【量子力学】3.7 算符的对易关系 不确定关系
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二、对易关系的物理意义
1. 定理：如果两个算符 F^和 G有^ 一组共同的本征
2. 3.
函数，而且组成完备系，则算符
G对^n 易.
和F^
证明：设 Fˆn fnn， Gˆn gnn 当本征函数时 (FˆGˆ GˆFˆ )n gn fnn fngnn 0
FˆGˆ GˆFˆ
即有 Fˆ ,Gˆ 0
一般情况，力学量完全集所包含的力学量 个数等于体系的自由度数。
例:① 三维空间中自由粒子的自由度是3, 完全确 定它的状态需 p^三p个^p力^学量.
x yz
②态氢需原子H^中,3^lr2电个,^lz子相自互由对度易是的3力,完学全量确. 定它的状
三、非对易关系的物理意义----不确定关系
1、不确定关系的严格推导
对易关系的物理意义： 若两算符对易，则两算符存在共同的本征函
数。在其共同本征函数所描写的态中，两算符 表示的力学量同时有确定的值。
推广到两个以上算符： 若一组算符存在共同的本征函数。而且这些
共同本征函数组成完备系，则这组算符中的任 何一个和其余的算符对应。
其逆定理也成立。
如：①动量 P^x, P^y满, P^z足
（1）引
由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值； 若不对易，一般来说，不存在共同本征函数， 不同时具有确定值。
量同时具有确定值。
3.力学量完全集
要完全确定系统所处的状态，需要一组相互对易的 力学量（通常通过它们的本征值），这一组完全确定体 系状态的力学量称之为力学量的完全集合.
（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。
例 1： 三维空间中自由粒子，完全确定其 状态需要三个两两对易的力学量：
如： L本2 征值有简并：
确定的 l (l 1，)有2 2l +1 个 Ylm (q ,j )， 要同学才完 时 量 能全 确 相 确确 定 对 定时定 应 完，状 。 全状态 即 状态需态Ylm才另。(q能找，,j唯一需)一个确确与定定Lm对2。易,当而的lm，力m↔学L^量力z ，
( L^r 2, ^Lz ) 构成一组力学§量完全集。
例 2： 氢原子，完全确定其状态也 需要三个两两对易的力学量：
例 3： 一维谐振子，只需要一个力 学量就可完全确定其状态：
pˆ x , pˆ y , pˆ z . Hˆ , Lˆ2 , Lˆ z .
Hˆ
（2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度 数相同。
（3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体 系态空间的 一组完备的本征函数，即体系的任何状 态均可用它展开。
[P^,P^] [P^, P^] [P^,P^] 0
xy
yz
zx
有共同的本征函数。
p
px py pz
1
3
(2 ) 2
i ( p.r )
e
相应的本征值为： Px , Py , Pz ②氢原子 H^,^lr2满,^lz足：
Hˆ
,
lˆ
2
2
2r2
r
(r 2
) V (r) r
lˆ 2
2r 2
同理： ( yˆpˆ y pˆ y yˆ) yˆ, pˆ y i
(zˆpˆz pˆz zˆ) zˆ, pˆz i
xˆ, pˆ y xˆ, pˆz yˆ, pˆx yˆ, pˆz zˆ, pˆx zˆ, pˆ y 0
2. 角动量算符的对易式 举例证明： lˆ rˆ pˆ
lˆx , lˆy lˆxlˆy lˆylˆx
lˆ lˆ i lˆ
( ypˆ z zpˆ y )(zpˆ x xpˆ z ) (zpˆ x xpˆ z )( ypˆ z zpˆ y )
( ypˆ x xpˆ y )( pˆ z z zpˆ z )
i lˆz 同理： lˆy , lˆz i lˆx
一般情况：设任意波函数态为
所以
Cnn
n
(FˆGˆ GˆFˆ ) Cn(FˆGˆ GˆFˆ )n 0
n
，因组成完备系， n 即有 Fˆ ,Gˆ 0
2. 定理：如果两个算符F^ 、G^ 对易，则这两个算符有共 同的本征函数，这些本征函数组成完备系。
证： 仅考虑非简并情况
设 FˆGˆ GˆFˆ 0
n 为 Fˆ 的任一本征函数, 本征值为Fn .
即：
Fˆn Fnn
考察： FˆGˆ n Gˆ Fˆn FnGˆ n
Fˆ (Gˆ n ) Fn (Gˆ n )
即Gˆn )也是Fˆ的一个本征函数，与n一样，本征值亦为Fn
Gˆ nn Gnn
n 也是 G 的本征函数，同理 F 的所有本征函数 n （ n = 1，2，… ) 也都是 G 的本征函数,因此二算符具有共同完备的本征函数系.
lˆz , lˆx i lˆy
角动量算符定义： lˆ lˆ i lˆ
即
lˆ
,
lˆ
i
lˆ
123 1
—（Levi-Civita）符号
同理可证：
lˆ
,
xˆ
i
x
[lˆ , pˆ ] i pˆ
lˆ2 , lˆ 0 ( x, y, z)
[例]证明 [Lˆ2 , Lˆx ] 0
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件
不确定关系
一、算符间的对易关系
1. 基本对易式： x , p i
举例证明：
1 0
( ) ( )
xpˆ x
i
x
x
pˆ x x
i
(x )
x
i
x
x
i
xˆpˆ x pˆ x xˆ i
所以 (xˆpˆx pˆx xˆ) xˆ, pˆx i,lˆ20Hˆ , lˆz
lˆ 2
2r2
, lˆz
1
2 r 2
l
2 , lz
0
lˆ
2
,
lˆz
0
共同本征函数 nlm RnlYlm
Hˆ nlm En nlm
lˆ2 nlm (l 1)l
2 nlm
En
es4 2 2n2
L2 l(l 1) 2
lˆz nlm m nlm
lz m
在 态nl下m ，能量，角动量平方，角动量z分
[Lˆ2 , Lˆx ] [Lˆ2x Lˆ2y Lˆ2z , Lˆx ] [Lˆ2x , Lˆx ][Lˆ2y , Lˆx ] [Lˆ2z , Lˆx ]
Lˆy[Lˆy , Lˆx ][Lˆy , Lˆx ]Lˆy Lˆz[Lˆz , Lˆx ] [Lˆz , Lˆx ]Lˆz
iLˆy Lˆz iLˆz Lˆy iLˆz Lˆy iLˆy Lˆz
二、对易关系的物理意义
1. 定理：如果两个算符 F^和 G有^ 一组共同的本征
2. 3.
函数，而且组成完备系，则算符
G对^n 易.
和F^
证明：设 Fˆn fnn， Gˆn gnn 当本征函数时 (FˆGˆ GˆFˆ )n gn fnn fngnn 0
FˆGˆ GˆFˆ
即有 Fˆ ,Gˆ 0
一般情况，力学量完全集所包含的力学量 个数等于体系的自由度数。
例:① 三维空间中自由粒子的自由度是3, 完全确 定它的状态需 p^三p个^p力^学量.
x yz
②态氢需原子H^中,3^lr2电个,^lz子相自互由对度易是的3力,完学全量确. 定它的状
三、非对易关系的物理意义----不确定关系
1、不确定关系的严格推导
对易关系的物理意义： 若两算符对易，则两算符存在共同的本征函
数。在其共同本征函数所描写的态中，两算符 表示的力学量同时有确定的值。
推广到两个以上算符： 若一组算符存在共同的本征函数。而且这些
共同本征函数组成完备系，则这组算符中的任 何一个和其余的算符对应。
其逆定理也成立。
如：①动量 P^x, P^y满, P^z足
（1）引
由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值； 若不对易，一般来说，不存在共同本征函数， 不同时具有确定值。
量同时具有确定值。
3.力学量完全集
要完全确定系统所处的状态，需要一组相互对易的 力学量（通常通过它们的本征值），这一组完全确定体 系状态的力学量称之为力学量的完全集合.
（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。
例 1： 三维空间中自由粒子，完全确定其 状态需要三个两两对易的力学量：
如： L本2 征值有简并：
确定的 l (l 1，)有2 2l +1 个 Ylm (q ,j )， 要同学才完 时 量 能全 确 相 确确 定 对 定时定 应 完，状 。 全状态 即 状态需态Ylm才另。(q能找，,j唯一需)一个确确与定定Lm对2。易,当而的lm，力m↔学L^量力z ，
( L^r 2, ^Lz ) 构成一组力学§量完全集。
例 2： 氢原子，完全确定其状态也 需要三个两两对易的力学量：
例 3： 一维谐振子，只需要一个力 学量就可完全确定其状态：
pˆ x , pˆ y , pˆ z . Hˆ , Lˆ2 , Lˆ z .
Hˆ
（2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度 数相同。
（3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体 系态空间的 一组完备的本征函数，即体系的任何状 态均可用它展开。
[P^,P^] [P^, P^] [P^,P^] 0
xy
yz
zx
有共同的本征函数。
p
px py pz
1
3
(2 ) 2
i ( p.r )
e
相应的本征值为： Px , Py , Pz ②氢原子 H^,^lr2满,^lz足：
Hˆ
,
lˆ
2
2
2r2
r
(r 2
) V (r) r
lˆ 2
2r 2
同理： ( yˆpˆ y pˆ y yˆ) yˆ, pˆ y i
(zˆpˆz pˆz zˆ) zˆ, pˆz i
xˆ, pˆ y xˆ, pˆz yˆ, pˆx yˆ, pˆz zˆ, pˆx zˆ, pˆ y 0
2. 角动量算符的对易式 举例证明： lˆ rˆ pˆ
lˆx , lˆy lˆxlˆy lˆylˆx
lˆ lˆ i lˆ
( ypˆ z zpˆ y )(zpˆ x xpˆ z ) (zpˆ x xpˆ z )( ypˆ z zpˆ y )
( ypˆ x xpˆ y )( pˆ z z zpˆ z )
i lˆz 同理： lˆy , lˆz i lˆx
一般情况：设任意波函数态为
所以
Cnn
n
(FˆGˆ GˆFˆ ) Cn(FˆGˆ GˆFˆ )n 0
n
，因组成完备系， n 即有 Fˆ ,Gˆ 0
2. 定理：如果两个算符F^ 、G^ 对易，则这两个算符有共 同的本征函数，这些本征函数组成完备系。
证： 仅考虑非简并情况
设 FˆGˆ GˆFˆ 0
n 为 Fˆ 的任一本征函数, 本征值为Fn .
即：
Fˆn Fnn
考察： FˆGˆ n Gˆ Fˆn FnGˆ n
Fˆ (Gˆ n ) Fn (Gˆ n )
即Gˆn )也是Fˆ的一个本征函数，与n一样，本征值亦为Fn
Gˆ nn Gnn
n 也是 G 的本征函数，同理 F 的所有本征函数 n （ n = 1，2，… ) 也都是 G 的本征函数,因此二算符具有共同完备的本征函数系.
lˆz , lˆx i lˆy
角动量算符定义： lˆ lˆ i lˆ
即
lˆ
,
lˆ
i
lˆ
123 1
—（Levi-Civita）符号
同理可证：
lˆ
,
xˆ
i
x
[lˆ , pˆ ] i pˆ
lˆ2 , lˆ 0 ( x, y, z)
[例]证明 [Lˆ2 , Lˆx ] 0
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件
不确定关系
一、算符间的对易关系
1. 基本对易式： x , p i
举例证明：
1 0
( ) ( )
xpˆ x
i
x
x
pˆ x x
i
(x )
x
i
x
x
i
xˆpˆ x pˆ x xˆ i
所以 (xˆpˆx pˆx xˆ) xˆ, pˆx i,lˆ20Hˆ , lˆz
lˆ 2
2r2
, lˆz
1
2 r 2
l
2 , lz
0
lˆ
2
,
lˆz
0
共同本征函数 nlm RnlYlm
Hˆ nlm En nlm
lˆ2 nlm (l 1)l
2 nlm
En
es4 2 2n2
L2 l(l 1) 2
lˆz nlm m nlm
lz m
在 态nl下m ，能量，角动量平方，角动量z分
[Lˆ2 , Lˆx ] [Lˆ2x Lˆ2y Lˆ2z , Lˆx ] [Lˆ2x , Lˆx ][Lˆ2y , Lˆx ] [Lˆ2z , Lˆx ]
Lˆy[Lˆy , Lˆx ][Lˆy , Lˆx ]Lˆy Lˆz[Lˆz , Lˆx ] [Lˆz , Lˆx ]Lˆz
iLˆy Lˆz iLˆz Lˆy iLˆz Lˆy iLˆy Lˆz