控制系统优化设计

知 其 n = 2， = 0.707。 ， ω ζ
2011年4月6日
13
确定Kp,Ki,和Kd,使系统的ITAE指标最小,对阶跃或斜坡输入的响应较好
ωn = 2，ζ = 0.707，因而超调量及调节时间
（∆ = 2% ）分别为
σ % =100e
ts = 4.5
−πζ / 1−ζ 2
% = 4.3%
21
超调量
调节时间(秒) 稳态误差 |n(t)/c(t)|max
2011年4月6日
确定Kp,Ki,和Kd,使系统的ITAE指标最小,对阶跃或斜坡输入的响应较好 控制器 Gc(s)=1 4.3% 4.2 50.0% 52% PID和Gp(s)=1 34% 0.62 0.0% 0.3% 带前置滤波器 Gp(s)的PID 1.9% 0.75 0.0% 0.3%
当采用ITAE指标时，由表10-4可知，最优特征 多项式为
(s +1.75ωns + 2.15ω s +ω )
3 2 2 n 3 n
2011年4月6日
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确定Kp,Ki,和Kd,使系统的ITAE指标最小,对阶跃或斜坡输入的响应较好
Φ2 (s) =
Kd s2 + Kps + Ki s3 + (2 + Kd )s2 + (1+ Kp )s + Ki
Kd s + Kp s + Ki s
1 G(s) = (s +1)2
则闭环传递函数为
Gc (s)G(s) Φ2 (s) = 1+ Gc (s)G(s)
=
2011年4月6日
Kd s + Kps + Ki
2
s + (2 + Kd )s + (1+ Kp )s + Ki
3 2
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确定Kp,Ki,和Kd,使系统的ITAE指标最小,对阶跃或斜坡输入的响应较好 表10-4 对阶跃响应而言，基于ITAE指标的φ(s)的最优系数
2
2011年4月6日 18
确定Kp,Ki,和Kd,使系统的ITAE指标最小,对阶跃或斜坡输入的响应较好
此时，系统性能如表10-6所示，其阶跃响应的 超调量高达34%。
控制器 Gc(s)=1 4.3% 4.2 50.0% 52% PID和Gp(s)=1 34% 0.62 0.0% 0.3% 带前置滤波器 Gp(s)的PID 1.9% 0.75 0.0% 0.3%
ζωn
= 4.5s
现要求系统的阶跃响应具有最优的ITAE性能， 且调节时间（∆=2%）小于0.8s，试设计最优 PID控制器Gc(s)及前置滤波器Gp(s)。
2011年4月6日 14
确定Kp,Ki,和Kd,使系统的ITAE指标最小,对阶跃或斜坡输入的响应较好
解 令Gp(s)=1，由于
2
Gc (s) =
s +ωn 2 s2 +1.4ωns +ωn
2
s +1.75ωns + 2.15ω s +ω
3 2 n
3 n
2 3 4 s4 + 2.1ωns3 + 3.4ωn s2 + 2.7ωn s +ωn
2 3 4 5 s5 + 2.8ωns4 + 5.0ωn s3 + 5.5ωn s2 + 3.4ωn s +ωn 2 3 4 5 6 s6 + 3.25ωns5 + 6.60ωn s4 + 8.60ωn s3 + 7.45ωn s2 + 3.95ωn s +ωn
采用ITAE方法时，PID控制器的设计过程可以 归纳如下 （1）根据对调节时间的要求，确定闭环系统的 自然频率ωn。 （2）根据选定的闭环最优系数（参见表10-4或 表10-5）以及上一步给出的ωn，确定PID 控制器(10-210)的3个参数，得到Gc(s)。
Gc (s)=
2011年4月6日
Kd s + Kps + Ki
4 3 2 2 n 3 n
5 4 2 3 n 3 2 n
4 n
4 n 5 n 5 n 6 n
s + 2.8ωns + 5.0ω s + 5.5ω s + 3.4ω s +ω
6 5 2 4 n 3 3 n 4 2 n
s + 3.25ωns + 6.60ω s + 8.60ω s + 7.45ω s + 3.95ω s +ω
b0 Y(s) = n Φ(s) = n−1 R(s) s + bn−1s +L+ b1s + b0
(10-208)
则可以确定φ(s)的最优系数，使系统对阶跃响 应的ITAE性能指标极小。式(10-208)传递函数 有n个极点，没有零点，而且系统对阶跃响应 的稳态误差为零。基于ITAE指标的最优系数如 表10-4所示。
超调量
调节时间(秒) 稳态误差 |n(t)/c(t)|max
由表可见，经过优化后的系统，只有1.9% 的超调量，调节时间小于0.8s，稳态误差为零。 此外，由单位阶跃扰动N(s)=1/s引起的最大输出 仅占有用输出的0.3%。这些结果表明，本例的 设计结果是令人满意的。
2011年4月6日 22
设计ITAE最优鲁棒系统,在变化范围内,阶跃响应σ%<4%,ts<2s(∆=2%)
设计ITAE最优鲁棒系统,在变化范围内,阶跃响应σ%<4%,ts<2s(∆=2%)
超调量
调节时间(秒) 稳态误差 |n(t)/c(t)|max
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表10-6 系统性能
2011年4月6日 19
确定Kp,Ki,和Kd,使系统的ITAE指标最小,对阶跃或斜坡输入的响应较好
为了进一步改善系统性能，在系统输入端 接入前置滤波器Gp(s)，使系统闭环传递函数具 有式(10-208)的形式，从而具有预期的最优ITAE 指标。
s + 2.41 ns + 4.93ω s + 5.14ω s +ω ω
5 4 2 3 n 3 2 n
s + 2.19ωns + 6.50ω s + 6.30ω s + 5.24ω s +ω
2011年4月6日 8
确定Kp,Ki,和Kd,使系统的ITAE指标最小,对阶跃或斜坡输入的响应较好
采用ITAE性能指标，以及表10-4或表10-5 给出的最优系数，可以确定常用的PID控制器
为了满足调节时间的设计要求，需要选取ωn的 ζ 合适值。由于ts=4.5/ ζωn≤0.8，可选 =0.8， ωn=10，则最优特征多项式为 将上式与式(10-211)的分母多项式相比，应有 2 + Kd =17.5 1+ Kp = 215
Ki =1000
2011年4月6日 17
(s +1.75s + 215s +1000)
ITAE = ∫ t e(t)dt
0
tf
选择ITAE指标，是为了减小较大的初始误差对 性能指标取值的影响，同时也是为了强调最近 的响应的影响。
2011年4月6日 3
确定Kp,Ki,和Kd,使系统的ITAE指标最小,对阶跃或斜坡输入的响应较好
当所选的性能指标达到极小值时，控制系 统称为最优的。如果系统的闭环传递函数具有 如下的一般形式：
Ki Gc (s) = Kp + + Kd s s 2 Kd s + Kps + Ki = s
(10-210)
的参数Kp、Ki和Kd，使系统的ITAE性能指标达 到最小，且对阶跃输入或斜坡输入的动态响应 较好。
2011年4月6日 9
确定Kp,Ki,和Kd,使系统的ITAE指标最小,对阶跃或斜坡输入的响应较好
2011年4月6日 11
确定Kp,Ki,和Kd,使系统的ITAE指标最小,对阶跃或斜坡输入的响应较好
设控制系统如图10-18所示，其中被控对 象传递函数为
1 G(s) = 2 (s +1)
N(s) R(s) Gp(s) + E(s) U(s) Gc(s) + + G(s) Y(s)
图10-18 带有期望输入R(s)和扰动输入N(s)的反馈控制系统
2011年4月6日 5
Kp,Ki,
Kd,
系统的ITAE 标最
, 阶跃
的响应
当系统φ(s)具有表10-4所示的最优系数时，系 统的阶跃响应如图10-17所示，其中时间尺度为标 准化时间ωnt。
标 准 化 响 应
标准化时间
图10-17 系统
2011 4 6
数具有标准 最优系数时， 标准化时间ωnt的阶跃响应
2
s
10
确定Kp,Ki,和Kd,使系统的ITAE指标最小,对阶跃或斜坡输入的响应较好
b0 C(s) Φ(s) = = n n−1 R(s) s + bn−1s +L+ b1s + b0 b1s + b0 Φ(s) = n n−1 s + bn−1s +L+ b1s + b0
（3）确定合适的前置滤波器Gp(s)，使得闭环传 递函数的零点符合式(10-208)或式(10-209) 的要求。
2011年4月6日 4
确定Kp,Ki,和Kd,使系统的ITAE指标最小,对阶跃或斜坡输入的响应较好 表10-4 对阶跃响应而言，基于ITAE指标的φ(s)的最优系数
s +ωn 2 2 s +1.4ωns +ωn
s +1.75ωns + 2.15ω s +ω
3 2 2 n 3 n
s + 2.1ωns + 3.4ω s + 2.7ω s +ω
6
确定Kp,Ki,和Kd,使系统的ITAE指标最小,对阶跃或斜坡输入的响应较好
对于斜坡输入，当闭环系统传递函数具有 如下标准形式
b1s + b0 Φ(s) = n n−1 s + bn−1s +L+ b1s + b0
(10-209)
可由表10-5确定使ITAE指标极小化的最优 系数。式(10-209)传递函数对斜坡输入的稳态误 差为零。显然，系统相应的开环传递函数G(s)应 有2个以上的纯积分环节。
例10-25 鲁棒最优系统设计 设控制系统如图10-18所示，其中被控对 象的传递函数为 K G(s) = 2 (Ts +1)
N(s) R(s) Gp(s) + E(s) U(s) Gc(s) + + G(s) Y(s)
图10-18 带有期望输入R(s)和扰动输入N(s)的反馈控制系统
2011年4月6日 23
Y(s) b0 Φ(s) = = n R(s) s + bn−1sn−1 +L+ b1s + b0
引入Gp(s)后，系统的闭环传递函数应变为
Φ(s) = Gp (s)Gc (s)G(s) 1+ Gc (s)G(s) 1000 = 3 s +17.5s2 + 215s +1000
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2011年4月6日
2011年4月6日 7
确定Kp,Ki,和Kd,使系统的ITAE指标最小,对阶跃或斜坡输入的响应较好
表10-5 对斜坡输入而言，基于ITAE指标的φ(s)的最优系数
s + 3.2ωns +ω
2 3 2 4 3 2 2 n
2 n 2 n 3 n 3 n 4 n 4 n 5 n
s +1.75ωns + 3.25ω s +ω
2011年4月6日 12
确定Kp,Ki,和Kd,使系统的ITAE指标最小,对阶跃或斜坡输入的响应较好
当Gc(s)=1时，系统为零型系统，其静态位 置误差系数Kp=1，在单位阶跃函数作用下，其 稳态误差
1 ess = = 50% 1+ Kp
再由相应的闭环传递函数 1 G(s) = (s +1)2 1 1 Φ (s) = 2 = 2 1 2 s + 2s + 2 s + 2ζωns +ωn
3 2
确定Kp,Ki,和Kd,使系统的ITAE指标最小,对阶跃或斜坡输入的响应较好
Φ2 (s) =
Kd s2 + Kps + Ki s3 + (2 + Kd )s2 + (1+ Kp )s + Ki
从而可得：Kp=214，Ki=1000，Kd=15.5。于是， 式(10-211)可以写成
15.5s + 214s +1000 Φ2 (s) = 3 2 s +17.5s + 215s +1000 2 15.5(s +13.8s + 64.5) = 3 2 s +17.5s + 215s +1000
确定Kp,Ki,和Kd,使系统的ITAE指标最小,对阶跃或斜坡输入的响应较好
因此求得
64.5 Gp (s) = 2 s +13.8s + 64.5
表10-6中的第4列给出了这时系统的阶跃响应 指标。
表10-6 系统性能
控制器 Gc(s)=1 4.3% 4.2 50.0% 52% PID和Gp(s)=1 34% 0.62 0.0% 0.3% 带前置滤波器 Gp(s)的PID 1.9% 0.75 0.0% 0.3%
控制系统优化设计
设计实例
鲁棒PID控制系统的优化设计 鲁棒最优系统设计
2011年4月6日
2
确定Kp,Ki,和Kd,使系统的ITAE指标最小,对阶跃或斜坡输入的响应较好
例10-24 鲁棒PID控制系统的优化设计 在优化控制系统设计中，一种合适的性能 指标是时间与绝对误差的乘积积分，称为ITAE 性能指标，表示如下：