三次函数的对称中心问题
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三、求 的图象对称中心坐标.
首先，利用GC，探究 的图象对称中心坐标.
步骤：
①．画出 的图象，并适当调整 的取值范围，如图1；
②．观察图象，函数有两个极值点，对称中心应该是两个极值点的中点.按MENU键，选择菜单的FCN键，再选择Extremum，OK，可以得到一个极值点 ；移动光标到另外一个极值点附近，重复刚才的操作，得到另外一个极值点 ，如图2、3；
③．求出两个极值点的中点 ，画出 的图象如图4，可求 的两个极值点，发现是关于原点成中心对称的，如图5、6；
④．故可知， 是奇函数，对称中心为 ；故 的对称中心为 .
图1
图2
图3
图4
图5
图6
那么，如果不使用图形计算器，该如何考虑呢？受到第二种特殊情况的启发，考虑到 的图象可能是由某个奇函数 通过适当平移得到，故有如下的解法：
故对称中心横坐标为 ，纵坐标为 .
七、一点心得
图形计算器可以将抽象问题直观化，给我们提供思考的方向，加深我们对问题的理解；但机器毕竟是机器，不可能替代人的思维.我们要合理使用好图形计算器，要用好它，而不是依赖它，被机器所奴役.
【解】 ，其判别式 ，导函数图象对称轴方程为 .
⑴．当 时，导函数有两个零点 ， 有一个极大值、一个极小值，两个极值点的中点即为对称中心，故对称中心横坐标为 ，纵坐标为 .
⑵．当 时，若 ，则 恒成立， 在 上单调递增，当 时， 取到最小值，函数增长率最小，对应 图象上的对称中心点；
若 ，则 恒成立， 在 上单调递减，当 时， 取到最大值，函数增长率最大，对应 图象上的对称中心点.
二、求 的图象对称中心坐标.
此特殊情况也较简单.将 的图象通过适当平移就可得到 的图象.当 时，将 的图象向上平移 个单位长度，就可得到 的图象；当 时，将 的图象向下平移 个单位长度，就可得到 的图象.因 是奇函数，对称中心坐标为 ，故 的图象对称中心为 .
上面两个特殊情况，主要是利用了奇函数的性质、平移的性质.有了上面两种情况的铺垫，似乎求 的图象的对称中心坐标较容易了，其实不然.因 是非奇非偶函数，无法从奇偶性方面找到突破口.下面先来考虑当 时，最简单的一个具体实例：
【解】设将 的图象通过适当平移可以得到 的图象，则可设 ，
显然， ，故
，
比较系数，来自百度文库知：
解得 .
故 ，
将 的图象向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，
即可得到 的图象.
因 的图象对称中心坐标为 ，
故 的图象对称中心坐标为 .
将此法推广到一般情况，就可以解决求 的对称中心坐标问题：
四、求 的对称中心坐标.
三次函数的对称中心问题
广州市第四中学高二3班梁隽铭
指导教师刘运科
对于三次函数 ，作出图象，经观察，发现其图象有四种形状：
可以发现，其图象具有中心对称性.如何考虑求出 的图象的对称中心坐标呢？下面是我的探究过程.
先考虑较简单的两个特殊情况：
一、求 的图象对称中心坐标.
此特殊情况较简单.因 是奇函数，故其对称中心坐标为 .
【解】设 ，
，
比较系数，有
解得 ，
故 的对称中心坐标为 .
五、综上， 的对称中心坐标为 .在上面的解题过程中，我们先考虑特殊情况，再考虑一般情况.对于 的情况，利用了奇函数性质、平移性质来求解；对于 的情况，利用待定系数法求解.下面我们利用导函数的相关知识来解决此问题.
六、利用导数知识，求 的对称中心坐标.
首先，利用GC，探究 的图象对称中心坐标.
步骤：
①．画出 的图象，并适当调整 的取值范围，如图1；
②．观察图象，函数有两个极值点，对称中心应该是两个极值点的中点.按MENU键，选择菜单的FCN键，再选择Extremum，OK，可以得到一个极值点 ；移动光标到另外一个极值点附近，重复刚才的操作，得到另外一个极值点 ，如图2、3；
③．求出两个极值点的中点 ，画出 的图象如图4，可求 的两个极值点，发现是关于原点成中心对称的，如图5、6；
④．故可知， 是奇函数，对称中心为 ；故 的对称中心为 .
图1
图2
图3
图4
图5
图6
那么，如果不使用图形计算器，该如何考虑呢？受到第二种特殊情况的启发，考虑到 的图象可能是由某个奇函数 通过适当平移得到，故有如下的解法：
故对称中心横坐标为 ，纵坐标为 .
七、一点心得
图形计算器可以将抽象问题直观化，给我们提供思考的方向，加深我们对问题的理解；但机器毕竟是机器，不可能替代人的思维.我们要合理使用好图形计算器，要用好它，而不是依赖它，被机器所奴役.
【解】 ，其判别式 ，导函数图象对称轴方程为 .
⑴．当 时，导函数有两个零点 ， 有一个极大值、一个极小值，两个极值点的中点即为对称中心，故对称中心横坐标为 ，纵坐标为 .
⑵．当 时，若 ，则 恒成立， 在 上单调递增，当 时， 取到最小值，函数增长率最小，对应 图象上的对称中心点；
若 ，则 恒成立， 在 上单调递减，当 时， 取到最大值，函数增长率最大，对应 图象上的对称中心点.
二、求 的图象对称中心坐标.
此特殊情况也较简单.将 的图象通过适当平移就可得到 的图象.当 时，将 的图象向上平移 个单位长度，就可得到 的图象；当 时，将 的图象向下平移 个单位长度，就可得到 的图象.因 是奇函数，对称中心坐标为 ，故 的图象对称中心为 .
上面两个特殊情况，主要是利用了奇函数的性质、平移的性质.有了上面两种情况的铺垫，似乎求 的图象的对称中心坐标较容易了，其实不然.因 是非奇非偶函数，无法从奇偶性方面找到突破口.下面先来考虑当 时，最简单的一个具体实例：
【解】设将 的图象通过适当平移可以得到 的图象，则可设 ，
显然， ，故
，
比较系数，来自百度文库知：
解得 .
故 ，
将 的图象向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，
即可得到 的图象.
因 的图象对称中心坐标为 ，
故 的图象对称中心坐标为 .
将此法推广到一般情况，就可以解决求 的对称中心坐标问题：
四、求 的对称中心坐标.
三次函数的对称中心问题
广州市第四中学高二3班梁隽铭
指导教师刘运科
对于三次函数 ，作出图象，经观察，发现其图象有四种形状：
可以发现，其图象具有中心对称性.如何考虑求出 的图象的对称中心坐标呢？下面是我的探究过程.
先考虑较简单的两个特殊情况：
一、求 的图象对称中心坐标.
此特殊情况较简单.因 是奇函数，故其对称中心坐标为 .
【解】设 ，
，
比较系数，有
解得 ，
故 的对称中心坐标为 .
五、综上， 的对称中心坐标为 .在上面的解题过程中，我们先考虑特殊情况，再考虑一般情况.对于 的情况，利用了奇函数性质、平移性质来求解；对于 的情况，利用待定系数法求解.下面我们利用导函数的相关知识来解决此问题.
六、利用导数知识，求 的对称中心坐标.