第十四章 超静定结构
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F
B1
1
B
21
F
B2 B
F
22
B3 1 B
23
1
A A A
来自百度文库
Δ2 X1 Δ2 X 2 Δ2 X 3 Δ2 F 0 Δ2 X1 21 X 1 Δ2 X 2 22 X 2 Δ2 X 3 23 X 3
21 X 1 22 X 2 23 X 3 Δ2 F 0
(Statically Indeterminate Structure)
F
B
F
B
X3 X1 X2
A
A
11 X 1 12 X 2 13 X 3 Δ1F 0
21 X 1 22 X 2 23 X 3 Δ2 F 0 31 X 1 32 X 2 33 X 3 Δ3 F 0
q
B
A A
q
B
l
X1
（2） 利用多余约束处的变形情况写出变形协调条件 变形协调条件： B点的 挠度为 Δ1 X1 Δ1F 0 移.
1X1表示由于X1作用在静定基上时,X1作用点B 沿X1方向的位 1F表示荷载 F (广义力) 作用在静定基上时,X1作用点B沿X1
方向的位移.
(Statically Indeterminate Structure)
l
B
F
D l/2 A l/2
F
D A
X1
11 X 1 Δ1F 0
11 是在A点作用单位力偶时,在A截面引起的转角.
1F 是力F在A截面引起的转角.
(Statically Indeterminate Structure)
l
x B l/2 C D l/2 x A l/2 C D l/2 x A
(Statically Indeterminate Structure)
(Statically Indeterminate Structure) 四、超静定次数的判定 （Determine the degree of statically indeterminacy）
（1）外力超静定次数的判定:根据约束性质确定支反力的个 数,根据结构所受力系的类型确定独立平衡方程的个数,二者的差 即为结构的超静定次数； （2）内力超静定次数的判定:一个平面封闭框架为三次内力 超静定;平面桁架的内力超静定次数等于未知力的个数减去二倍 的节点数.
1/l
x
1/l
x
A
1
1/l
1
1/l
l 1 l x 2 11 [ ( ) dx (1)2 dx ] 0 EI 0 l
(Statically Indeterminate Structure)
(Statically Indeterminate Structure)
F
B1
F
1
B
B2 B
F
B3 1 B
11
12
1
A
13
A
A
Δ1 X1 Δ1 X 2 Δ1 X 3 Δ1F 0 Δ1 X1 11 X 1 Δ1 X 2 12 X 2 Δ1 X 3 13 X 3
Chapter14 Statically Indeterminate Structure
(Statically Indeterminate Structure)
第十四章 超静定结构(Chapter 14 Statically Indeterminate Structure)
§14-1 超静定结构概述(Instruction about statically indeterminate structure) §14-2 用力法解超静定结构(Solving statically indeterminate structure by force method) §14-3 对称及反对称性质的应用 (Application about symmetrical and antisymmetrical properties )
第一类:仅在结构外部存在多余约束,即支反力是静不定的,
可称为外力超静定系统;
第二类:仅在结构内部存在多余约束,即内力是静不定的,可称
为内力超静定系统; 第三类:在结构外部和内部均存在多余约束,即支反力和内力
是静不定的,也称联合超静定结构.
(Statically Indeterminate Structure)
在机械和工程结构中常采用超静定结构增加系统的刚度，提 高构件的承载能力 .
塔式吊车起重臂可简化为外伸梁结构,当需要延长主臂以 增加其回转半径时,如何才能保持原有的承载能力?
(Statically Indeterminate Structure)
辅助支撑
跟 刀 架
顶 尖
用车床加工细长轴时，经常 在铣床上洗削工件时，为 采用顶尖和跟刀架等辅助支撑以 防止工件的移动并减小其变形 减少其变形。卡盘和辅助支撑 和振动，需要增加辅助支撑， 虎钳和辅助支撑构成超静定系统 构成超静定系统。
对于有多个多余约束反力的静不定系统的正则方程如下：
F
B
F
B
X3 X1 X2
A
A
这是三次超静定问题
(Statically Indeterminate Structure)
F
B
F
B
X3 X1 X2
A
A
在静定基上,由 F,X1,X2,X3单独作用在B点引起的水平位移分 别记作 1F, 1X1, 1X2, 1X3 1表示B点的水平位移方向 B点的水平位移等于零 Δ1 X1 Δ1 X 2 Δ1 X 3 Δ1F 0
A
(Statically Indeterminate Structure)
l
B l/2 C l/2 C l
B
F
D l/2 A l/2
F
D A
X1 解:取固定端处的反力偶为多余约束. 变形协调条件是:A点的转角等于零.
(Statically Indeterminate Structure)
l
B l/2 C l/2 C
11 X 1 12 X 2 13 X 3 Δ1F 0
(Statically Indeterminate Structure)
F
B
F
B
X3 X1 X2
A
A
2表示B点的铅垂位移方向 B点的铅垂位移等于零
Δ2 X1 Δ2 X 2 Δ2 X 3 Δ2 F 0
(Statically Indeterminate Structure)
1.判定超静定次数
一、力法的求解过程（Basic procedure for force method）
解除超静定结构的多余约束，用多余约束力X1, X2 ,X3·代替 · · 多余约束,得到一个几何不变的静定系统,称为原静定系统的“相 当系统”;
2.在多余约束处满足“变形几何条件”,得到变形协调方程; 3.由补充方程求出多余约束力; 4.在相当系统上求解原超静定结构的内力和变形.
A
x
（3） 用莫尔定理求Δ1F
1
qx M ( x) M ( x) x 2 1 l qx 2 ql 4 Δ1F 0 ( 2 ) xdx 8 EI EI
2
(Statically Indeterminate Structure)
q
B A l A
q
B
X1
B x A x
A
B
1
（4） 用莫尔定理求 11
(Statically Indeterminate Structure)
例题1 如图所示,梁EI为常数,试求支座反力. q
B A l
（1）去掉多余约束代之 约束反力,得基本静定系 把 B 支座作为多余约束
q
B
AB 悬臂梁为基本静定系 X1 为多余反力
A
X1
(Statically Indeterminate Structure)
n1 X 1 n2 X 2 nn X n ΔnF 0
由位移互等定理知:
ij ji
(Statically Indeterminate Structure)
例题2 刚架的两杆抗弯刚度都是EI,解此刚架.
l B l/2 C
F
D l/2
代入 Δ1 X1 Δ1F 0
l3 ql 4 X1 0 3 EI 8 EI
解得
3 X 1 ql 8
(Statically Indeterminate Structure)
二、力法正则方程 (Generalized equations in the force method)
上例中以多余力为未知量的变形协调方程可改写成下式
q
B
A A
q
B
l
X1
移.
若用 11 表示沿X1方向的单位力在其作点引起的X1方向的位 由于X1作用,B点的沿X1方向位移是11的X1倍
Δ1 X1 δ11 X 1
利用上式解出 X1
(Statically Indeterminate Structure)
q
B A l A
q
B
X1
q
B A x B
判断下列结构属于哪类超静定
（a）
外力超静定
（b）
内力超静定
（c）
混合超静定
（d）
外力超静定
（e）
内力超静定
（f）
混合超静定
(Statically Indeterminate Structure)
三、工程中的超静定结构（ Statically indeterminate structure in engineering）
11 X 1 Δ1F 0
变形协调方程的标准形式,即所谓的力法正则方程. X1— 多余未知量；
11— 在基本静定系上, X1取单位值时引起的在X1作用点X1 方
向的位移;
1F —在基本静定系上,由原载荷引起的在X1作用点沿X1方向
的位移;
(Statically Indeterminate Structure)
五、分析方法（Analytical method）
1.力法（Force method）:以未知力为基本未知量的求解方 法; 2.位移法（Displacement method）:以未知位移为基本未知 量的求解方法.
(Statically Indeterminate Structure)
§14-2 用力法解超静定结构 （Solving statically indeterminate structure by force method）
1
M ( x) x
M ( x) x
1 l l3 11 0 x xdx 3 EI EI
(Statically Indeterminate Structure)
q
B A l A
q
B
X1
1 l qx 2 ql 4 Δ1F 0 ( 2 ) xdx 8 EI EI 1 l l3 11 0 x xdx 3 EI EI
ij ji
( i , j 1,2,3)
三次超静定系统的正则方程
(Statically Indeterminate Structure)
正则方程的推广:
11 X 1 12 X 2 1n X n Δ1F 0 21 X 1 22 X 2 2 n X n Δ2 F 0
在静不定结构中,超过维持静力学平衡所必须的约束称为多 余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反力,多余约束的 数目为结构的超静定次数（degree of statically indeterminate）.
(Statically Indeterminate Structure)
二、超静定问题分类 （Classification for statically indeterminate）
l
x B
1/l
1/l
1 1/l （1）求11 BC: AC:
1 1/l
1 M ( x) x l M ( x ) 1
1 M ( x) x l M ( x ) 1
(Statically Indeterminate Structure)
l x B l/2 C D l/2 l/2 C D l/2 A l x B
(Statically Indeterminate Structure)
§14-1 超静定结构概述 （Instruction about Statically indeterminate structure）
一、超静定结构（Statically indeterminate structure）
用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构,统称 为超静定结构或系统. （statically indeterminate structure）,也 称为静不定结构或系统
B1
1
B
21
F
B2 B
F
22
B3 1 B
23
1
A A A
来自百度文库
Δ2 X1 Δ2 X 2 Δ2 X 3 Δ2 F 0 Δ2 X1 21 X 1 Δ2 X 2 22 X 2 Δ2 X 3 23 X 3
21 X 1 22 X 2 23 X 3 Δ2 F 0
(Statically Indeterminate Structure)
F
B
F
B
X3 X1 X2
A
A
11 X 1 12 X 2 13 X 3 Δ1F 0
21 X 1 22 X 2 23 X 3 Δ2 F 0 31 X 1 32 X 2 33 X 3 Δ3 F 0
q
B
A A
q
B
l
X1
（2） 利用多余约束处的变形情况写出变形协调条件 变形协调条件： B点的 挠度为 Δ1 X1 Δ1F 0 移.
1X1表示由于X1作用在静定基上时,X1作用点B 沿X1方向的位 1F表示荷载 F (广义力) 作用在静定基上时,X1作用点B沿X1
方向的位移.
(Statically Indeterminate Structure)
l
B
F
D l/2 A l/2
F
D A
X1
11 X 1 Δ1F 0
11 是在A点作用单位力偶时,在A截面引起的转角.
1F 是力F在A截面引起的转角.
(Statically Indeterminate Structure)
l
x B l/2 C D l/2 x A l/2 C D l/2 x A
(Statically Indeterminate Structure)
(Statically Indeterminate Structure) 四、超静定次数的判定 （Determine the degree of statically indeterminacy）
（1）外力超静定次数的判定:根据约束性质确定支反力的个 数,根据结构所受力系的类型确定独立平衡方程的个数,二者的差 即为结构的超静定次数； （2）内力超静定次数的判定:一个平面封闭框架为三次内力 超静定;平面桁架的内力超静定次数等于未知力的个数减去二倍 的节点数.
1/l
x
1/l
x
A
1
1/l
1
1/l
l 1 l x 2 11 [ ( ) dx (1)2 dx ] 0 EI 0 l
(Statically Indeterminate Structure)
(Statically Indeterminate Structure)
F
B1
F
1
B
B2 B
F
B3 1 B
11
12
1
A
13
A
A
Δ1 X1 Δ1 X 2 Δ1 X 3 Δ1F 0 Δ1 X1 11 X 1 Δ1 X 2 12 X 2 Δ1 X 3 13 X 3
Chapter14 Statically Indeterminate Structure
(Statically Indeterminate Structure)
第十四章 超静定结构(Chapter 14 Statically Indeterminate Structure)
§14-1 超静定结构概述(Instruction about statically indeterminate structure) §14-2 用力法解超静定结构(Solving statically indeterminate structure by force method) §14-3 对称及反对称性质的应用 (Application about symmetrical and antisymmetrical properties )
第一类:仅在结构外部存在多余约束,即支反力是静不定的,
可称为外力超静定系统;
第二类:仅在结构内部存在多余约束,即内力是静不定的,可称
为内力超静定系统; 第三类:在结构外部和内部均存在多余约束,即支反力和内力
是静不定的,也称联合超静定结构.
(Statically Indeterminate Structure)
在机械和工程结构中常采用超静定结构增加系统的刚度，提 高构件的承载能力 .
塔式吊车起重臂可简化为外伸梁结构,当需要延长主臂以 增加其回转半径时,如何才能保持原有的承载能力?
(Statically Indeterminate Structure)
辅助支撑
跟 刀 架
顶 尖
用车床加工细长轴时，经常 在铣床上洗削工件时，为 采用顶尖和跟刀架等辅助支撑以 防止工件的移动并减小其变形 减少其变形。卡盘和辅助支撑 和振动，需要增加辅助支撑， 虎钳和辅助支撑构成超静定系统 构成超静定系统。
对于有多个多余约束反力的静不定系统的正则方程如下：
F
B
F
B
X3 X1 X2
A
A
这是三次超静定问题
(Statically Indeterminate Structure)
F
B
F
B
X3 X1 X2
A
A
在静定基上,由 F,X1,X2,X3单独作用在B点引起的水平位移分 别记作 1F, 1X1, 1X2, 1X3 1表示B点的水平位移方向 B点的水平位移等于零 Δ1 X1 Δ1 X 2 Δ1 X 3 Δ1F 0
A
(Statically Indeterminate Structure)
l
B l/2 C l/2 C l
B
F
D l/2 A l/2
F
D A
X1 解:取固定端处的反力偶为多余约束. 变形协调条件是:A点的转角等于零.
(Statically Indeterminate Structure)
l
B l/2 C l/2 C
11 X 1 12 X 2 13 X 3 Δ1F 0
(Statically Indeterminate Structure)
F
B
F
B
X3 X1 X2
A
A
2表示B点的铅垂位移方向 B点的铅垂位移等于零
Δ2 X1 Δ2 X 2 Δ2 X 3 Δ2 F 0
(Statically Indeterminate Structure)
1.判定超静定次数
一、力法的求解过程（Basic procedure for force method）
解除超静定结构的多余约束，用多余约束力X1, X2 ,X3·代替 · · 多余约束,得到一个几何不变的静定系统,称为原静定系统的“相 当系统”;
2.在多余约束处满足“变形几何条件”,得到变形协调方程; 3.由补充方程求出多余约束力; 4.在相当系统上求解原超静定结构的内力和变形.
A
x
（3） 用莫尔定理求Δ1F
1
qx M ( x) M ( x) x 2 1 l qx 2 ql 4 Δ1F 0 ( 2 ) xdx 8 EI EI
2
(Statically Indeterminate Structure)
q
B A l A
q
B
X1
B x A x
A
B
1
（4） 用莫尔定理求 11
(Statically Indeterminate Structure)
例题1 如图所示,梁EI为常数,试求支座反力. q
B A l
（1）去掉多余约束代之 约束反力,得基本静定系 把 B 支座作为多余约束
q
B
AB 悬臂梁为基本静定系 X1 为多余反力
A
X1
(Statically Indeterminate Structure)
n1 X 1 n2 X 2 nn X n ΔnF 0
由位移互等定理知:
ij ji
(Statically Indeterminate Structure)
例题2 刚架的两杆抗弯刚度都是EI,解此刚架.
l B l/2 C
F
D l/2
代入 Δ1 X1 Δ1F 0
l3 ql 4 X1 0 3 EI 8 EI
解得
3 X 1 ql 8
(Statically Indeterminate Structure)
二、力法正则方程 (Generalized equations in the force method)
上例中以多余力为未知量的变形协调方程可改写成下式
q
B
A A
q
B
l
X1
移.
若用 11 表示沿X1方向的单位力在其作点引起的X1方向的位 由于X1作用,B点的沿X1方向位移是11的X1倍
Δ1 X1 δ11 X 1
利用上式解出 X1
(Statically Indeterminate Structure)
q
B A l A
q
B
X1
q
B A x B
判断下列结构属于哪类超静定
（a）
外力超静定
（b）
内力超静定
（c）
混合超静定
（d）
外力超静定
（e）
内力超静定
（f）
混合超静定
(Statically Indeterminate Structure)
三、工程中的超静定结构（ Statically indeterminate structure in engineering）
11 X 1 Δ1F 0
变形协调方程的标准形式,即所谓的力法正则方程. X1— 多余未知量；
11— 在基本静定系上, X1取单位值时引起的在X1作用点X1 方
向的位移;
1F —在基本静定系上,由原载荷引起的在X1作用点沿X1方向
的位移;
(Statically Indeterminate Structure)
五、分析方法（Analytical method）
1.力法（Force method）:以未知力为基本未知量的求解方 法; 2.位移法（Displacement method）:以未知位移为基本未知 量的求解方法.
(Statically Indeterminate Structure)
§14-2 用力法解超静定结构 （Solving statically indeterminate structure by force method）
1
M ( x) x
M ( x) x
1 l l3 11 0 x xdx 3 EI EI
(Statically Indeterminate Structure)
q
B A l A
q
B
X1
1 l qx 2 ql 4 Δ1F 0 ( 2 ) xdx 8 EI EI 1 l l3 11 0 x xdx 3 EI EI
ij ji
( i , j 1,2,3)
三次超静定系统的正则方程
(Statically Indeterminate Structure)
正则方程的推广:
11 X 1 12 X 2 1n X n Δ1F 0 21 X 1 22 X 2 2 n X n Δ2 F 0
在静不定结构中,超过维持静力学平衡所必须的约束称为多 余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反力,多余约束的 数目为结构的超静定次数（degree of statically indeterminate）.
(Statically Indeterminate Structure)
二、超静定问题分类 （Classification for statically indeterminate）
l
x B
1/l
1/l
1 1/l （1）求11 BC: AC:
1 1/l
1 M ( x) x l M ( x ) 1
1 M ( x) x l M ( x ) 1
(Statically Indeterminate Structure)
l x B l/2 C D l/2 l/2 C D l/2 A l x B
(Statically Indeterminate Structure)
§14-1 超静定结构概述 （Instruction about Statically indeterminate structure）
一、超静定结构（Statically indeterminate structure）
用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构,统称 为超静定结构或系统. （statically indeterminate structure）,也 称为静不定结构或系统