三角形的概念及基本性质-教案
三角形相关的概念
适用学科初中数学适用年级初中二年级
适用区域全国课时时长（分钟）120分钟
知识点1、三角形中几条重要的线段
2、三角形的一般性质
3、三角形边角关系、性质的应用
教学目标理解掌握三角形的相关的概念；
能够利用三角形相关的概念解决一些实际问题
教学重点三角形相关知识的点的灵活掌握
教学难点三角形的边角关系、性质的灵活应用
教学过程
一、复习预习
二、知识讲解
考点/易错点1
1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形中的几条重要线段：
（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做心）
（2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质
（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的角之和等于180°
（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的角，等于和它不相邻的两个角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。
4.
S S ABE ??? 基础。
考点/易错点2
三角形边角关系、性质的应用
三、例题精析
【例题1】
【题干】锐角三角形ABC 中，∠C ＝2∠B ，则∠B 的围是（ ） A. 1020?<
【答案】C
【解析】因为?ABC 为锐角三角形，所以090?<
又∵∠A 为锐角，()
∴=?-+∠∠∠A B C 180为锐角 ∴+>?∠∠B C 90
∴>?390∠B ，即∠B >?30 ∴?<
【例题2】
【题干】已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状
是（ ）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 无法确定
【答案】C
【解析】由于三角形的外角和等于360°，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个角的度数，从而可判断三角形的形状。 解：∵三角形的一个外角等于160° ∴另两个外角的和等于200° 设这两个外角的度数为2x ，3x ∴+=23200x x 解得：x =40 2803120x x ==， 与80°相邻的角为100° ∴这个三角形为钝角三角形
【例题3】
【题干】如图，已知：在?ABC 中，AB AC ≤
12，求证：∠∠C B <1
2
。
又∵AB ＋FB ＞AF ，即2AB ＞AF
又∵AB AC AC AF ≤
∴>1
2
， ∴>∠∠F C ，又∵∠∠F ABC =1
2
∴<∠∠C B 1
2
【解析】欲证∠∠C B <1
2，可作∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，只要证∠∠C EBC
<即可。为与题设AB AC ≤1
2
联系，又作AF//BE 交CB 的延长线于F 。显然∠EBC ＝∠F ，
只要证∠∠C F <即可。由AF AB AC <≤2可得证。
【例题4】
【题干】 （1 （2）
【答案】 ∴∠
∴+>+∠∠∠∠BED DEC BAE CAE 即∠∠BEC BAC > （2）延长BE 交AC 于F 点
AB AF BE EF
EF FC EC
AB AF EF FC BE EF EC
+>++>∴+++>++又
即AB AC BE EC +>+
【解析】在（1）中，利用三角形角和定理的推论即可证出在（2）中，添加一条辅助线，
转化到另一个三角形中，利用边的关系定理即可证出。
【例题5】
【题干】求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45°。
、BF ∠ABD ＝∠CAB ＋∠C
∠ABC ＋∠C ＋∠CAB ＝180°，∠C ＝90°
∴+=+++=?+?=?∠∠∠∠∠∠EAB ABD ABC C CAB C 18090270 ∵AF 、BF 分别平分∠EAB 及∠ABD ()∴+=
+=??=?∠∠∠∠FAB FBA EAB ABD 1212
270135
在?ABF 中，()
∠∠∠AFB FAB FBA =?-+=?18045 【解析】欲证∠AFB =?45，须证∠∠FAB FBA +=?135 ∵AF 、BF 分别平分∠EAB 及∠ABD ∴要转证∠EAB ＋∠ABD ＝270°
又∵∠C ＝90°，三角形一个外角等于和它不相邻的两个角之和 ∴问题得证
四、课堂运用
【基础】
1. 已知：三角形的三边长为3，8，12+x ，求x 的取值围。
分析：本题是三边关系的应用问题，只需用三边关系确定第三边的取值围即可。 解：∵三边长分别为3，8，12+x ，由三边关系定理得： 51211<+ ∴<<∴<<421025 x x 2. 已知：?ABC 中，AB BC =，D 点在BC 的延长线上，使AD BC =，∠=BCA α， ∠=CAD β，求α和β间的关系为？ 解： AB BC BCA BAC =∴∠=∠=，α 又 AD BC AD AB =∴=， ∴∠=∠D B ，又∵∠=∠+∠BCA D B ∴∠=-∴∠=-D B αβαβ， 根据三角形角和，得： 2180ααβ+-=? ∴-=?3180αβ 3. 如图，?ABC 中，∠∠ABC ACB 、的平分线交于P 点，∠=?BPC 134，则∠=BAC （ ） A. 68° 答案:C 解析: ∠=BPC 134 ∴∠+∠PBC 又∵BP 、CP () ∴= ∴+=+∴+=??=? ∴=?--=? ∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠PBC PBC PCB ABC ACB ABC ACB BAC ABC ACB 121 2 2469218088 4. 已知：如图，AD 是?ABC 的BC 边上高，AE 平分∠BAC 。 求证：()∠= ∠-∠EAD C B 1 2 证明：∠∠∠EAD EAC CAD =- ∵AE 平分∠BAC ，∴= ∠∠EAC BAC 1 2 又∵AD ⊥BC ，∴=?∠ADC 90 ∴=?-∠∠CAD C 90 又 ∠∠∠BAC B C =?--180 ()()∴= -=?---?-=-∠∠∠∠∠∠∠∠EAD BAC CAD B C C C B 1 21 2180901212 ()∴= -∠∠∠EAD C B 1 2 【巩固】 1. ()==++∠∠∠ABC BAC ACB 1 2 则() ∠∠∠ADB DAB DBA =?-+180 ()()()=++- +-= +∠∠∠∠∠∠∠∠ABC ACB BAC ABC BAC ACB ABC BAC 1 2 1 2