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正态分布及其应用
(normal distribution)
第一节 正态分布的概念和特征
➢一.概念 正态分布又称高斯（Gauss）分布，
是最常见、最重要的一种连续型分布， 医学资料中有许多指标的频数分布都呈 正态分布，如身高、体重、脉搏、血红 蛋白、血清总胆固醇等。
➢二．图形 正态分布密度函数
f (X)
如白细胞总数，无论过高或过低均属
异常，故正常值范围需要分别确定下
限和上限，即双侧界值；有些指标如
肺活量通常只以过低为异常，血铅以
过高为异常，只需要确定下限或上限， 即单侧界值。
依据资料的分布类型有以下两种计 算医学参考值范围的常用方法。
➢正态近似法 适用于服从正态分布或近 似正态分布的资料
➢双侧1 参考值范围
x u 2s
➢单侧 1 参考值范围
x u s 或 x u s
➢百分位数法 适用于偏态分布资料、分 布型未知的资料以及分布末端有不确定 值的资料。
➢双侧95%参考值范围 P2.5 ~ P97.5
➢单侧95%参考值范围
P5 或 P95
➢医学参考值范围Reference Range 指某 群体“正常人”的解剖、生理、生化等 各种指标大多数个体值的波动范围。
➢这里“正常人”不是指机体任何器官、 组织的形态和功能都正常的人，而是排 除了对研究指标有影响的疾病或因素之 后的同质人群。
➢通常使用的医学参考值范围有90%、 95%、99%等，最常用的为95%。另外， 还应根据专业知识确定单、双侧，例
定， 增大，曲线沿 X 轴向右平移。因此，不
同的 ，不同的 ，对应不同的正态分布。
不同均值正态分布示意图
1.5 1
不同标准差的正态分布示意图
➢ 正态曲线下面积的分布规律
通过对密度函数积分我们可以知道正态曲线下， 横轴上所夹的面积为1。理论上：
范围内曲线下的面积占总面积的68.27%； 1.645 范围内曲线下的面积占总面积的90%； 1.96 范围内曲线下的面积占总面积的95%；
或称 变换u 。
uHale Waihona Puke Baidux
•
实际应用中，经u 变换后，就可把
求解任意一个正态分布曲线下面积的问
题，转化成标准正态分布曲线下相应的
面积问题。附表1给出了标准正态分布
曲线下从 到 u的面积，根据正态分布
的对称性，我们可以求出任何一个区间
内标准正态分布曲线下的面积，也就是
u 落在任何一个区间内的概率。
• 例3-1 在例2-1中求得150名12岁健 康男童体重的均数 x 36.3（kg），标准 差 s 6.19（kg），试估计该150名12岁 健康男童所代表的总体中，体重在50kg 以上的儿童所占的比例。
1
2
exp(
(X )2 2 2
)
其中参数为均值， 为标准差，由此
决定的正态分布记作 N (, 2 ) 。
正态分布概率密度曲线示意图
➢ 三．特征
➢ 正态分布是单峰曲线，形状呈钟型，中间高，两
端低，以 X 为对称轴，左右完全对称。
➢ 在 X 处，f (X ) 取得最大值。
➢ 有两个参数：位置参数 和变异度参数 。 一定， 越大，数据越分散，曲线越平坦； 一
• 将 x 50 ，x 36.3 ，s 6.19 代入公 式 u x ，得 u 2.21 。
• 根据正态 分布的对称性知，外侧尾部面
积 u 2.21与外侧尾部面积 u 2.21
相同，查附表1，得对应的概率为0.0136， 体重在50kg以上的12岁儿童占1.36%。
第三节 医学参考值范围的制定
2.58 范围内曲线下的面积占总面积的99%。
➢四、正态分布的应用
➢估计频数分布。
➢制定医学参考值范围。
➢正态分布是许多统计方法的理论基础。
今后要讨论到的 分布t 、 分布F 与
分布 2等都是在正态分布的基础上推导 出来的。
第二节 标准正态分布及其应用
只要变量 X ~ N(, 2 ) ，就可经下式 转换为 0、 1的标准正态分布，记 作 u ~ N(0,1) 。此变换也称为标准化变换，
(normal distribution)
第一节 正态分布的概念和特征
➢一.概念 正态分布又称高斯（Gauss）分布，
是最常见、最重要的一种连续型分布， 医学资料中有许多指标的频数分布都呈 正态分布，如身高、体重、脉搏、血红 蛋白、血清总胆固醇等。
➢二．图形 正态分布密度函数
f (X)
如白细胞总数，无论过高或过低均属
异常，故正常值范围需要分别确定下
限和上限，即双侧界值；有些指标如
肺活量通常只以过低为异常，血铅以
过高为异常，只需要确定下限或上限， 即单侧界值。
依据资料的分布类型有以下两种计 算医学参考值范围的常用方法。
➢正态近似法 适用于服从正态分布或近 似正态分布的资料
➢双侧1 参考值范围
x u 2s
➢单侧 1 参考值范围
x u s 或 x u s
➢百分位数法 适用于偏态分布资料、分 布型未知的资料以及分布末端有不确定 值的资料。
➢双侧95%参考值范围 P2.5 ~ P97.5
➢单侧95%参考值范围
P5 或 P95
➢医学参考值范围Reference Range 指某 群体“正常人”的解剖、生理、生化等 各种指标大多数个体值的波动范围。
➢这里“正常人”不是指机体任何器官、 组织的形态和功能都正常的人，而是排 除了对研究指标有影响的疾病或因素之 后的同质人群。
➢通常使用的医学参考值范围有90%、 95%、99%等，最常用的为95%。另外， 还应根据专业知识确定单、双侧，例
定， 增大，曲线沿 X 轴向右平移。因此，不
同的 ，不同的 ，对应不同的正态分布。
不同均值正态分布示意图
1.5 1
不同标准差的正态分布示意图
➢ 正态曲线下面积的分布规律
通过对密度函数积分我们可以知道正态曲线下， 横轴上所夹的面积为1。理论上：
范围内曲线下的面积占总面积的68.27%； 1.645 范围内曲线下的面积占总面积的90%； 1.96 范围内曲线下的面积占总面积的95%；
或称 变换u 。
uHale Waihona Puke Baidux
•
实际应用中，经u 变换后，就可把
求解任意一个正态分布曲线下面积的问
题，转化成标准正态分布曲线下相应的
面积问题。附表1给出了标准正态分布
曲线下从 到 u的面积，根据正态分布
的对称性，我们可以求出任何一个区间
内标准正态分布曲线下的面积，也就是
u 落在任何一个区间内的概率。
• 例3-1 在例2-1中求得150名12岁健 康男童体重的均数 x 36.3（kg），标准 差 s 6.19（kg），试估计该150名12岁 健康男童所代表的总体中，体重在50kg 以上的儿童所占的比例。
1
2
exp(
(X )2 2 2
)
其中参数为均值， 为标准差，由此
决定的正态分布记作 N (, 2 ) 。
正态分布概率密度曲线示意图
➢ 三．特征
➢ 正态分布是单峰曲线，形状呈钟型，中间高，两
端低，以 X 为对称轴，左右完全对称。
➢ 在 X 处，f (X ) 取得最大值。
➢ 有两个参数：位置参数 和变异度参数 。 一定， 越大，数据越分散，曲线越平坦； 一
• 将 x 50 ，x 36.3 ，s 6.19 代入公 式 u x ，得 u 2.21 。
• 根据正态 分布的对称性知，外侧尾部面
积 u 2.21与外侧尾部面积 u 2.21
相同，查附表1，得对应的概率为0.0136， 体重在50kg以上的12岁儿童占1.36%。
第三节 医学参考值范围的制定
2.58 范围内曲线下的面积占总面积的99%。
➢四、正态分布的应用
➢估计频数分布。
➢制定医学参考值范围。
➢正态分布是许多统计方法的理论基础。
今后要讨论到的 分布t 、 分布F 与
分布 2等都是在正态分布的基础上推导 出来的。
第二节 标准正态分布及其应用
只要变量 X ~ N(, 2 ) ，就可经下式 转换为 0、 1的标准正态分布，记 作 u ~ N(0,1) 。此变换也称为标准化变换，