基于多体系统理论的数控机床误差建模
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第$期 ("") 年 $ 月
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机械设计与制造 415/60 7 +,089,-:821
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基于多体系统理论的数控机床误差建模
郭 辰 杨 林 李庆勇 ’ 沈阳工业大学，沈阳 !!""($ *
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在不同坐标系间的变换， 在一般的多体系统中， 体与体之间的相 对位姿 . 位置和姿态 / 由三个位置参数和三个姿态参数确定。如 果在每一个体上都建立与体固定的子坐标系，那么体与体之间 的位姿问题就转化子坐标系之间的位姿问题。
表 " 四轴立式数控机床的低序列表
典型体 %’ . 6 / %" . 6 / %# . 6 / %% . 6 / %$ . 6 / %* . 6 / %+ . 6 / " " ’ ’ ’ ’ ’ ’ # # " ’ ’ ’ ’ ’ % % # " ’ ’ ’ ’ $ $ % # " ’ ’ ’ * * $ % # " ’ ’ + + * $ % # " ’ , , " ’ ’ ’ ’ ’ , " ’ ’ ’ ’
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பைடு நூலகம்
的复杂机械系统 L ! M 。它是对一般复杂机械系统的完整抽象和 有效描述， 是分析和研究复杂机械系统的最优模式 L ( M 。多体系 统理论和方法具有通用性和系统性，非常适合于进行空间误差
相对静止的位置误差特征矩阵为：
在多体系统分析中， 我们把构成拓扑结构的单元称为体， 描 述体与体关联关系的低序体阵列可通过下列定义的低序体运算 得到。一般地， 多体系统中任意体 $ 的低序体定义为： %& . ’ / ( ) % . ’/ 0 %( %
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郭辰等： 基于多体系统理论的数控机床误差建模
第%期
建模， 目前已经在机器人， 机床， 坐标测量机等复杂机械的运动 分析与控制中得到成功应用， 并且应用领域正在不断扩大。 多体系统理论的核心是其拓扑结构关联关系的描述和运动 学或动力学特征的描述。多体系统误差运动分析的理论基础则 是多体系统学运动学理论，其基本原理是用低序体阵列方法描 述多体系统拓扑结构的关联关系，用 $&$ 阶齐次方阵描述点和 矢量在广义坐标系中的变换关系，使有误差多体系统的运动分 析变得简单、 迅速、 明了和普遍适用。本文基于多体系统运动学 理论的基本原理，首先介绍了多体系统的描述方法及多轴数控 机床空间误差建模的基本规律，然后以一台专用数控机床为对 象， 详细阐述了空间误差建模过程， 并给出了具体数学表达式。
! 多体系统描述
多体系统是指由多个刚体或柔体通过某种形式联结而成
% 来稿日期： (""N # ") # (O
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的位形是相同的。 也就是说， 空间 PGGP 机构位形分析和模拟程 序可用于分析和模拟球面 PPPP 机构的位形。 中运行的软件程序。该算法和相应的软件程序具有以下特点： ’ ! * 直观性和可靠性： 由于机构各构件的分析和模拟结果是 因此各构件 以三维实体的形式在 B8:F <B4 图形系统中绘出的， 的 位 形 可 用 B8:F <B4 图 形 系 统 的 命 令 以 任 意 方 向 和 大 小 显 示。而且绘制出机构的原始输入结构参数和计算出的位形参数 线段长度和角 均可用 B8:F <B4 图形系统的命令以查询点位置、 度方式进行检验。 ’ ( * 平面、 球面和空间机构的三位一体性： 这里所述的空间 PGGP 机 构 位 形 算 法 和 程 序 均 适 用 于 平 面 PPPP 机 构 和 球 面 PPPP 机构。
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$ 结束语
传统的解析法在对具体的空间 PGGP 机构和球面 PPPP 机 构位形分析计算时存在不直观和不可靠 （由于难以检验推导和 计算的正确性 ） 的缺点，在全面研究了空间 PGGP 机构和球面 PPPP 机构位形的基础上提出了三维动态模拟机构位形的计算 机算法， 并在此基础上研制出了相应的能在 B8:F <B4 图形系统
参考文献
（即球面 PPPP 机构 ） 图 ) 球面 PGGP 机构 的三维位形 Q/6K ) $4 -F09/682,:/F0 F9 5R.12/-,J PPPP S1-.,0/5S 机械工业出版社， ! 张启先编著 K 空间机构的分析与综合 L + M K 北京： !%TNK ( G8.， <K UK@ P,V-J/991 <K WK ， X/01S,:/-5 ,0V +1-.,0/5S5 415/60 L + M ， W/J13@ ;1Y AF2Z !%&TK $ [2VS,0 BK =K@ <FSR8:12 # ,/V1V V15/60 F9 S1-.,0/5S !%TN ,0V \13F0V， +K +K IK@ !%T) ， (" ’ N * @ (N) ] (N%K N Q218V105:1/0 QK@ +F.,SS,V UK GK@ ?0 , -FSR8:/F0,J 199/-/10: S/-2F -FSR8:12 Z/01S,:/- ,0,J35/5 F9 :.1 \,5/- J/0Z,61 S1-.,0/5S5 L ^ M @ !%TO@ (! ’ O * @ NO& ] N&(K +K +K IK ，
【摘要】 基于多体系统运动学理论的基本原理并结合一台专用数控机床， 阐述了多体系统的拓扑结 构， 低序体阵列， 以及特征矩阵的构建方法。分析了多体系统有误差运动的基本规律， 研究了根据特征 矩阵得到综合误差的算法。 关键词：多体系统；误差建模；数控机床 【 !"#$%&’$】 !"#$% &’ ()$ *"#+, -.+’,+-/$# &0 12/(+ 3 *&%4 #4#($1 5+’$1"(+,# "’% " 6--.&-.+"(+&’ ;< 1"7 ,)+’$ (&&/ "# "’ $8"1-/$9 "0($. ()$ (&-&/&:+,"/ #(.2,(2.$# &0 12//(+ 3 *&%4 #4#($1# "’% ()$+. /&; 3 &.%$. 3 *&%4 "..";# ".$ $8-"(+"($%9 ()$ ,&1-&#+’: 1$()&%# &0 ,)".",($.+#(+, 1"(.+8$# ".$ -2( 0&.;".% +’ ()$ -"-$.< !$#+%$# ()$ "*&=$9 ()$ *"#+, .2/$# &0 )"=+’: 3 $..&. 5+’$1"(+,# &0 12/(+ 3 *&%4 #4#($1# ".$ "’"/4>$% "’% #&1$ 5+’%# &0 ".+()1$(+, (& &*("+’ #4’()$#+# =&/21$(.+, $..&.# *"#$% &’ ,)".",($.+#(+, 1"(.+8$# ".$ .$#$".,)$%< ()* +,%-#. /01$2 3 ",-* #*#$)45 6%%,% 3 4,-)12785 9: 4&’;27) $,,1 中图分类号：I=)!%K ! 文献标识码：B
% 特征矩阵
多体系统中体坐标系间的实际位置和运动状况，可由位置 特征矩阵、 运动特征矩阵、 位置误差特征矩阵和运动误差特征矩 阵来加以确定。特征矩阵的主要作用是用来实现空间点和矢量
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机械设计与制造
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理想条件下， 工件在回转工 *" , 1 & ，
根据各子坐标系间的位姿参数，就可以得到各种确定的 $&$ 阶齐次特征矩阵，而参数的变化则反映了体与体之间的相 对静止和相对运动状况 ( $ ) 。在有误差的多体系统中， 对于任意 相对静止 * 或初始相对静止 + 的理想位 相邻体 )， ’ 的子坐标系， 置特征矩阵为： ’ ’ 123 ! ! 345 ! ,)’- 0 ’ 345 ! 123 ! ’ ’ ’
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# 拓扑结构和低序体阵列
拓扑结构是对多体系统本质的高度提炼和概括，是研究多 体系统的依据和基础。目前，描述多体系统拓扑结构的常用方 任选一体为 法是运用低序体阵列。 一般设惯性坐标 " 为 #’ 体， 然后沿远离 #" 的方向以增长数列标定每个物体的序号， #" 体， 从系统的一个分支到另一个分支， 直到全部标定完为止 ( % ) 。对 图 " 所示的专用数控机床进行提炼和概括，就可以得到如图 # 所示的拓扑结构简图。 数控机床是最典型的多体系统，图 " 所示机床其主要结构 可简述如下： ’ —惯性参考系 " —床身 % —纵向溜板 $ —横向工作台 + —被加工工件 , —主轴 # —上下滑座 * —回转工作台 - —刀具
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图 " 数控机床简图 图 # 拓扑结构图
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当 % . ’ / ( ) 时称体 ) 是体 ’ 的相邻低序体， 同时称 ’ 是 ) 的相邻高序体。表 " 为图 " 四轴立式数控机床的低序体阵列表：
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基于多体系统理论的数控机床误差建模
郭 辰 杨 林 李庆勇 ’ 沈阳工业大学，沈阳 !!""($ *
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在不同坐标系间的变换， 在一般的多体系统中， 体与体之间的相 对位姿 . 位置和姿态 / 由三个位置参数和三个姿态参数确定。如 果在每一个体上都建立与体固定的子坐标系，那么体与体之间 的位姿问题就转化子坐标系之间的位姿问题。
表 " 四轴立式数控机床的低序列表
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相对静止的位置误差特征矩阵为：
在多体系统分析中， 我们把构成拓扑结构的单元称为体， 描 述体与体关联关系的低序体阵列可通过下列定义的低序体运算 得到。一般地， 多体系统中任意体 $ 的低序体定义为： %& . ’ / ( ) % . ’/ 0 %( %
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郭辰等： 基于多体系统理论的数控机床误差建模
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建模， 目前已经在机器人， 机床， 坐标测量机等复杂机械的运动 分析与控制中得到成功应用， 并且应用领域正在不断扩大。 多体系统理论的核心是其拓扑结构关联关系的描述和运动 学或动力学特征的描述。多体系统误差运动分析的理论基础则 是多体系统学运动学理论，其基本原理是用低序体阵列方法描 述多体系统拓扑结构的关联关系，用 $&$ 阶齐次方阵描述点和 矢量在广义坐标系中的变换关系，使有误差多体系统的运动分 析变得简单、 迅速、 明了和普遍适用。本文基于多体系统运动学 理论的基本原理，首先介绍了多体系统的描述方法及多轴数控 机床空间误差建模的基本规律，然后以一台专用数控机床为对 象， 详细阐述了空间误差建模过程， 并给出了具体数学表达式。
! 多体系统描述
多体系统是指由多个刚体或柔体通过某种形式联结而成
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的位形是相同的。 也就是说， 空间 PGGP 机构位形分析和模拟程 序可用于分析和模拟球面 PPPP 机构的位形。 中运行的软件程序。该算法和相应的软件程序具有以下特点： ’ ! * 直观性和可靠性： 由于机构各构件的分析和模拟结果是 因此各构件 以三维实体的形式在 B8:F <B4 图形系统中绘出的， 的 位 形 可 用 B8:F <B4 图 形 系 统 的 命 令 以 任 意 方 向 和 大 小 显 示。而且绘制出机构的原始输入结构参数和计算出的位形参数 线段长度和角 均可用 B8:F <B4 图形系统的命令以查询点位置、 度方式进行检验。 ’ ( * 平面、 球面和空间机构的三位一体性： 这里所述的空间 PGGP 机 构 位 形 算 法 和 程 序 均 适 用 于 平 面 PPPP 机 构 和 球 面 PPPP 机构。
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传统的解析法在对具体的空间 PGGP 机构和球面 PPPP 机 构位形分析计算时存在不直观和不可靠 （由于难以检验推导和 计算的正确性 ） 的缺点，在全面研究了空间 PGGP 机构和球面 PPPP 机构位形的基础上提出了三维动态模拟机构位形的计算 机算法， 并在此基础上研制出了相应的能在 B8:F <B4 图形系统
参考文献
（即球面 PPPP 机构 ） 图 ) 球面 PGGP 机构 的三维位形 Q/6K ) $4 -F09/682,:/F0 F9 5R.12/-,J PPPP S1-.,0/5S 机械工业出版社， ! 张启先编著 K 空间机构的分析与综合 L + M K 北京： !%TNK ( G8.， <K UK@ P,V-J/991 <K WK ， X/01S,:/-5 ,0V +1-.,0/5S5 415/60 L + M ， W/J13@ ;1Y AF2Z !%&TK $ [2VS,0 BK =K@ <FSR8:12 # ,/V1V V15/60 F9 S1-.,0/5S !%TN ,0V \13F0V， +K +K IK@ !%T) ， (" ’ N * @ (N) ] (N%K N Q218V105:1/0 QK@ +F.,SS,V UK GK@ ?0 , -FSR8:/F0,J 199/-/10: S/-2F -FSR8:12 Z/01S,:/- ,0,J35/5 F9 :.1 \,5/- J/0Z,61 S1-.,0/5S5 L ^ M @ !%TO@ (! ’ O * @ NO& ] N&(K +K +K IK ，
【摘要】 基于多体系统运动学理论的基本原理并结合一台专用数控机床， 阐述了多体系统的拓扑结 构， 低序体阵列， 以及特征矩阵的构建方法。分析了多体系统有误差运动的基本规律， 研究了根据特征 矩阵得到综合误差的算法。 关键词：多体系统；误差建模；数控机床 【 !"#$%&’$】 !"#$% &’ ()$ *"#+, -.+’,+-/$# &0 12/(+ 3 *&%4 #4#($1 5+’$1"(+,# "’% " 6--.&-.+"(+&’ ;< 1"7 ,)+’$ (&&/ "# "’ $8"1-/$9 "0($. ()$ (&-&/&:+,"/ #(.2,(2.$# &0 12//(+ 3 *&%4 #4#($1# "’% ()$+. /&; 3 &.%$. 3 *&%4 "..";# ".$ $8-"(+"($%9 ()$ ,&1-&#+’: 1$()&%# &0 ,)".",($.+#(+, 1"(.+8$# ".$ -2( 0&.;".% +’ ()$ -"-$.< !$#+%$# ()$ "*&=$9 ()$ *"#+, .2/$# &0 )"=+’: 3 $..&. 5+’$1"(+,# &0 12/(+ 3 *&%4 #4#($1# ".$ "’"/4>$% "’% #&1$ 5+’%# &0 ".+()1$(+, (& &*("+’ #4’()$#+# =&/21$(.+, $..&.# *"#$% &’ ,)".",($.+#(+, 1"(.+8$# ".$ .$#$".,)$%< ()* +,%-#. /01$2 3 ",-* #*#$)45 6%%,% 3 4,-)12785 9: 4&’;27) $,,1 中图分类号：I=)!%K ! 文献标识码：B
% 特征矩阵
多体系统中体坐标系间的实际位置和运动状况，可由位置 特征矩阵、 运动特征矩阵、 位置误差特征矩阵和运动误差特征矩 阵来加以确定。特征矩阵的主要作用是用来实现空间点和矢量
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机械设计与制造
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根据各子坐标系间的位姿参数，就可以得到各种确定的 $&$ 阶齐次特征矩阵，而参数的变化则反映了体与体之间的相 对静止和相对运动状况 ( $ ) 。在有误差的多体系统中， 对于任意 相对静止 * 或初始相对静止 + 的理想位 相邻体 )， ’ 的子坐标系， 置特征矩阵为： ’ ’ 123 ! ! 345 ! ,)’- 0 ’ 345 ! 123 ! ’ ’ ’
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# 拓扑结构和低序体阵列
拓扑结构是对多体系统本质的高度提炼和概括，是研究多 体系统的依据和基础。目前，描述多体系统拓扑结构的常用方 任选一体为 法是运用低序体阵列。 一般设惯性坐标 " 为 #’ 体， 然后沿远离 #" 的方向以增长数列标定每个物体的序号， #" 体， 从系统的一个分支到另一个分支， 直到全部标定完为止 ( % ) 。对 图 " 所示的专用数控机床进行提炼和概括，就可以得到如图 # 所示的拓扑结构简图。 数控机床是最典型的多体系统，图 " 所示机床其主要结构 可简述如下： ’ —惯性参考系 " —床身 % —纵向溜板 $ —横向工作台 + —被加工工件 , —主轴 # —上下滑座 * —回转工作台 - —刀具
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图 " 数控机床简图 图 # 拓扑结构图
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