第2章 航天与力学

第2章 航天与力学 (9课时)

§2.1 运动学基本概念

一． 参照系和坐标系

运动是绝对的，而对运动的描述是相对的 1． 参照系：为描述运动而被选作参考的物体

从动力学角度看，参照系不可任选；

从运动学角度看，参照系可任选。但参照系选取恰当，对运动的描述简单；参照系选取不当，对运动的描述复杂 如：地心说（托勒玫）与日心说之争

要定量地描述运动，还须在参照系上建立计算系统 2． 坐标系：建立在参照系上的计算系统

常用：直角坐标系、自然坐标系、球坐标系和柱面坐标系

二． 质点和位矢 1. 质点：是理想模型。忽略了物体的形状、大小、颜色等次要因素，而抓住质量和位置两个主要矛盾 2.

位矢r

:描述质点空间位置的物理量

矢量描述：k z j y i x r

++= 大小：222z y x r ++= 方向：r

x cos =

α r y cos =

β r

z cos =

γ 而： 1222=++γβαcos cos cos

三． 运动方程和轨道方程 1.

运动方程

矢量式：k )t (z j )t (y i )t (x )t (r r

++== 分量式：)t (x x =，)t (y y =，)t (z z = 2.

轨道方程: 0=)z ,y ,x (f ，即运动方程消去t

如由：j t sin R i t cos R r

ωω+=

可得：222R y x =+

四． 位移矢量

1.

位移矢量

k )z z (j )y y (i )x x (r r r

1212121

2-+-+-=-=∆ 212212212)z z ()y y ()x x (AB

r -+-+-==

∆

r

x x cos ∆α12-=

, r y y cos ∆β12-=

, r z z cos ∆γ1

2-= 2. 位移r

∆与路程s ∆

始末位置定，r ∆单值，s ∆多值，即：s r ∆∆≠

3. 位移的合成

遵循平行四边形或三角形法则 五．

速度(矢量) 1.平均速度和平均速率

平均速度：t r

v ∆∆=

平均速率：t s

v ∆∆=

一般情况下，v v ≠

2. 瞬时速度和瞬时速率

瞬时速度：dt r d t r v lim t

=∆∆=→∆0 瞬时速率：dt

ds t s v lim

t =∆∆=→∆0

3.

速度的计算

k v j v i v k dt

dz j dt dy i dt dx dt r d v z y x ++=++==

六． 加速度

1.平均加速度：t

v

a ∆∆=

2.瞬时加速度：

k dt dv j dt dv i dt dv dt v d t v a z y x t lim

++==∆∆=→∆0

k a j a i a a

z y x

++=

3.曲线运动中的加速度

τττ a n a a a a n n +=+=τ

dt

dv n R v +=2

例1．

已知一质点做直线运动，质点走过的路程与时间的关系是

200bt t v s s ++=，则在t 时刻，质点运动的速度、加速度各是多少？

bt v dt ds

v 20+==

, b dt

dv a 2==

例2． 已知某物体做匀加速直线运动的加速度为a ，0=t 时，速度和位置分别为0v 和0x ，求t 时刻物体的速度和位置 解：adt dv =, ⎰⎰=t

v

v adt dv 0

at v v +=⇒0

vdt dx =dt )at v (+=0, ⎰⎰+=t

x

x dt )at v (dx 000 2002

1

at t v x x ++=⇒

例3．已知一质点作直线运动，000v v ,x x ,t ===，且运动过程中满足kv a -=（k 为常数），求任一时刻的速度、加速度和位移。

解题思路： 1． 运动方程加速度（求导）

速度）轨道方程（消去位移（求矢量差）,t −→

− 2．

加速度−→−

速度−→−运动方程（积分）

§2.2 万有引力定律

一． 万有引力

2

r Mm

G

F = 2211106726.6--⋅⋅⨯=kg m N

G 为引力常数

二． 万有引力做功的特点 1．功

恒力做功：S F A

⋅=

变力做功：⎰⎰⋅=

=b

a

S d F dA A

单位：J 量纲：2

2

-T ML

2．万有引力做的功

)

r r (GMm S d F A a

b b

a 11-=⋅=⎰

3． 万有引力做功的特点：只与始末位置有关，而与路径无关。

4．保守力：具有“做功只与始末位置有关，而与路径无关”这种特性的力。

0=⋅⎰S d F

保守力场中可引入势能的概念 三． 引力势能 1.

势能：与相互作用的物体的相对位置有关的能量 ① 势能是相互作用物体双方共有 ②

势能的数值与零势面点的选择有关

2．引力势能

r

GMm

E p -

=，∞处势能为零 3．重力势能

mgh R

GMm

h R GMm E p +-≈+-

= mgh E p =，地球表面势能为零