Vε M eq 2 2 EI
w 1 1 [ ] ～ l 200 400
w 1 1 [ ] ～ l 500 750
w 1 1 [ ] ～ l 5000 10000
[q ] 0.001 rad～0.005 rad
例：简支梁横截面由两个槽钢组成，受力如图。 已知 F1 =120 kN、F2 =30 kN、F3 =40 kN、F4 =12 kN； 钢[s ]=170 MPa，[t ]=100 MPa；E =2.1×105 MPa； 梁[w / l]= 1 / 400。试选择槽钢的型号。