第4章插值与多项式逼近知识讲解

插值概念与基础理论
概念 在工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观
测数据揭示自变量x与因变量y之间的关系，一般可以 用一个近似的函数关系式y＝f(x)来表示．
大脑成像
汽车车轮造型
虚拟风洞
气象三维数据模型
油藏模型
插值概念与基础理论
概念 在工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观
测数据揭示自变量x与因变量y之间的关系，一般可以 用一个近似的函数关系式y＝f(x)来表示．
•如何确定插值多项式？
• 插值余项
对t求导，k(x)看成常数
n 1 n 1 ( x ) ( x x 0 ) x ( x 1 ) ( x x n ) n 1
F (t)
wenku.baidu.com
F()0
x0
x1 t
4.3 Lagrange Approximation
当 n=1 时 称线性插值 当 n=2 时
4 Interpolation and Polynomial Approximation 第4章 插值与多项式逼近
引例
你曾使用过的地图最初从何而来?世界上第一张地 图是如何绘制的?
对某一地区或国家，如何根据测绘部门测量的数 据绘制一张该地区的地图?
插值法 Interpolation
插值概念与基础理论 Introduction 插值多项式的求法
3.1 分段线性插值与分段抛物插值
分段线性插值 分段抛物插值
利用MATLAB软件进行插值
高维插值
气旋变化情况可视化
应用实例分析
思考题：
This Class Is Over, Thanks for Your Attention!
三次样条插值
三次样条插值函数求法
边界条件：
end
end
s=p*y0(k)+s;
end
y(i)=s;
end
2．2 差商与牛顿基本括值多项式
前面构造的拉格朗日插值多项式，其形式具有对
称性，既便于记忆，又便于应用与编制程序．但是，由
于公式中的
都依赖于全部插
值节点，在增加或减少节点时，必须全部重新计算．为克
服这个缺点，插值多项式可以如何构造？
Newton Polynomials 这种形式的插值多项式称为n次牛顿插值多项式
三次样条插值函数简化计算方法
由
确定两个积分常数
z=x(i)
x=[0.4:0.1:0.8]; y=[-0.916291 -0.693147 -0.510826
-0.356675 -0.223144]; lagrange(x,y,0.54)
s=0.0 for k=1:n
ans =
p=1.0; for j=1:n
-0.6161
if j~=k
p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
Program 4.2(Newton Interpolation Polynomial)
程序4．2(牛顿插值多项式) 构造和计算经过点 的次数小于等于N的牛顿多项式：
利用MATALAB进行插值计算
一维插值
分段低次插值
1 y
1 x2
Runge现象产生
x=[-5:1:5]; y=1./(1+x.^2); x0=[-5:0.1:5]; y0=lagrange(x,y,x0); y1=1./(1+x0.^2); plot(x,y) plot(x0,y0,'--r')
抛物线插值
编制程序时，可用二重循环来完 成计算，即先固定k，令J从0到 n(j<>k)作乘积得
然后对k作和得Ln(x)的值．相 应的程序框图为:
MATALAB实现Lagrange插值
%lagrange insert function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m