【从真题看命题系列】2020中科院真题解读(2)——小变形与大变形分析

通过这期专题的分析，我们可以对 “为什么材料力学采用小变形假定” 这个问题有新的认识。 3
©旦翠丘匹l
【参考答案】
由题意可知，AB杆与BC杆在外力作用下产生了水平位移u和竖直位移v, 可以假设AB和BC杆均受
拉，结构变形前后受力以及相应符号引入如下图所示：
卢
t
\B,
P
/ l
-
P
/l
/ _l ＼
/B a ， / ___ \， ＼
2E1A1 2E2�
将式＠、＠带入上式可得：
U=
L1 2E1Al
［卢＋
\n u
FAB]+ E]A])
L2 2E2A2
\［心 ._,,, ＋
FBC 3] E2Ai
9
©旦翠丘匹l
au au au 由卡式第一定理可知 6P ＝ u, 6G =V，根据题意要求，需求出包含有P、Q、 U、v的表达式，
气 （ 勹 本质上两个方程运算得出的表达式是等效的，这里不妨化简第一个式子
p
． `』．
B
Q 个一
. . ••••••••••••••
立
v
移为u和v。 2
问题： (1)用卡式定理推导P, G, u, V的关系式。
(2)利用小变形条件将(1)简化为线性。
2
【解题分析】近年来，部分院校的考研真题中开始出现了针对材料力学四大基本假设中的小变形假
设的定量计算与讨论（例如2016年中科院第6题、2018年上海交通大学计算题第1题等），主要考察由千 小变形假设带来的计算误差，这类题目重点考察考生对千基本概念的理解。
图示结构， 已知AB、 BC杆的弹性
模量E= 200GPa, F= 60kN, AB杆的
截面积A1 = 100mm2 , BC杆的截面积
F
A2 = 80mm2 ， 求各杆件因小变形假设
c
B
而导致的计算误差。
卜
4L/3
勹_
14
【参考答案】
结构体系在变形前后受力
分别如图所示：
，卜 c 4L/3
图2变形前结点受力示意图
——= u aP
aP
L] 2FAB + 3 FAB 2E1A \ £W E)A)
)
8FAB +
L2
2 (2几＋ 3FBC ]8FBC =U
aP 2E2A2 \ vll E2�) aP
:·...化....简....上....式.;.:.，....可....得.....P..、..Q .....、....U..、..v...之 .....间...的....关 ..:.:.系....：.......................;..·..................................................·::. ...........................·:
2020年中国科学院大学材料力学(807)考研真题解读（二）
材料力学的小变形假定及其误差分析
©匕芦“`？＇
二0二0年四月
©旦翠丘匹l
2020年中国科学院大学硕士研究生入学考试材料力学(807)试题－第七大题(30分）
厂
AB和CB两杆的长度分别为L1和L2, 截面的面积分别为A1和 A2, 杨氏模量分别为凡和E2，两个杆在ABC三处绞接，h1为AB 水平方向上的投影，b2为CB水平方向上的投影，h为它们的高。 在B处同时施加 一个水平拉力P和一个垂直拉力G, 荷载作用下 两杆发生线弹性小变形，B点移动到B'点，相应的水平和垂直位
叶；； t[P +�＋—V“
2 ［心—V“ 叫— (b1 +b2)'u = 0
L............. _ .. _ ．．怎•·•心鼻·••·•·•· ......｀...贮贮........暴• · ••• · •·• · ......`···•··· •于．．嘈·嘈－．．．！
12
【东川题后说】 其实， 本题解法井不唯一。 由千题中给出了较多的几何参量， 因此在求解平衡方
程过程中采用的三角代换也可以是不同。 此外， 在运用卡式定理建立方程时， 选择 不同的偏导变量也会导致最后表达式在形式上有所差异， 但实质上是等效的。
这类题目一般具有巨大的计算量和繁琐的化简。
13
©旦翠丘匹l
类似的题目在其他学校往年的考研真题中也出现过， 例如：
2018年上海交通大学硕士研究生入学考试材料力学(804)试题 (10分）
联立＠、＠可得：
』@ cosa'＝
sin(a'＋ /3 ＇ )
（
L2 b五
）
(1+
FBC E2 A
根据变形后结构的几何关系：
+ tna /J
＇=
b2 h
—U v
tna a'， =
bI. h
+u +v
厂 B / :\
✓,/ //a':＇: /3\＼＇＼
.//
/
hft+'V v::
\
/
I
\
／
＼
： ／
／
一一一一一一一一一一一一一一一一．一一一一一上 A盂
FAB l AB El Al
=
FABLI ElAl
AlBC =
FBClBC E2 A2
=
FBC L2 E2 A2
则杆件变形后长度为：
lAB'
=lAB
+�!AB
=
F (I+� EI AI )LI
@
伍 ＝lBC +�lBC = (I+� EF2 A2 )L2
@
由变形协调方程：
lAB'cosa'= lB'ccosfi'
FAB cos(a'＋几）＝FBC COS/32
FAB
I
访 6
f
J
-
l
勹 J ­
l /
”}－
j-
/
I
－-
、－
I
I
I
， I
.
R
q j－
巳
2f
J -
FABsin(a'+/3�) = FBcsin/32 +F
FBC
16
联立求解可得： FAB=csmo· sa/32， F
`
二
FB
C=
cos(la'， +/32
l _
1 B，
©旦翠丘匹l
由物理方程：
二 LAB' ＝LAB 』AB =［l 十：AB ＝ ［1:
＠
LCB'�LCB 湿CB =［1+E勹丿 扫 ＝ ［1＋ E勹丿t:aa @
联立变形协调方程＠、＠和物理方程＠ ＠可得：
＝
二归 si;”[`]
?
』 cos(siana'+'/3t 2)＝ nl aa (1+EFBAC
二：F jB I
F
FAB
I
I
I
B
I
伈
肛芒今沁汇＿＿＿＿＿
勹_
FBC
F
图1变形前结构受力示意图
图4变形后结点受力示意图
©旦翠丘匹l
(1)在小变形假设前提下， 结点B的受力如图2所示，
根据平衡方程很容易求得：
FAB
F = lOOkN s1na
FBC
=
_F:_ tana
=
80kN
(2)若不采用小变形假设简化， 结点B的受力如图4所示。 由静力平衡可知：
)
.b1 h
+u
v
(1
FBC
E2 4
厂
B,
p
/I
\ / I
/ II ＼
/ ，p / a I \
I I
，\
／ II ＼
h + v ／
I
I
＼
/／
I I
＼
忑
A
／
I I
＼
－+b­ c ／
－ - － － － b­ 1- － ­U － －III, 2- ­ ｀
将?通分别代入｀、＠表达式井化简求解可得：
； G) + + +V FAB =
将采用小变形假设后的各项物理参数带入上式：
U= L x
2
Ll
x P ＋ 九— UG ＋ L2 X
2
L2
x —P ＋竺勹
2E1 Al.. (bl 十九）2 . (\~. h+V -)] . 2E2A2 （如九）2 (
h+V
上式=-·对· · P· · 求· · 偏· · 导· ·，· ·再· · 代· · 入· · · ·— ao·u·P—· ·=· ·U· ·可· ·得· ·：· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·-:
＠旦汉丘匡l
(2)材料力学中的小变形假设近似地认为杆件变形后的长度等千变形前的长度。如此，问题就可以得
到较大程度地简化。不妨对比一下大变形与小变形的区别。
冒曰谓1
AB杆长
大变形
心）凸 如，＝（1
1 1 小变形假设（简化后）
lAB1 =L1
BC杆长
（ 妇＝ 1 ＋ EF2BAc2) 伈
知c =L2
AB杆内力 BC杆内力
材料力学中的小变形假设认为杆件在外力作用下产生的变形是十分微小的，计算过程中可近似地 认为杆件变形后的长度等于变形前的长度。
例如此题，有同学会直接在结构变形前的B点建立平衡方程进而求解杆件内力，这样做违背了命题 人的初心，题目中虽然说明了杆件在荷载作用下发生弹性小变形，但井不代表此处的小变形可以在计算 中可以忽略不计。 简言之，本题的第一问是建立在弹性小变形不可忽略的基础上进行计算，而第二问则 是建立在忽略杆件小变形（即按照杆件原长）进行计算。
厂－点 ）（ ＝ b 陑:
1
P P＋ ( + b卢了
b2 - U h+ V G)
｀了）（ 1
压 ＝ b｀伪＿点 (-P +
＋ －P
b1 + u
h +V G)
加＝从L＋1
b2
(P
+
柲 h
－U
+V
G)
(－ 知＝仇L＋2
b2
(_P +.
b1 h
+
+
u V
G)
11
©旦翠丘匹l
结构体系的应变能为： U ＝ FAB lAB' 十几 lCB' 2ElA1 2E2A2
bl b2 Ll
P
b2 -U G h+v
-
1 EIA1
((Pn
,
+
b?
-U
(－ G) FBC
=
b1 +b2
-P
+
b, h
E2A2
+u +v
G
P
+
b `
8
进而,
aFAB aP
2
］ ［妒九 － E勹厂:/b`G)
8—F坠；＝ 8P
[b1 +b2-��
结构体系的应变能为：
= FAB勺•AB' ＋ FCB订CB'
图3结构变形后受力示意图
图4B'结点变形后受力示意图
4
(1)如图4所示的受力示意图，分别采用三大方程求解未知力FAB和FBc•
由静力平衡方程可知：
......................................................
FABcosa'+ FBccosfJ'= G
仇＋u
如－u＼
7
©旦翠丘匹l
可得：
sin/3 sin(a'＋
＇
/3
＇）
＝
cos/3 sin(a'＋
＇
/3t ＇） na /3
＇
(凡 』@ V L ．九 － u
（b三） h +
l+
FAB A
］仰 sma'
（ + + + sin(a'＋/3
＇）
＝
sin(caos'a＋/'3t ＇） na a'＝
b1
L2 b2
Fl
A o---－－－－－－�--------.-------� C
b1
b2
Fl
盂
A
h + v \ ／ /b
_
_
＼
l
/
l l
\ ／ /
l l l
,
－+ \ ＼ c b
l
b b 1
『 U ll 2
- ­ ­ － － - - ­ － ~' -
凡B
FBC
图1结构变形前受力示意图 图2B结点变形前受力示意图
sina'
)
F
@
由变形协调可知：LAB.cos(a'+/3�) =LBc'cos/32
一
LAB.sin(a'＋凡）—LBcsin/32 =LБайду номын сангаас
联立求解可得： LAB'==� csionsa/32'L @
LCB'=� cos1s（iana·， +'几）L @
」u |
B －皇
、 、 盲－ j F v
I ­
4
+
4
;
－－－－－•E-1·A•一．一1·[1…� b ..-+ L－－－1b －－－－－-－－E� －－－－11A－－－1－(－(－\_－－Ph -－－+ 倡-…－ � b｀2｀+ ｀．-v·-u-G·.).:...-I:._怎-·-｀`..｀`配··`｀.，｀E·…2A``.2..:-l[� ..b.1.+ L...2:b .-2...-...E� .嘈`2.1 A.｀｀2一((·…－-b ·h P｀嘈…+｀� ｀:..+ .+ 1 ｀壹晕V U ..嘈G`..))｀`.I]母....…``_J10
解得：
FABsina'—FBcsin/3'= P
CD FAB=
cos/3 ＇ sin(a'+/3
＇）
P+
sin/J ＇ sin(a'+/J
＇
)
G
FAB
B'结点变形后受力示意图
FBC
=
-cosa' sin(a'+/J'）
P_ +
sina' sin(a'+/J
＇）
G
@
5
©旦翠丘匹l
由物理方程可知：
AlAB=
@
18
材
将存、 ＠分别代入中、 ＠化简可得：
FAB
=
F sm. a —
F
=100.5kN
EA1
FAB =
F
tana —
F
= 80.4kN
EA2
误差0.5%!
可见，用小变形假设简化计算与大变形分析方法得到的结果相差不大， 却大大简化了计算过程。 因此，在材料力学的研究中通常采用小变形假定。