数项级数的收敛性

n1
n1
(k为常数）
证
n
n
Wn kui k ui kSn ,
i 1
i 1
lnimWn
lim
n
kSn
k
lim
n
Sn
kS
性质2 若 un S , vn W , 则 (un vn ) S W
n1
n1
n1
n
n
n
证 Tn (ui vi ) ui vi Sn Wn
i 1
n
余项: 若 S un 称 Rn S Sn un1 un2
n1
为级数(1) 的余项
例1. 判别级数 1 2 3 n 的敛散性.
解 Sn 1 lim Sn
n
23
n(n 1) lim n 2
n
n(n 1) 2
所以,级数发散.
制作人：杨寿渊
例2. 判别级数 1 1 1 1 的敛散性.
注意 (1).收敛级数去掉括号后所得级数未必收敛.
反例: (1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) 收敛,
去掉括号后, 1111 11 发散.
(2).若加括号后所得级数收敛,则原级数未必收敛. (3).若加括号后所得级数发散,则原级数发散.
制作人：杨寿渊
性质4 增加、去掉或改变级数的前有限项，级数敛散性不变.
S
un ,
n1
un
Sn
Sn1
,
lim
n
un
lim(
n
Sn
Sn1 ) 0
注意
（1).条件必要而不充分,即逆命题不成立.
由
lim
n
un
例如,调和级数
0
n 1
,不能断定
1
n 1
, n
lim un
n
un 收敛.
1
lim
n n
0
但该级数发散
(2).逆否命题成立.
若
lim
n
un
0,
则 un
n 1
一定发散.
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 , L ,
sn u1 u2 un , 称为部分和数列
制作人：杨寿渊
二、数项级数的敛散性的概念
定义2 若 lim Sn S,则称级数(1) 收敛, 且收敛和为 s. n
记 S un
n1
若 lim Sn 不存在, 则称级数(1) 发散.
当| q
| 1时, lim
n
Sn
lim
n
a(1 qn ) 1q
a 1q
1q
, 收敛;
当|
q
|
1时,
lim
n
Sn
lim
n
a(1 qn )
1q
, 发散.
制作人：杨寿渊
aqn1 a aq aq2 aqn1
n1
当|
q
|
1
时,收敛于1
a
q
;
当| q | 1 时,发散.
例如 ( 1 ).
i 1
i 1
lnim Tn
lim(
n
Sn
Wn )
lim
n
Sn
lnimWn
S
W
收敛级数的线性组合仍收敛.
制作人：杨寿渊
性质3 收敛级数加括号后所得新级数仍收敛,且收敛和不变
证:设 S u1 L un L , Sn u1 L un ,为其部分和，对原
级数加括号后得 S ' (u1 u2 ) (u3 u4 u5 ) L
第一节 无穷级数的概念
一、无穷级数的概念
级数： 设给定一个数列：u1 ,u2 , ,un , ,
称 un u1 u2 un
n1
为无穷级数，简称级数.
un
一般项
（1）
二、级数的收敛与发散
n
前n 项和 sn ui u1 u2 un
s
i 1
n构成一个新的数列:
称为(1)的部分和.
例如,
2
n
与
n2 3
2 n 1
n0
2
n
具有相同的敛散性,
3
3,
2
n
( 2)2 3
均收敛.
4
但收敛和不同
n0 3 1 2 / 3
n2 3 1 2 / 3 3
级数的敛散性与前有限项无关.
制作人：杨寿渊
性质5（级数收敛的必要条件）若
un
收敛，则
lim
n
un
0
n 1
证
证 级数 u1 u2 uk uk1 ukn (1)
去掉前 k 项得级数 uk1
级数(2)的前n项和为
n uk
uk
1
n
uk n
(2)
sk n
sk
sk 为常数, 故当 n 时, n 与 sk n 的极限同时存在或不存在.
所以级数(1)与(2)具有相同的敛散性.
其它情况类似可证.
aqn1 aqn a aq aq2 aqn1
n1
n0
解:
1).当 q 1时,
Sn
aa
a
na, lim
n
Sn
,
发散;
2).
当
q
1
时,
Sn
aa
(1)n1a
0, a,
n为 偶 数 n为 奇 数
,发散;
3). 当| q | 1时, Sn a aq aq2 aqn1 a(1 qn )
1
1 2
1 3
L
1 n
1 n
1
L
1 2n
;
1
11
S2n Sn
L n 1
; 2n 2
制作人：杨寿渊
若调和级数收敛，不妨设
lim
n
Sn
S,
则
lim
n
S2n Sn
lim
n
S2n
lim
n
Sn
S
S
0,
wk.baidu.com与前面的式子矛盾，故调和级数必发散。
制作人：杨寿渊
第二节 无穷级数的基本性质
性质1 若 un S ,则 kun kS
n0
2 n1 3n
2 2 n n0 3
2 1 2
3
6
1
1
( 2 ). n1 4n
4 1 1
1. 3
4
5n
( 3 ). n0 4n
发散
制作人：杨寿渊
例4. 证明调和级数 发散.
1 1 1 1 1
n1 n 1 2 3
n
证明：考察其部分和
Sn
1 1 1 L 23
1; n
S2n
12 23 34
n(n1)
解
Sn
1 1 1 1
12 23 34
n (n 1)
(1
1)
1 (
1) (1
1)
(1
1
)
2 23 34
n n1
1 1 n1
lim
n
Sn
lim 1 n
1 n1
1
所以,原级数收敛,且收敛和为1.
制作人：杨寿渊
例3. 讨论等比级数(几何级数)的敛散性 （q 称为级数的公比， a0）
记 v1 u1 u2 , v2 u3 u4 u5 ,L 则
S ' v1 v2 L , 其部分和为 S1' v1 u1 u2 S2 ,
S2' v1 v2 S5 ,L , 因此数列 Sn' 是 Sm 的一个
子数列，从而必有
lim
n
Sn'
lim
m
Sm
即
S'S
制作人：杨寿渊
例如, 2n 3,
n1 n 1
因
lim
n
un
lim
n
2n 3 n1
2
0,
发散
制作人：杨寿渊
例4. 判别级数的敛散性.
(1). 1 1 1
1
;
13 35 57
(2n 1) (2n 1)
(2).
8 9
82 92
83 93
(1)n
8n 9n