数值计算方法绪论
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计算机运算: 只能进行加，减，乘，除等算术运算 和一些逻辑运算。
5
学习数值计算方法重要性
实际 问题
数学 模型
计算机 算法
程序 设计
计算机 计算
解答
科学计算的过程
6
计算机算法
数值算法
主要指与连续数学模型有关的算法如数值线性代数、 方程求解、数值逼近、数值微积分、微分方程数值解 和最优化计算方法等，它给出的是问题的近似解；
11
举例说明一
1. 求解线性方程组Ax=b，其中A为3阶可逆方阵 X=(x1,x2,x3)T;
2. 求代数方程x2+x-6=0在[0,4]上的根x*
3. 已知y=p(x)为[x0,x1]上的直线，满足p(x0)= y0 ，
4.
p(x1)= y1求p(x2) 计算定积分 I
b 1 dx(1 a b)
模型误差 观测误差
数学 模型 方法误差
数值 方法
程序 设计
舍入误差
计算机 计算
解答
31
2.误差的基本概念
定义0.1 设x为准确值，x*是x的一个近似值，称 e*=x*-x为近似值x*的绝对误差，或简称误差。
定义0.2 设 * 0，并满足 e* x* x *
则称 *为近似值x*的绝对误差限，或简称误差限。
37
定义0.6 若将x*近似值表示成十进制浮点数的标准 形式
x* 0.12 L L n 10m i : 0 ~ 9,1 0
如果
x* x 1 10mn 2
则说近似值x*具有n位有效数字。这里n为正整数，
m为整数。
38
例0.7 若 x* 3578.64 是x的具有6位有效数字的近
似值，试求 x* 的误差限。
45
定理
若近似值x*具有n位有效数字，则其相对误差满足
er*
1 10(n1)
21
反之，若x*的相对误差满足
er*
1
10(n1)
2(1 1)
则x*至少具有n位有效数字
46
14
例0.4 考虑积分的近似计算。
In
1 xne x1dx
0
In=1-nIn-1
I0
I1
I2
I3
I4
I5
I6
I7
0.6321 0.3680 0.2640 0.2080 0.1680 0.1600 0.0400 0.7200
In-1=(1-In)/n
I7
0.1124 0.1124
I6
0.1269 0.1268
数值计算方法
绪论
主要内容
数值计算方法课程
学习数值计算方法的重要性 课程特点 学习方法
浮点数的运算
误差与有效数字
3
0.1 数值计算方法的内容、特点与学 习方法
科学计算是人类从事科学活动和解决科学技术问题 不可缺少的手段。
计算机科学技术的发展，为科学计算及数据处理提 供了高速和高精度的计算工具。
ax
5.
解常微分方程初值问题
y x
y(0)
0
12
举例说明二
1. 求解线性方程组Ax=B，其中A为20阶可逆方 阵X=(x1,x2,…,x20)T;
2. 求代数方程xex=1在[0,1]上的根x*
3. 已知y=f(x)为[x0,x1]上的函数，满足f(x0)= y0 ，
f(x1)= y1求f(x2)
非数值算法
主要指与离散数学模型有关的算法，如排序、搜索、 分类、图论算法等；
软计算方法
近年来发展的不确定性算法的总称，包括神经网络计 算、模糊逻辑、遗传算法等。
7
数值计算方法定义
数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的 方法与理论为研究对象，
其内容包括:
8
数值计算方法定义
函数插值, 数值微分与积分 线性方程组的解法, 矩阵特征值与特征向量的计算 非线性方程(组)的解法与最优化问题的计算方
(2) 0.1984 104 0.98764 101 0.1984104 0.0000 104 0.1984 104
绝对值相差悬 殊的两个数做
加、减法
25
(3) 0.1984106 0.1976106 0.0008106 0.8000109
(4) (0.5678103) (0.6789 105) (0.5678 0.6789) 102 0.38547942102 0.3855102
法 常微与偏微分方程的数值解法 …… 有关计算方法可靠性的理论研究,如方法的收敛
性和稳定性分析与误差估计等.
9
研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理 论与软件实现。
数值计算方法所要解决的问题就是怎样把数学模型 归结为计算机能执行的有效算法。
数学分析，计算方法，数值方法
10
函数插值, 数值微分与积分 线性方程组的解法, 矩阵特征值与特征向量的计算 非线性方程(组)的解法与最优化问题的计算方法 常微与微分方程的数值解法 ……
*
x*
* r
44
有效数字
如果
e* x* x 1 10n 2
则说x*近似表示x准确到第n位，并从第n位起直到最左边的非 零数字之间的一切数字都称为有效数字，并把有效数字的位数 称为有效位数。
如果 x* 0.12 L n 10m i : 0 ~ 9,1 0
x* x 1 10mn 2
则说近似值x*具有n位有效数字，这里n为正整数，m为整数。
x 0.1d2d3 22
对于实数x，在计算机上只能按一定的规则用 S中最接近x的数来近似表示。
例x=2.6,在S(3,1,2)用 x 0.101 22 2.5
近似表示。
22
2.浮点数的四则运算
计算机只能对浮点数集S中的数做加、减、乘、 除四则运算。
设S0为4位十进制浮点数的集合，形如：
(5) (0.5678104 ) (0.4567 106 ) 0.56781010 0.4567 0.124326691011 0.12431011
26
很接近的两个 数相减
相对被除数来 说绝对值很小
的数做除数
计算过程中应该注意
两个相近的数相减，会严重丢失有效数字 除数绝对值较小时，商的绝对误差会增大 在运算过程中注意合理安排运算顺序，以便提高运算
35
3.有效数字
定义0.5 如果 e* x* x 1 10n 2
则说x*近似表示x准确到第10-n位，并从此位起直到最左 边的非零数字之间的一切数字都称为有效数字，并把有 效数字的位数称为有效位数。
36
例0.6 取 的近似值为 x* 3.14 ，则x*具有几位有
效数字，取 x* 3.1416作为近似值呢？
I5
0.1455 0.1456
I4
0.1708 0.1709
I3
0.2073 0.2073
I2
0.2643 0.2642
I1
0.3680 0.3679
I0
0.6320 0.6321
15
举例说明
通过上面例子可以看出，虽然有些问题它的解是具 有理论公式，可是仍然存在能否在计算上应用和如 何计算的问题。因此，我们必须研究计算方法。
x2的误差不超过 0.01×10-1×0.5=0.0005 x2`的误差不超过 0.0001×10-1×0.5=0.000005 在数学公式上，
x2 9 80 x2 1 (9 80) 是等价的，但在计算机上它们是不同的。
29
0.3 误差的来源和有关误差的基本 概念
1.误差的来源
实际 问题
39
4.有效数字与相对误差的关系
定理0.1 若近似值x*具有n位有效数字，则其
相对误差满足
er*
1 10(n1)
21
反之，若x*的相对误差 er* 满足
er*
1
10(n1)
2(1 1)
则x*至少具有n位有效数字。
40
例0.8 用x*=2.72表示e具有3位有效数字的近似值， 给出此近似值的相对误差限。
18
小结
计算机运算: 只能进行加，减，乘，除等算术运算 和一些逻辑运算。
数值计算方法：把求解数学问题转化计算机能执行 的高效可靠算法。
19
0.2 计算机的算术运算、若干计算例 题
1.数的浮点表示
实数x被表示为
x 0.d1d2 L dk 2 p
d1=1,di为0或1，i=2,3…,k, -m≤p≤M.
41
例0.9 要使 20 的近似值x* 的相对误差限小于0.001, 那么至少应取几位有效数字？
42
绪论
学习计算方法的必要性 计算方法的主要内容 误差的来源及有关误差的概念
43
误差
绝对误差
e* x* x
e* x* x *
相对误差
er*
e* x*
x* x x*
er*
x* x x*
32
2.误差的基本概念
定义0.3 设x*是x的一个近似值，则称比值
e* x* x
xx 为近似值x*的相对误差，记作 er*
33
2.误差的基本概念
定义0.4 设 *是近似值x*的误差限，则称
* r
*
x*
为近似值x*的相对误差限。
此时，有
x* x x*
*
x*
* r
34
例0.5 设 x1* 10和 x2* 1000 分别都是近似值，它们相 应的精确值x1和x2未知，但已知它们的误差限都是1， 试比较这两个近似值的准确程度。
零的浮点数通常表示为 0 0.00L 0 2m
给定的二进制浮点计算机，只能表示所有形如上 式的有限数集 S=S(k,m,M)，这是实数轴上的不等距 有限点集。
21
S(3,1,2)表示如下的33个点
0 0.00L 0 21
x 0.1d2d3 21
x 0.1d2d3 21
x 0.1d2d3 20
0.d1d2d3d4 10 p
1≤ d1 ≤9, 0≤ di ≤9, i=2,3,4, -9≤p≤10.
23
浮点数计算特点
加减法先对阶(将阶码统一为较大者)，后计算，再 舍入
乘除法先运算再舍入 不在计算机数系中的数做四舍五入处理
24
(1) 0.1984104 0.2008102 0.1984104 0.0020104 0.2004104
的精度或保护重要的参数
27
例 在使用上述浮点数集S0的4位十进制浮点计算机 上，解一元二次方程
x2 18x 1 0
解：1）按求根公式求得
x 9 80
80 0.8944 101
x1 0.1794 102 x2 0.5600 101
2）由x1x2=1有
x1 9 80
28
x2
1 9
80
0.5574 101
数值计算方法是为求解各类数学问题而去构造与分 析算法。
16
课程特点
面向计算机，重点研究数字计算机上使用的计算方 法
注重实用性和计算效率 讲究算法的技巧性 重视方法的理论研究
17
如何学习课程
了解构造方法的基本思想 注意设计算法技巧及实用性 注意基础知识与数学理论的学习 做一定量的习题
4.
计算定积分 I
b
a
1 ln x
dx(1
a
b)
5.
解常微分方程初值问题
y
ห้องสมุดไป่ตู้
x
y2
y(0) 0
13
举例说明三
例0.2 ，0.4 例0.2 考虑对任意给定的x, 计算代数多项式
Pn (x) a0 xn a1xn1 L an1x an
的值的问题。显然，上式等价于
Pn (x) (((a0x a1)x a2 )x L an1)x an
5
学习数值计算方法重要性
实际 问题
数学 模型
计算机 算法
程序 设计
计算机 计算
解答
科学计算的过程
6
计算机算法
数值算法
主要指与连续数学模型有关的算法如数值线性代数、 方程求解、数值逼近、数值微积分、微分方程数值解 和最优化计算方法等，它给出的是问题的近似解；
11
举例说明一
1. 求解线性方程组Ax=b，其中A为3阶可逆方阵 X=(x1,x2,x3)T;
2. 求代数方程x2+x-6=0在[0,4]上的根x*
3. 已知y=p(x)为[x0,x1]上的直线，满足p(x0)= y0 ，
4.
p(x1)= y1求p(x2) 计算定积分 I
b 1 dx(1 a b)
模型误差 观测误差
数学 模型 方法误差
数值 方法
程序 设计
舍入误差
计算机 计算
解答
31
2.误差的基本概念
定义0.1 设x为准确值，x*是x的一个近似值，称 e*=x*-x为近似值x*的绝对误差，或简称误差。
定义0.2 设 * 0，并满足 e* x* x *
则称 *为近似值x*的绝对误差限，或简称误差限。
37
定义0.6 若将x*近似值表示成十进制浮点数的标准 形式
x* 0.12 L L n 10m i : 0 ~ 9,1 0
如果
x* x 1 10mn 2
则说近似值x*具有n位有效数字。这里n为正整数，
m为整数。
38
例0.7 若 x* 3578.64 是x的具有6位有效数字的近
似值，试求 x* 的误差限。
45
定理
若近似值x*具有n位有效数字，则其相对误差满足
er*
1 10(n1)
21
反之，若x*的相对误差满足
er*
1
10(n1)
2(1 1)
则x*至少具有n位有效数字
46
14
例0.4 考虑积分的近似计算。
In
1 xne x1dx
0
In=1-nIn-1
I0
I1
I2
I3
I4
I5
I6
I7
0.6321 0.3680 0.2640 0.2080 0.1680 0.1600 0.0400 0.7200
In-1=(1-In)/n
I7
0.1124 0.1124
I6
0.1269 0.1268
数值计算方法
绪论
主要内容
数值计算方法课程
学习数值计算方法的重要性 课程特点 学习方法
浮点数的运算
误差与有效数字
3
0.1 数值计算方法的内容、特点与学 习方法
科学计算是人类从事科学活动和解决科学技术问题 不可缺少的手段。
计算机科学技术的发展，为科学计算及数据处理提 供了高速和高精度的计算工具。
ax
5.
解常微分方程初值问题
y x
y(0)
0
12
举例说明二
1. 求解线性方程组Ax=B，其中A为20阶可逆方 阵X=(x1,x2,…,x20)T;
2. 求代数方程xex=1在[0,1]上的根x*
3. 已知y=f(x)为[x0,x1]上的函数，满足f(x0)= y0 ，
f(x1)= y1求f(x2)
非数值算法
主要指与离散数学模型有关的算法，如排序、搜索、 分类、图论算法等；
软计算方法
近年来发展的不确定性算法的总称，包括神经网络计 算、模糊逻辑、遗传算法等。
7
数值计算方法定义
数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的 方法与理论为研究对象，
其内容包括:
8
数值计算方法定义
函数插值, 数值微分与积分 线性方程组的解法, 矩阵特征值与特征向量的计算 非线性方程(组)的解法与最优化问题的计算方
(2) 0.1984 104 0.98764 101 0.1984104 0.0000 104 0.1984 104
绝对值相差悬 殊的两个数做
加、减法
25
(3) 0.1984106 0.1976106 0.0008106 0.8000109
(4) (0.5678103) (0.6789 105) (0.5678 0.6789) 102 0.38547942102 0.3855102
法 常微与偏微分方程的数值解法 …… 有关计算方法可靠性的理论研究,如方法的收敛
性和稳定性分析与误差估计等.
9
研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理 论与软件实现。
数值计算方法所要解决的问题就是怎样把数学模型 归结为计算机能执行的有效算法。
数学分析，计算方法，数值方法
10
函数插值, 数值微分与积分 线性方程组的解法, 矩阵特征值与特征向量的计算 非线性方程(组)的解法与最优化问题的计算方法 常微与微分方程的数值解法 ……
*
x*
* r
44
有效数字
如果
e* x* x 1 10n 2
则说x*近似表示x准确到第n位，并从第n位起直到最左边的非 零数字之间的一切数字都称为有效数字，并把有效数字的位数 称为有效位数。
如果 x* 0.12 L n 10m i : 0 ~ 9,1 0
x* x 1 10mn 2
则说近似值x*具有n位有效数字，这里n为正整数，m为整数。
x 0.1d2d3 22
对于实数x，在计算机上只能按一定的规则用 S中最接近x的数来近似表示。
例x=2.6,在S(3,1,2)用 x 0.101 22 2.5
近似表示。
22
2.浮点数的四则运算
计算机只能对浮点数集S中的数做加、减、乘、 除四则运算。
设S0为4位十进制浮点数的集合，形如：
(5) (0.5678104 ) (0.4567 106 ) 0.56781010 0.4567 0.124326691011 0.12431011
26
很接近的两个 数相减
相对被除数来 说绝对值很小
的数做除数
计算过程中应该注意
两个相近的数相减，会严重丢失有效数字 除数绝对值较小时，商的绝对误差会增大 在运算过程中注意合理安排运算顺序，以便提高运算
35
3.有效数字
定义0.5 如果 e* x* x 1 10n 2
则说x*近似表示x准确到第10-n位，并从此位起直到最左 边的非零数字之间的一切数字都称为有效数字，并把有 效数字的位数称为有效位数。
36
例0.6 取 的近似值为 x* 3.14 ，则x*具有几位有
效数字，取 x* 3.1416作为近似值呢？
I5
0.1455 0.1456
I4
0.1708 0.1709
I3
0.2073 0.2073
I2
0.2643 0.2642
I1
0.3680 0.3679
I0
0.6320 0.6321
15
举例说明
通过上面例子可以看出，虽然有些问题它的解是具 有理论公式，可是仍然存在能否在计算上应用和如 何计算的问题。因此，我们必须研究计算方法。
x2的误差不超过 0.01×10-1×0.5=0.0005 x2`的误差不超过 0.0001×10-1×0.5=0.000005 在数学公式上，
x2 9 80 x2 1 (9 80) 是等价的，但在计算机上它们是不同的。
29
0.3 误差的来源和有关误差的基本 概念
1.误差的来源
实际 问题
39
4.有效数字与相对误差的关系
定理0.1 若近似值x*具有n位有效数字，则其
相对误差满足
er*
1 10(n1)
21
反之，若x*的相对误差 er* 满足
er*
1
10(n1)
2(1 1)
则x*至少具有n位有效数字。
40
例0.8 用x*=2.72表示e具有3位有效数字的近似值， 给出此近似值的相对误差限。
18
小结
计算机运算: 只能进行加，减，乘，除等算术运算 和一些逻辑运算。
数值计算方法：把求解数学问题转化计算机能执行 的高效可靠算法。
19
0.2 计算机的算术运算、若干计算例 题
1.数的浮点表示
实数x被表示为
x 0.d1d2 L dk 2 p
d1=1,di为0或1，i=2,3…,k, -m≤p≤M.
41
例0.9 要使 20 的近似值x* 的相对误差限小于0.001, 那么至少应取几位有效数字？
42
绪论
学习计算方法的必要性 计算方法的主要内容 误差的来源及有关误差的概念
43
误差
绝对误差
e* x* x
e* x* x *
相对误差
er*
e* x*
x* x x*
er*
x* x x*
32
2.误差的基本概念
定义0.3 设x*是x的一个近似值，则称比值
e* x* x
xx 为近似值x*的相对误差，记作 er*
33
2.误差的基本概念
定义0.4 设 *是近似值x*的误差限，则称
* r
*
x*
为近似值x*的相对误差限。
此时，有
x* x x*
*
x*
* r
34
例0.5 设 x1* 10和 x2* 1000 分别都是近似值，它们相 应的精确值x1和x2未知，但已知它们的误差限都是1， 试比较这两个近似值的准确程度。
零的浮点数通常表示为 0 0.00L 0 2m
给定的二进制浮点计算机，只能表示所有形如上 式的有限数集 S=S(k,m,M)，这是实数轴上的不等距 有限点集。
21
S(3,1,2)表示如下的33个点
0 0.00L 0 21
x 0.1d2d3 21
x 0.1d2d3 21
x 0.1d2d3 20
0.d1d2d3d4 10 p
1≤ d1 ≤9, 0≤ di ≤9, i=2,3,4, -9≤p≤10.
23
浮点数计算特点
加减法先对阶(将阶码统一为较大者)，后计算，再 舍入
乘除法先运算再舍入 不在计算机数系中的数做四舍五入处理
24
(1) 0.1984104 0.2008102 0.1984104 0.0020104 0.2004104
的精度或保护重要的参数
27
例 在使用上述浮点数集S0的4位十进制浮点计算机 上，解一元二次方程
x2 18x 1 0
解：1）按求根公式求得
x 9 80
80 0.8944 101
x1 0.1794 102 x2 0.5600 101
2）由x1x2=1有
x1 9 80
28
x2
1 9
80
0.5574 101
数值计算方法是为求解各类数学问题而去构造与分 析算法。
16
课程特点
面向计算机，重点研究数字计算机上使用的计算方 法
注重实用性和计算效率 讲究算法的技巧性 重视方法的理论研究
17
如何学习课程
了解构造方法的基本思想 注意设计算法技巧及实用性 注意基础知识与数学理论的学习 做一定量的习题
4.
计算定积分 I
b
a
1 ln x
dx(1
a
b)
5.
解常微分方程初值问题
y
ห้องสมุดไป่ตู้
x
y2
y(0) 0
13
举例说明三
例0.2 ，0.4 例0.2 考虑对任意给定的x, 计算代数多项式
Pn (x) a0 xn a1xn1 L an1x an
的值的问题。显然，上式等价于
Pn (x) (((a0x a1)x a2 )x L an1)x an