必修5 第二章 数列 期末复习(知识点及题型全)

必修5 第二章
《 数 列 》期末复习
制卷：王小凤 学生姓名
【知识梳理】
一．等差数列与等比数列
二．数列通项公式的求法
1．根据n S ，利用公式1
1(1)(1)
n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩求通项n a 。

注．已知n S 求n a ，应分1=n 及2≥n 两步，最后验证1a 是否满足后面的n a .
2．根据数列的递推关系，叠加法、累乘法求通项n a ，其要点是： （1）121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L ；（2）3
21121
(2)n n n a a a a a n a a a -=⋅⋅⋅⋅≥L 3．构造新的等差、等比数列，转化法求通项n a 。

三．数列求和
1．利用等差、等比数列的公式求和； 2．分组求和法；
3．错位相减求和，适用于由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成的数列； 4．裂项相消求和，它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项（裂项），并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消.常见裂项公式：
（1）1111()()n n k k n n k =-++ （2）11()n k n k
n k n =+-++
5．倒序相加法求和。

四．n S 的最值问题：在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号
法求解：
(1)当0,01<>d a 时，满足⎩⎨
⎧≤≥+0
01m m a a 的项数m 使得m
S 取最大值.
(2)当 0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+0
01m m a a 的项数m 使得m
S 取最小值。

【考点题型】
考点一：通项公式、递推公式的基本应用
1．下列四个数中，哪一个是数列{(1)n n +}中的一项( ) A ．380 B ．39 C ．35 D ．23
2．已知数列{}n a ，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则数列的第五项为( ) A ．6 B ．3- C ．12- D ．6-
等差数列 等比数列
定义
1n n a a d --=（2n ≥）
通项公式 d n a a n )1(1-+=，(),()n m a a n m d n m =+->
， 中项
如果,,a A b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的
等差中项，且2
a b
A +=．
三个数成等差数列的设法： ．
如果,,a G b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且 三个数成等比数列的设法：
a
q
，a ，aq 前n 项和 1()2n n n a a S +=
或1(1)
2
n n n S na d -=+
当1q =时：n S = 当1q ≠时：n S =
性
质
若q p n m +=+，则 m n p q a a a a +=+；
若2m p q =+，则 *
(,,,)p q n m N ∈
若q p n m +=+，则
2*2,,(,,,)m p q m p q a a a p q n m N =+=⋅∈若则有
n S 、2n n S S -、32n n S S -为等差数列
n S 、2n n S S -、32n n S S -为等比数列 函数思想 看数列
12
221()()22
n n a dn a d An B d d
s n a n An Bn =+-=+=
+-=+
111(1)
11n
n n n n n a a q Aq q
a a
s q A Aq q q q
=
==-=-≠--
判定方法
（1）定义法：证明)(*1
N n a a n n ∈-+为一个常数； （2）等差中项：证明*11(2N n a a a n n n
∈+=+-，
)2≥n
（3）通项公式:(,n a kn b k b =+为常数)(*
N
∈n )
（4）2
n
s An Bn =+(,A B 为常数)(∈*
n N )
（1）定义法：证明)(*1
N n a a n
n ∈+为一个常数
（2）中项：证明2
1n
n a a -=*1(,2)n a n N n +⋅∈≥ （3）通项公式：(,n
n a cq c q =均是不为0常数）
（4）n n
s Aq =A -(,A q 为常数，≠≠A 0,q 0,1）
考点二：等差、等比数列的基本运算
3．若等差数列{}n a 的前三项依次为1a -、1a +、23a +，则2011是这个数列的( ) A ．第1006项
B ．第1007项
C ．第1008项
D ．第1009项
4．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =( ) A ．138
B ．135
C ．95
D ．23
5．在等比数列}{n a 中,,8,1641=-=a a 则=7a ( )
A ．4-
B ．4±
C ．2-
D ．2±
6．已知,,,a b c d 是公比为2的等比数列，则
d
c b
a ++22= ( ) A ．1 B ．21 C ．41 D ．8
1
7．在等比数列{}n a 中，485756=-=+a a a a ，则10S 等于( ) A ．1023 B ．1024 C ．511 D ．512
8．等差数列{}n a 的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是( )
A ．90
B ．100
C ．145
D ．190
9．在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则二数之和为( )
A ．2113
B ．1114
C ．2
110 D ．21
9
10．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ． 2
考点三：等差、等比数列的性质的应用
11．已知{}n a 是等差数列，且2381148a a a a +++=，则67a a += ( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24
12．已知等差数列{}n a 满足1231010a a a a ++++=L ，则有（ ） A ．11010a a +> B ．21000a a +< C.3990a a += D ．5151a = 13．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=
（ ） A ．120 B ．105 C ．90 D ．75 14．等差数列{}n a 中，1590S =，则8a = ( )
A ．3
B ．4
C ．6
D ．12
15．若一等差数列前四项的和为124，后四项的和为156，又各项的和为350，则此数列共有 ( ) A ．10项 B ．11项 C ．12项 D ．13项
16．等比数列{}n a 中,0n a >,965=a a ,则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．32log 5+ 17．等差数列{}n a 中，121015a a a +++=L ，11122020a a a +++=L ，则
212230a a a +++=L ( )
A ．15
B ．25
C ．35
D ．45
18．已知等比数列前10项的和为10，前20项的和为30，那么前30项的和为( ) A ．60 B ．70 C ．90 D ．126
考点四：等差、等比数列的实际应用
19．夏季高山上温度从山脚起每升高100米，降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则山的相对高度是( )
A ．1500
B ． 1600
C ．1700
D ．1800
20．某种细菌培养过程中，每半小时分裂一次（一次分裂为两个），经过4小时，这种细菌由1个可繁殖成( )个．
A ．64
B ．128
C ．256
D ．512
21．一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套书的年份是( )
A ．1997
B ． 1999
C ．2001
D ．2003
考点五：等差数列前n 项和的最值
22．等差数列{n a }中，39||||,a a =公差0,d <那么使前n 项和n S 最大的n 值为（ ） A ．5 B ．6 C ．5 或6 D ．6或7
23．数列{a n }是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负． (1)求数列的公差d ； (2)求前n 项和S n 的最大值．
考点六：数列的通项公式的求解
24．已知数列{}n a 满足1n n a a n +=+，11=a ，求n a ．
25．已知数列{}n a 的前n 项和n n S 23+=，求n a ．
考点七：等差、等比数列的证明数列求和
26．已知数列{a n }是首项为a 且公比不等于1的等比数列，S n 为其前n 项和，a 1，2a 7，3a 4成等差数列，求证：12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列.
27．在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+． （Ⅰ）设1
2
n
n n a b -=
．证明：数列{}n b 是等差数列； （提示：利用等差数列定义证明） （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ． （提示：错项相减求和）
28．等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列, 11b =，且2264,b S = 33960b S =．
(1)求n a 与n b ； (2)求和：
12111
n
S S S +++L ．（提示：裂项相消求和） （注：将第26—28题解题过程写在试卷背面 ）。