从近年常见的一类高考解析几何综合题谈平时的教学策略
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Ｚ
解 地 位
（） ２ 与例 １ 比不 同之处在于两条弦未交 于一个定点 ，也是 相 建 议 让 学 生 在 平 时 训 练 中坚 持 使 用 四边 形 面 积 的通 用 公 式 困 难 之处 ，但 根 据椭 圆对 称 性 将 Ｂ Ｄ平 移 至 Ｂ Ｄ ，显 然 有 Ｂ Ｄ 相互垂 直且 过定点 ，完全类似 于上例．不难得 出 关
知Ｂ Ｄ不会平行坐标轴 ． 可设 Ｂ Ｄ的方程为 ＝ ｙ＋ａ ｍ ，代入 ＝
：
掣
～
： ，：
的 目标 ．
得 ． 一ｍ —ｎ＝０ 所以ＩＤ『 、 ｙ ， Ｂ ＝／
、 ／ ＝ｌｃ Ｉ又因为 ｍ＝ Ａ ．
・ 单
＝／ 、
・
：
从而 到 了 而积
，所以ｓ ２ ＝ ｉ ｎ
３ ［ １年 期］中 ８ ２ ０ 第４ ０ 国数学 教育
，
所 以 Ｓ １（ ＋ｍ ）ｍ ４ ） １ ２（ ＋ 。 ‘Ｔ
ｍ（ ＋４ ） ｍ２ 。
・
ｙ ＝
ｙ ：
一求 尘 先 ｝＝
苎 — ：孚 ＋
的值化 上 最 ，为题
本 题 困难 之 处 还 在 于 将 参 数 ｍ 再 化 为 ａ ．设 Ｂ 的 中 点 类型再求 Ｙ Ｄ
黄
剑 （ 西柳 州高 中） 广
２０ ０ ５年 、２ ０ 和 ２ ０ 广西参加 的全 国高考数学试 卷 ０７年 ０ ９年 中均出现了涉及求 圆锥曲线 内接 四边形面积的最值 的问题．此类 问题综合性较 大 ，对学生 的知识 整合 、计算 能力和求解 策略提
例 ２７高 数 全 卷 ） 知 圆 ＋ ＝ ２（ 年 考 学 国 Ｉ已 椭 手 手 １ ０ ０
函数化 的首要 目标． 下面通过这三道高考实例说 明其应用．
例 １ （０ ５年 高考 数 学 全 国卷 Ｉ） ２０ Ｉ
ｌ
相互垂直时 ，用 这种方法可 以非常方便地将 面积化为其 中一条
对角线 的斜率 ｋ （ 或与其相 关的量 ｍ）的 函数．事实上当对角线 不垂直 时也能实现上述 目的． 例 ３ （０ ９年 高考数 学全 国 ２０
的左 右 焦 点 分别 为 、 ，过 的直线交椭 圆于 曰、Ｄ两点 ， 过 的直线 交椭 圆于 ４、Ｃ两
一
ｙ
Ａ
，
出了很高的要求 ，加之处于全卷倒数第二题 的位置 ，时间有 限，
绝大多数学生畏之 如虎 ，常 以得些 步骤分 为 目标 ，每年得 满分
的学生少之又少．主要原 因是面临面积函数化 、函数求最值和较 大的计算量三个关卡． 如何让学生突破这三个关卡呢？笔者结合
自身教学实践提 出三点策略．
点 ，且 Ａ Ｃ上Ｂ Ｄ，垂足 为 Ｐ ，如
图 ２ 示． 所
．
日， 、
Ｌ
（ 设Ｊ ｙ 求 譬＋ １ １ ｐ ｏ 证 譬＜； ） （ ） ，
（） ２ 求 的最小值．
简解 ：（ ） ． １ 略
图
策略一：树立四边形面积公式 Ｓ Ａ ＩＤ Ｉｎ 的通 ＝ １ ｌＢｌＣ ｓ ０ ｉ
、
如 １ＰＱＭ Ⅳ 椭 ＋ １ 图 ，、 、 、 是 圆 手＝
上的点 ，Ｆ为焦点 ， 线 ，且 ・ 值和最小值．
简 解 ： 由 条 件 司 知 ｅ 与 ＭＮ 是 过 Ｑ 图１
ｙ
与 共线 ，
与
＝０ ，求 ｓ 的最大 ～
Ｑ１ ）
卷 Ｉ 已 知 抛 物 线 ： ＝ 与 圆 ）
１
图３
￣ Ｊ ＱＪ ＝ Ｉ Ｐ
，其中 为直线 的斜率 （ 有斜率
（） 对称性可知『ｃｌ １Ｄ Ｉ （，０， （，０ （ ＜ ） ２由 Ａ ＝ Ｂ 且Ｐａ ） Ｍ ４ ） ａ ４．
＿Ｐ ＝ ，则 肋 ＝ １ Ｂ ｌＣＩｎ ０ Ｂ ｓ ２． Ｄ Ｉ ｉ２ ＝ １ ＩＤ Ｉｉ ０ 易 Ｉ Ａ ｓ ｎ ２ 的前 提 下 ） 为 ＭＮ ＪＰ ．因 Ｑ，所 以 只需 将 换为 一 同理 即得 设ＺＤ ｘ ０ ＿
Ⅳ 鱼， ） 即Ｎ等 手 ． 两 上 得 （ 上 ， （ ）由
等 （ ＋一 ） 竿 ＝， ７ ２， 等 。 ４ ＋ ０ 得ｍ＝ —ａ 所以Ｓ 瓜 ＝
（ ＋２ ） 实 现 了 化刀－ 矢型 ［ 二
总 之 ，只要坚 持使 用上 述 面积公 式是 不难 实 现 “ 函数 化”
这一 目标 的．
特 ｙ赤 殊 ＝
为
． 对 于第 二个关 卡 “ 函数最值 ” 求 ，学 生普遍 感觉更 为 困难 ． 二 次 型 ）
原 因之 一是过于依 赖导数 ，从 而对稍 复杂的 函数 最值 问题 中的 变换缺乏深 入钻研 积累 ，原 因之二 在于没 有系统 地吃透 几个基 本初等 函数模 型的最值 问题 ．在此 笔者 提 出第 二条教 学 中 的策
：
（ 一４ ＝ｒ（ ＞０ 相 交 于 ）＋ ２ｒ ）
０
、
Ａ、Ｂ、Ｃ 、Ｄ，如 图 ３ 示 ． 所
／
．
（） ｒ １ 求 的范 围；
：— ——— —～ ．
（ ）当 Ｓ 最 大 时 ，求 ＡＣ、 ２ 点 ０ １的两条相互垂直的弦， ｓ ＝１ ＩＱ Ｉ ＩＮ Ｉ 不难 Ｂ 的交点 Ｐ的坐标． ，） 故 － Ｐ 。Ｍ ． Ｄ 简解 ：（ ） １ 略．
Ｄ Ａ Ｓ Ｃ与 Ｓ ＪＢ ｌ Ｄ ｌｎ ，其中Ａ 、Ｃ ＝ １ Ａ ｌ ｓ ０ Ｃ ｉ Ｂ Ｄ均为四边形的对角线 ， Ｉ ＝Ｉ 且 曰 Ｄ 上 ｃ ０ ＢＤ Ｉ Ｂ Ｉ Ａ ，故 Ｓ ＝ ａ ，对角线 Ａ
为它们 的夹角．因为在具体 问题 中经常可以利用 圆锥 曲线的对称
性及其弦长公式，方便地用斜率 ｋ 表示出ｌＢ ｌ Ｃ ，且 ｓ Ｏ Ａ 和ＩＤ ｌ ｉ ｎ
也不难用 ｋ表示 ，从而容易把 Ｓ化为关于 ｋ的函数 ，实现 面积
于 线 斜 函 ． 孝 直 肋的 率 的 数 ｓ ＝
．
从 以上两例 可以看 出来 ，当圆锥 曲线 内接 四边形 的对 角线
解 地 位
（） ２ 与例 １ 比不 同之处在于两条弦未交 于一个定点 ，也是 相 建 议 让 学 生 在 平 时 训 练 中坚 持 使 用 四边 形 面 积 的通 用 公 式 困 难 之处 ，但 根 据椭 圆对 称 性 将 Ｂ Ｄ平 移 至 Ｂ Ｄ ，显 然 有 Ｂ Ｄ 相互垂 直且 过定点 ，完全类似 于上例．不难得 出 关
知Ｂ Ｄ不会平行坐标轴 ． 可设 Ｂ Ｄ的方程为 ＝ ｙ＋ａ ｍ ，代入 ＝
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得 ． 一ｍ —ｎ＝０ 所以ＩＤ『 、 ｙ ， Ｂ ＝／
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从而 到 了 而积
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３ ［ １年 期］中 ８ ２ ０ 第４ ０ 国数学 教育
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所 以 Ｓ １（ ＋ｍ ）ｍ ４ ） １ ２（ ＋ 。 ‘Ｔ
ｍ（ ＋４ ） ｍ２ 。
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２０ ０ ５年 、２ ０ 和 ２ ０ 广西参加 的全 国高考数学试 卷 ０７年 ０ ９年 中均出现了涉及求 圆锥曲线 内接 四边形面积的最值 的问题．此类 问题综合性较 大 ，对学生 的知识 整合 、计算 能力和求解 策略提
例 ２７高 数 全 卷 ） 知 圆 ＋ ＝ ２（ 年 考 学 国 Ｉ已 椭 手 手 １ ０ ０
函数化 的首要 目标． 下面通过这三道高考实例说 明其应用．
例 １ （０ ５年 高考 数 学 全 国卷 Ｉ） ２０ Ｉ
ｌ
相互垂直时 ，用 这种方法可 以非常方便地将 面积化为其 中一条
对角线 的斜率 ｋ （ 或与其相 关的量 ｍ）的 函数．事实上当对角线 不垂直 时也能实现上述 目的． 例 ３ （０ ９年 高考数 学全 国 ２０
的左 右 焦 点 分别 为 、 ，过 的直线交椭 圆于 曰、Ｄ两点 ， 过 的直线 交椭 圆于 ４、Ｃ两
一
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Ａ
，
出了很高的要求 ，加之处于全卷倒数第二题 的位置 ，时间有 限，
绝大多数学生畏之 如虎 ，常 以得些 步骤分 为 目标 ，每年得 满分
的学生少之又少．主要原 因是面临面积函数化 、函数求最值和较 大的计算量三个关卡． 如何让学生突破这三个关卡呢？笔者结合
自身教学实践提 出三点策略．
点 ，且 Ａ Ｃ上Ｂ Ｄ，垂足 为 Ｐ ，如
图 ２ 示． 所
．
日， 、
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（ 设Ｊ ｙ 求 譬＋ １ １ ｐ ｏ 证 譬＜； ） （ ） ，
（） ２ 求 的最小值．
简解 ：（ ） ． １ 略
图
策略一：树立四边形面积公式 Ｓ Ａ ＩＤ Ｉｎ 的通 ＝ １ ｌＢｌＣ ｓ ０ ｉ
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如 １ＰＱＭ Ⅳ 椭 ＋ １ 图 ，、 、 、 是 圆 手＝
上的点 ，Ｆ为焦点 ， 线 ，且 ・ 值和最小值．
简 解 ： 由 条 件 司 知 ｅ 与 ＭＮ 是 过 Ｑ 图１
ｙ
与 共线 ，
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＝０ ，求 ｓ 的最大 ～
Ｑ１ ）
卷 Ｉ 已 知 抛 物 线 ： ＝ 与 圆 ）
１
图３
￣ Ｊ ＱＪ ＝ Ｉ Ｐ
，其中 为直线 的斜率 （ 有斜率
（） 对称性可知『ｃｌ １Ｄ Ｉ （，０， （，０ （ ＜ ） ２由 Ａ ＝ Ｂ 且Ｐａ ） Ｍ ４ ） ａ ４．
＿Ｐ ＝ ，则 肋 ＝ １ Ｂ ｌＣＩｎ ０ Ｂ ｓ ２． Ｄ Ｉ ｉ２ ＝ １ ＩＤ Ｉｉ ０ 易 Ｉ Ａ ｓ ｎ ２ 的前 提 下 ） 为 ＭＮ ＪＰ ．因 Ｑ，所 以 只需 将 换为 一 同理 即得 设ＺＤ ｘ ０ ＿
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等 （ ＋一 ） 竿 ＝， ７ ２， 等 。 ４ ＋ ０ 得ｍ＝ —ａ 所以Ｓ 瓜 ＝
（ ＋２ ） 实 现 了 化刀－ 矢型 ［ 二
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特 ｙ赤 殊 ＝
为
． 对 于第 二个关 卡 “ 函数最值 ” 求 ，学 生普遍 感觉更 为 困难 ． 二 次 型 ）
原 因之 一是过于依 赖导数 ，从 而对稍 复杂的 函数 最值 问题 中的 变换缺乏深 入钻研 积累 ，原 因之二 在于没 有系统 地吃透 几个基 本初等 函数模 型的最值 问题 ．在此 笔者 提 出第 二条教 学 中 的策
：
（ 一４ ＝ｒ（ ＞０ 相 交 于 ）＋ ２ｒ ）
０
、
Ａ、Ｂ、Ｃ 、Ｄ，如 图 ３ 示 ． 所
／
．
（） ｒ １ 求 的范 围；
：— ——— —～ ．
（ ）当 Ｓ 最 大 时 ，求 ＡＣ、 ２ 点 ０ １的两条相互垂直的弦， ｓ ＝１ ＩＱ Ｉ ＩＮ Ｉ 不难 Ｂ 的交点 Ｐ的坐标． ，） 故 － Ｐ 。Ｍ ． Ｄ 简解 ：（ ） １ 略．
Ｄ Ａ Ｓ Ｃ与 Ｓ ＪＢ ｌ Ｄ ｌｎ ，其中Ａ 、Ｃ ＝ １ Ａ ｌ ｓ ０ Ｃ ｉ Ｂ Ｄ均为四边形的对角线 ， Ｉ ＝Ｉ 且 曰 Ｄ 上 ｃ ０ ＢＤ Ｉ Ｂ Ｉ Ａ ，故 Ｓ ＝ ａ ，对角线 Ａ
为它们 的夹角．因为在具体 问题 中经常可以利用 圆锥 曲线的对称
性及其弦长公式，方便地用斜率 ｋ 表示出ｌＢ ｌ Ｃ ，且 ｓ Ｏ Ａ 和ＩＤ ｌ ｉ ｎ
也不难用 ｋ表示 ，从而容易把 Ｓ化为关于 ｋ的函数 ，实现 面积
于 线 斜 函 ． 孝 直 肋的 率 的 数 ｓ ＝
．
从 以上两例 可以看 出来 ，当圆锥 曲线 内接 四边形 的对 角线