中学数学说题案例

综上，有函数 y 1 x x 3 的最大值是 2 2
故选（C）
三.解题方法 解法1，函数单调性
解法步骤：
1、求导;
2、令 f x 0 求出相应方程的根;
并判断根两侧的符号; 3、求出极值，端点的函数值; 4、比较得出最值.
求导
求根
求值
比较
三.解题方法 解法2，平方法
把y 1 x x 3两边平方得 y2 1 x x 3 2 1 x x 3 4 2 x2 2x 3 4 2 (x 1)2 4 函数的y 1 x x 3的定义域是 3,1 根据二次函数的性质，显然当x 1时 y2的最大值为8，即ymax 2 2故选（C）
(A) 2 (B)2
43 (C) 2 2 (D)
3
易错点，易混点，关键点都在定义域和式子的结 构。
三.解题方法
解法 探究
解法1，函数单调性
解法2，平方法
解法3，基本不等 式 解法4，柯西不等式
解法5，三角代换 解法6，数形结合1
三.解题方法 解法1，函数单调性
想1、到已最知值函，数最y容易1想 x到的是x 单3,调则性它，的于最是大想值到为求(导)。
点评：平方后化归为二次函数的最值问题
三.解题方法 解法3，基本不等式
在基本不等式a2 b2 2ab两边同时加上a2 b2， 有2a2 2b2 2ab a2 b2两边同时除以4，整理得，
a2
b2 2


a
2
b
2
即
a
2
b

令 1 x a, 3 x b，
(C) 2 2 (D) 4 3
3
变式1：求函数y 1 x 1 x的值域.
点评：对已知和求进行变式
四.题目变式
变
式题
和=4 和=9
1、变式该题可以从已知求证变，也可以从隐藏条件， 式子结构进行变式。
2、该题的变式题可以设计出如下一些：
原题：已知函数 y 1 x x 3, 则它的最大值为( )
r 2因此ymax 2 2，故选（C）
三.解题方法 解法8，直线与椭圆相切的充要条件
直线Ax
By C

0与椭圆
x2 a2

y2 b2
1相切的
充要条件为A2a2 B2b2 C2把圆看成特殊的
椭圆，那么直线u v y 0与圆 u2 v2 1相 44
切需满足1 4 1 4 y2因此ymax 2 2故选（C）
依令题y(意A2)，x1函23 数2的11(Bxy)20,得1x(Cx)12显x然2在3 的定(3D,义)14域内3是是3单3调,1
递增函数，在 1,1 内是单调递减函数，即函数在 x 1 处取得极值。我们都知道连续函数的最值必
在极值处或区间端点取得，取x 3,有y 2; 取x 1,有y 2 2; 取x 1,有y 2。
对于本题来讲，我们令a 1,b 1,c 1 x, d x 3,
则有(1g 1 x 1g
x 3)2
12 12

2
1 x
x3
2


8
即 1 x x 3 8＝2 2故选（C）
点评：应用柯西不等式需注意到它的结构
三.解题方法 解法5，三角代换
(A) 2 (B)2
(C) 2 2 (D) 4 3
3
变式2：已知函数y 7 2x 2x 2,则它的最小值为
点评：利用结构进行变式
四.题目变式
变
式题
1、变式该题可以从已知求证变，也可以从隐藏条件， 式子结构进行变式。 2、该题的变式题可以设计出如下一些： 原题：已知函数 y 1 x x 3, 则它的最大值为( )
(A) 2 (B)2 (C) 2 2 (D) 4 3
3
变式3：已知函数（f x） x2 2x 2 x25x4 ,则它的最小值为 变式4：求函数 y x2 6x 13 x2 4x 5 的值域。
点评：变3可用单调性解决，变4数形结合最方便
四.题目变式
变
式题
1、变式该题可以从已知求证变，也可以从隐藏条件， 式子结构进行变式。
注意到( 1 x)2 ( x 3)2 4容易想到
令
1 x 2 cos ,
3

x

2 sin 其中

0,

2

,
于是 1 x
x 3 2 cos 2sin 2
2
sin


4


当


4
时，有ymax

2
2故选（C）
点评：换元后注意新元的范围
2、该题的变式题可以设计出如下一些： 变式1：求函数y 1 x 1 x的值域. 变式2：已知函数y 7 2x 2x 2,则它的最小值为
变式3：已知函数（f x） x2 2x 2 x25x4 ,则它的最小值为
变式4：求函数 y x2 6x 13 x2 4x 5 的值域。
三.解题方法 解法12，公式法
结论：函数y a c x b d x的
最大值为ymax a2 b2 c d
对于本题求函数y 1 x x 3的最大值，
有ymax a2 b2 c d 11 1 3 2 2
变式5： 已知a,b为正实数，且a b 1,求证：a 1 b 1 2
2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四.题目变式
变
式题
1、变式该题可以从已知求证变，也可以从隐藏条件， 式子结构进行变式。
2、该题的变式题可以设计出如下一些：
原题：已知函数 y 1 x x 3, 则它的最大值为( )
(A) 2 (B)2
故选（C）.
三.解题方法 解题思想，方法和规律总结
解决此题我想到了十二种方法，全部属于 高中数学中常用的方法，属通性通法，这些方 法中涉及到了函数与方程，化归与转化，数形 结合，构造函数等数学思想。
四.题目变式
变
式
题
四.题目变式
变
式题
1、变式该题可以从已知求证变，也可以从隐藏条件， 式子结构进行变式。
三.解题方法 解法6，数形结合1
注意到
2
1 x
x 3 2 ＝4
形式很像圆的方程，我们可以
令u 1 x, v x 3则有于是 原题变为y u v的最大值我们 可以把y看成直线的截距，如图，
很明显ymax 2 2故选（C）
三.解题方法
解法7，数形结合2 解法8，利用充要条件 解法9，构造对偶函数 解法10，对称性法
1、已知函数 y 1 x x 3, 则它的最大值为( )
(A) 2 (B)2
43 (C) 2 2 (D)
3
隐含条件和潜在信息为：先求出定义域为 3,1,
且有 1 x x 3 4.
二.解题思路 题目出处 已知求证 条件信息 解题关键
1、已知函数 y 1 x x 3, 则它的最大值为( )
三.解题方法 解法9，构造对偶函数
依题意y 1 x x 3我们构造Y 1 x x 3
于是y2 Y 2 8,即y2 8 Y 2显然Y 1 x x 3
故Y 1 x x 3 2, 2,即Y2 0, 4
ymax
a2 b2 对于本题， 2
代入上式有 1 x x 3 1 x x 3 2,
2
2
所以ymax 2 2故选（C）
点评：应用基本不等式注意：
一正，二定，三等.
三.解题方法 解法4，柯西不等式
我们大家都知道著名的柯西不等式ac bd 2 a2 b2 c2 d 2
2、该题的变式题可以设计出如下一些：
原题：已知函数 y 1 x x 3, 则它的最大值为( )
(A) 2 (B)2
(C) 2 2 (D) 4 3
3
变式5：已知a,b为正实数，且a b 1,求证：a 1 b 1 2
2
2
点评：题型改变但实质一样
五.高考链接
1
2011高考 函数f (x) x3 3x2 1在x 处
数学说题
说题 引入
解题 思路
说题
解题 方法
高考 链接
题目 变式
一、说题引入
❖ 数学的世界里并不缺少美，而是缺少一个善于思 考的大脑。数学本身是美妙的，也可以学得很美 妙。在数学的世界里，你会发现数学的美妙千变 万化，数学的美妙让你流连忘返，数学的美妙让 你如痴如醉。这种种数学的美妙，我们可以称之 为“数学美”。正因为这“数学美”，科学得以 巨大飞跃，社会得以高速发展，人类得以主宰世 界。在数学的小世界里，你会发现另外一番大世 界。在浩瀚无垠的数学题海里，我要说的这个小 题，淋漓尽致的诠释了她的美妙，而这仅仅是冰 山一角。只要你热爱数学，只要你善于思考，数 学的世界就是美的世界。
解法11，向量法 解法12，公式法
解法 展示
三.解题方法 解法7，数形结合2
注意到
2
1 x
x 3 2 ＝4
形式很像圆的方程，我们可以
令u 1 x, v x 3则有于是 原题变为y u v的最大值而直线
与圆相切时有d r于是d | y | 11
二.解题思路 题目出处 已知求证 条件信息 解题关键
1、已知函数 y 1 x x 3, 则它的最大值为( )
(A) 2 (B)2
43 (C) 2 2 (D)
3
它选自2012年江苏南通数学模拟卷三，知识点涉及 已知函数求最值问题，可考查学生的观察与归纳， 化归与转化，函数与方程，数与形等知识能力。母 题可见于《选修1-1》第四章习题4-1A组第3题。
广东理科 第12题
取得极小值.
2
2011高考 已知函数 f x ln x x 1 x (0, ),求函数
湖北理科 f (x) 的最大值.
第21题(1)
3
2011高考 已知函数f x x3, g x x x
湖南理科 第22题(1)
（1）求函数h

x

f
x g x的零点个数，
8 Y2 8 2 2 min
点评：构造的函数Y 1 x x 3 是单调递减的容易求出值域。
三.解题方法 解法10，对称性法
对称性原理：在不等式中，当变量间地位对称（对等） 时，两变量相等时，可使目标函数取得最值。 令u 1 x, v 3 x，则有u2 v2 4(u 0, v 0) 去求u v的最大值显然u,v两个变量对称，故令u v, 则有u v 2，ymax u v 2 2。
并说明理由.
六.总结
结束语
这道简单的模拟题我想到了这十二种思路解法和五个变式题， 一叶而知秋，我们可想数学世界里有多少这样的“数学美”。所以 在我们数学教学的过程中，不能盲目的追求数量不顾质量，采用题 海战术，而更应该去教会学生思考，善于思考，进行一道题目多思 路解法的训练和变式训练，更能让学生的思维迁移、发散、开拓和 活跃，提高学生思维的敏捷性和灵活性，从而提高分析与解答数学 题的能力。通过对一道题目多思路解法，多变式训练，既能促使学 生沟通知识点间的联系，又培养了学生的思维能力，从中学到了“ 转化策略、数形结合、函数与方程”等基本的数学思想。同时学生 可以通过对比、小结，得出自己的体会，充分发掘自身的潜能，从 而提高自己的解题能力，这不仅引导学生多方法，多视角思考问题 和发现问题，形成良好的思维品质，而且使自己感受到成功的喜悦 和增强自信心，也极大地激发学生学习数学的积极性和浓厚的兴趣 ，从而在很大程度上培养了学生思维的广阔性。
二.解题思路 题目出处 已知求证 条件信息 解题关键
1、已知函数 y 1 x x 3, 则它的最大值为( )
(A) 2 (B)2
43 (C) 2 2 (D)
3
已知点为给出函数解析式，求证点为求该函数的最
大值，题眼为观察式子结构，定义域
二.解题思路 题目出处 已知求证 条件信息 解题关键
三.解题方法 解法11，向量法
根据向量不等式
|
ar

r b
||
ar
||
r b
|
令ar

r (1,1), b

1 x, x 3 ，代入上式，
有 | (1,1) 1 x, x 3 | 11 1 x x 3
即 1 x x 3 2 4 2 2因此ymax 2 2 故选（C）