开放性和拓展性练习题设计数学讲解

肥西县江夏店学区中心学校
拓展性开放性试题研究
数学
（2011-----2012学年度第一学期）
江夏店学区中心学校
教改激发教学活力
教研锤炼教师素质
江夏店学区中心学校制
江夏中心校（本部）拓展性开放性数学试题研究报告
数学组全体成员
一、研究的现实背景及意义
（一）研究的现实背景
数学试题是教师设计的、由学生完成的一种学习任务。

它是课堂教学的检测和延续，对于巩固课堂教学、提高学生的学业成绩起着重要的作用。

我们伟大的
教育家孔圣人早在二千多年前就提出了“因材施教”的教育原则。

新课程改革也一直倡导：“人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。

”同时也提出：“对数学学习要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程；要关
注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。

然而在应试教育的压力下，我们的教学又陷入了题海战术的深渊。

做不完的作业，机械的重复来又重复去的数学题，使得多少孩子过早的戴上了近视眼镜，又使得多少孩子失去了原本属于自己的最珍贵的童年记忆。

在实际的教学中老师
们怕减少作业量会降低教学质量，于是凭“题海”战取胜，结果学生负担过重，导致厌倦作业、事倍功半。

长期的这种作业方式已经使学生逐渐形成不良的作业习惯。

比如马马虎虎地做，早上到校抄同学的答案，字迹潦草，错误率高，不认真思考等。

大量的作业占去学生的课余大部分时间，抑制了他们自身兴趣爱好的发展，抑制了学生个性
的发展，严重影响了学生身心健康的发展。

面对这一切我们进行了深深的探索，怎样使得课外作业也能与人的个性发展
相协调，实现从原先的一种“负担”向一种自身需求并能促进自身发展的转变呢？
也就是如何让学生把作业作为一项自己需要的、乐意的事去做，在减轻学生课业负担的同时又能提高学生的数学能力呢？面对当今令人担忧的教育现状，为了提高学生学习能力，培养和锻炼学生独立获取知识和信息的能力，分析和解决问题的能力，培养具有创新思维的杰出人才。

我们数学组准备对试题拓展性开放性展开深入研究，尝试改变以往试题的形式，实行拓展性开放性试题研究。

（二）拓展性开放性试题研究的意义
拓展性开放性试题体现了新课程理念中尊重个体差异，面向有差异的全体学生。

体现了以人为本，以学生为主体的课改理念，也响应了“以学论教，教是为了促进学”的课改口号，是有效教学中一个必不可少的重要环节。

1．激发了学生们的学习热情，挖掘了每一个学生的潜能。

每次上完课，针
对全班每一个学生的不同情况，布置必做题与选做题或定量不定时作业。

例如：课外阅读《小学数学报》就是属于定量不定时。

这样，学生都能愉快地完成自己力所能及的作业。

2．评价方式随之改变。

因作业的布置是因生而异，即重视了学生的个体差
异和个性发展，被评价者处于主动地位。

所以，学生都能获得教师不同的鼓励性评价，这样的评价能帮助学生认识自我，建立自信，激发其内在发展的动力，从而促使学生在原有水平的基础上获得发展，实现个体价值。

例如：数学基础很差的学生，就可以布置一些基础的训练题，单元测试中也可以删去一些难题，并且把这些难题的分数加到其他基础题中让他们测试。

这样增强了他们的自信心，在他们取得进步时，教师不断给予赞扬、鼓励。

他们的学习就很愉悦，学习的干劲十足。

3．老师、学生都很快乐。

学生是具有多元智能的个体，所以要求教师的教
学要具有个性化，而分层作业正是这种个性化教学的体现，并且他改变了过去的一刀切，避免了有人吃不饱，有人吃不了的现象，现在他们各取所需，各有所得。

饿的吃饱，饱得吃好，使每个学生都成为了成功的有效的学习者，学生高兴了，老师也就愉悦了。

4．拓展性开放性试题的设计还充分发挥了教师的团队协作精神。

既有教师
根据班级个性化的设计，又有年级组集体讨论后的普遍性设计，减轻了教师的负担。

同时我们还进行了年级组内的大培优扶，打破班级编制，利用时间组织年级组内集体补习和培优辅导，收到了良好的效果。

五、拓展性开放性试题研究的成效
(一)促进了教师整体素质的提升
1.教育观念的更新
“数学拓展性开放性试题”的研究与实践，给数学组老师带来了全新的教育思
想理论，教师通过学习和操作以及平时的相互切磋和教研活动的评课等，引发自我和相互之间的思想撞击，促使教师观念吐故纳新。

加速了教学改革的进程，贯彻了《新课标》的思想，推进了素质教育的深入，对教师的教育教学产生了积影响极。

课题的研究与实施的基础是对理论的学习，最终目的是教师整体教育教学理念的综合提升。

①数与代数中的试题研究
要求A层学生掌握计算顺序，熟练计算方法，能正确利用计算定律进行简便计算；B层学生在计算达标的基础上，要尽可能提高计算能力；C层学生计算要
做到绝对熟练、正确，同时必须做拓展题，以培养这类学生的综合分析问题的能力。

②空间与图形中的分层试题研究
在几何教学中，要强化学生对基本概念、物体的几何特征、计算公式的理解和灵活运用。

对不同层次的学生，要通过不同的作业提高他们的综合运用所学知
识解决问题的能力。

例如，在学习了圆柱的表面积和体积后，要求A层学生做课本上的常规练习题，根据不同条件求圆柱的体积、表面积和重量；B层学生除了熟练地掌握常规练习题外，还要有选择地解答类似于：“一个装满粮食的圆柱形粮囤，从里面量得地面直径10米，高是6米，已运走了60%，剩下的用每次能装7.85立方米粮食的汽车运输，需要多少次运完？”等圆柱与比例分配、圆柱与分数进行的综合的实际问题；C层学生可以有选择地做常规练习题，但必须用不
同的方法解答上述综合性题目，让这类学生既体验了知识的应用意识，又培养了创造性解决问题的能力。

③统计与概率中的分层试题研究
在统计教学中，教师要让学生体验数据的收集、整理、描述和分析的过程，进一步体会统计在现实生活中的作用，理解数学与现实生活的密切联系。

例如在
学习了单式、复式条形统计图后，教师给A层学生设计一些已绘制了统计图的一部分，让学生补充完成一部分；B层学生先要做部分A层作业，然后再根据提供
的原始数据，自主绘制条形统计图；C层学生可以有选择地做A、B层作业，同
事要求他们调查自己所关心的社会或生活问题，将收集的数据进行整理，先制成不同形式的条形统计图。

这样，既培养了学生的开放意识、创新能力，也最大限度地调动了学生的学习积极性。

④综合运用中的分层试题研究
在学习“综合运用(解决问题)”这部分内容时，不同层次的学生在能力差别上表现得更加突出。

要想提高全班同学解决问题的能力，首先在作业上要提出不同的要求。

要求A层学生解决问题时，要认真审题，多联系生活实际，借助于图形分析题意，并把线段图画在作业本上，写清解题思路，分步解答，或先分步，再综合解答；对B层学生，要求用不同的方法分析题意，尽量用综合算式解答，并鼓励他们多做一些拓展性题目，努力提高自己综合分析问题的能力；对C层学生
的要求是必须用综合算式解答常规练习题，解答开放性题目时，提倡解法创新，做到举一反三。

六数学拓展性开放性试题研究的思考
我们的研究取得了一些阶段性的成果,采用的研究方法主要是文献研究、观察研究和行为研究法,虽从理论探索和实践研究两方面着手,力求整体改革,但由于研究人员的水平和时间所限,仍有相当多的经验成分，实验效果还要作长期跟踪。

实验的科学性、系统性还不够，有待于进一步的深入研究、改进。

如：
1.如何将现有的一些成果进行推广，乃至深入，有待努力。

2.怎样把数学作业“分层布置”渗透到其他学科中去。

3.如何使数学作业能真正促进学生的成长，还需我们进一步研究。

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数学
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【案例】《质数、合数、分解质因数》试题设计研究
设计者冯磊
学习了《质数、合数、分解质因数》之后，我设计了不同层次的试题，供学生自由选择。

一、必做题：
1.下面的数中，哪些是合数？哪些是质数？
1 13 24 29 41 57 63 79 87
合数有：质数有：
2．写出两个都是质数的连续自然数。

3．写出两个既是奇数，又是合数的数。

4．将下列各数分解质因数
12 49 121 65 56 135
二、选做题
1．在（）里填入合适的质数
10＝（）＋（） 10＝（）×（）
20＝（）＋（）＋（） 8＝（）×（）×（）
2.试试你的判断力，相信你能行。

（1）任何一个自然数，不是质数就是合数。

（）
（2）偶数都是合数，奇数都是质数。

（）
（3）7的倍数都是合数。

（）
（4）20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数，积是171。

（）（5）最小的自然数，最小的质数，最小的合数，和是7。

（）
三、拓展题
1.一年一度的植树节到了，五（2）班同学在王老师的带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果师生每人种树一样多，共种了572棵，那么平均每人种多少棵树？
2.主人对客人说：“院子里有三个小孩，他们的年龄之积等于72，年龄之和恰好是我们家的楼号，楼号你是知道的，你能求出这些孩子的年龄吗？”客人想了一想说：“我还不能确定答案。

”他站起来，走到窗前，看了看楼下的孩子：“有两个很小的孩子，我知道他们的年龄了。

”主人家的楼号是（），孩子的年龄是（）。

数学拓展性开放性试题研究样卷
江夏中心校夏伦元
A、将下列各数分解质因数
12 49 121
B、试试你的判断力，相信你能行。

（1）只有两个约数的数一定是质数。

（2）合数至少有3个约数。

（3）质数一定是奇数。

（4）合数一定是偶数。

C、（1）将1999表示为两个质数之和：1999=□+□在□里填上质数，共有多少种表示法？
（2）一年一度的植树节到了，五（2）班同学在王老师的带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果师生每人种树一样多，共种了572棵，那么平均每人种多少棵树？
融情入景----让试题充满生机研究
江夏中心校夏智勇
多元智能理论认为：“充分提供情节背景下的学习是最有效的”。

孔子说：“知之者不如好知者，好知者不如乐知者。

”可见，情趣是一种至关重要的润滑剂，
而教育心理学也已证实，根据小学生的心理特征，由于他们好奇心强，求胜心强，所以在作业中添加一些趣味，融入情景，能吸引学生的各种感官参与完成，抓住这一特点，把作业融于生动的情景中呈现在学生的眼前，让学生轻松愉快地主动接受作业。

如在四年级“年、月、日”教学后，我布置了这样一个作业题：下面是小马虎写的一则日记，让我们来当一回老师，帮他批阅一下。

2003年2月29日晴
今天是我的生日，所以我早上18：00就起床了。

爸爸妈妈也早早地起来了，
为我准备生日。

妈妈从早上7：00到中午11：00一共5个小时一直忙个不停；
爸爸早在7天前（2月20日）就给我准备好了生日礼物。

晚上，我们一起庆祝，今天，我真开心！
这样，原来干巴巴的“年、月、日知识复习”摇身一变，成为富有情趣的日记
修改，包装后的作业形式活泼，趣味十足，极大调动了学生作业的积极性，学生觉得兴味盎然。

又如在五年级“数的整除”教学后，可以布置这样的一个题目：
为了方便和同学们联系，现在我把我的电话留给大家：138□□□7□7□□
从左往右依次是：
第一个□里的数字既有约数3，又是6的倍数；
第二个□里的数字是10以内最大的质数；
第三个□里的数字是最小的质数；
第四个□里的数字既是奇数，又是质数，还是6的约数；
第五个□里的数字比所有的自然数的公约数少1的数；
第六个□里的数字是5的最大公约数，又是5的最小公倍数。

然后，把你自己家的电话号码也设计成这样的谜语。

在这样的情景之下，学生个个积极思考，主动探索，巩固知识的目的达到了，而学生的自主性、独立性、创造性也得到了培养，突出了学生的主体作用。

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拓展性开放性试题研究
数学
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让数学试题回归生活研究
江夏中心校王和兵
生活是一个大课堂，蕴涵着丰富、鲜活的课程资源，远离生活就意味着让学生失去课程的另一半世界。

要沟通课堂内外，拓宽学生学习空间，增加学生数学实践的机会。

儿童的智慧就在他的手指尖上，所以我们的数学作业也应贯穿在大量数学实践中，要让学生少做题，多动手，多实践，多运用，在大量的数学
实践中让知识得到升华。

通过设计一些实践性较强的作业，使学生在“行”中求知。

在设计作业时，树立开放的数学教学观念，面向学生的整个生活世界，立足课本，放眼课外，充分利用现实生活中的教学资源，让学生在生活中学数学、做数学、
用数学，让作业回归“学生主体”，回归“生活实践”，真正符合新课标“数学源于生活，用于生活”的理念。

如学习了“简单的数量关系”后，可以布置这样一道作业题，每人发一张购物记录卡，如下图：
购物记录卡
购物时间：地点：
商品名称：
单价：
数量：
列式计算出所要的价钱：
你给售货员的钱：
找回的钱：
然后，让学生带着这张购物卡，和家长一起去买一样东西，要求家长监督学生完成（家长不能代替学生完成），这样使得学生首先要考虑买什么，了解
该商品的单价；然后确定所买的数量；再用所学知识算出要付的钱······整个购物过程在巩固课堂知识的基础上培养了学生的独立操作能力。

让数学试题丰富多彩的研究
江夏中心校夏伦好
在课堂教学中，教师已经注意到了从多方面调动学生的多种感官参与学习，以提高学生的学习积极性和学习效率。

但同样作为教学活动的重要环节----
作业，教师却往往忽视指导学生充分运用多种感官，全方位、多角度地感知和认识事物，也很少想到鼓励学生以丰富多彩的形式展现其学习，思考的结果。

霍姆
林斯基认为：“所有智力方面的工作大都依赖于兴趣。

”教学的实践也证明：兴趣
是最好的老师，是学生学习的不竭动力。

每个成年人都有这样一种体会，做自己喜欢的事做起来会觉得轻松异常，做自己不喜欢的事，不愿意的事就举步艰难。

以往的机械重复的作业引不起学生的兴趣，那么我们数学作业的设计首先要从学生兴趣出发，针对学生的教学实践，寻求作业创新，设计形式多样的作业，这样学生做起来才会乐此不疲。

如在教学“长方体和正方体的认识”后，我布置了这样一个作业：
1、找一找：日常生活中，有哪些物体的形状是长方体或正方体？
2、做一做：利用我们身边的东西，做一个长方体和正方体。

3、涂一涂：在它们的外表上涂上不同的颜色。

4、说一说：向家长或同学说一说它们的特征。

这样，通过自己的找、做、涂、说，对长方体和正方体的面、棱、顶点以及表面有了深刻的认识，丰富了学生的生活体验，加强了学生的动手实践，提高了学生口头语言和书面语言的表达能力，使学生的素质得到更全面的锻炼和发展。

自主开放——让学生学会创新研究
江夏中心校汪亭翠
课程目标必须面向全体学生，力争使每一个学生的数学素养都得到发展。

正如加德纳所说“教育应该在全面开发每个人大脑里的各种智能的基础上，为学生
创造多种多样的展现各种智能的情景，给每个人以多样化的选择，使其扬长避短，从而激发每个人潜在的智能，充分发展每个人的个性。

”现实生活的问题往往存
在于比较复杂的，信息不完备的现实情境之中，它的解决不仅需要学生具有发现问题，分析问题的能力，而且需要学生具有发散性的思维和创新的能力。

因而我们的教学要坚持以学生为本，充分尊重学生的兴趣爱好，把学生置于一个动态、开放的学习环境中，为学生提供多元、综合学习的机会，让学生在无拘无束的环境中，学得主动，学得积极，给学生一些权利，还学生一些自由，让学生自由起来，快乐起来。

使每位学生都成为学习的主人，体现自主开放的学习过程。

如在复习了“简单统计”后，我让学生根据本节的知识点和自己的实际情况，设计一道练习题，结果有同学设计了这样一道题：
下面是本学期某同学的数学成绩与本班数学平均成绩的统计表
单元
一二三四五
成绩
平均成绩91 85 94 92 86
83 90 89 94 86
××同学
（1）完成统计表。

（2）想一想可以用哪些统计图来分析比较上面这些数据？
（3）你是怎样设计统计图的？
（4）从统计图反映的情况来看，你对你自己这几次的数学成绩有什么评价，你进步了吗？你有什么想法要与同学说？
又如学习了“百分数应用题”后，可设计这样的题目：一个家庭去某地旅游，甲旅行社的收费标准是：如果买3张全票，则其余人按半价优惠；乙旅行社的收费标准是：家庭旅游算团体票，按原价的80%优惠，这两家旅行社的原价均为每人1000元。

（1）如果你家去，你准备选择哪家旅行社呢？
（2）看到这些信息后，你对其他家庭去旅游有什么建议呢？
通过这样的自主开放性试题，学生不仅对所学的知识进行了巩固，而且对知识进行了系统的整理和自主建构，使自己的数学能力得到了进一步升华。

肥西县江夏店学区中心学校
拓展性开放性试题研究
数学
（2011-----2012学年度第二学期）
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教改激发教学活力
教研锤炼教师素质
江夏店学区中心学校制
江夏中心校（本部）数学教学调查报告
教导处
一、目前现状
在对我们学校高段数学教学的调查中了解到，目前多数教师比较重视课堂教学的改革与创新，却对如何设计有效试题来提高学生的学习能力和提高学习成绩不是很重视。

老师设计的试题存在以下几个问题：
l.习题形式单调、重复。

主要以计算题和应用题为主，不能从多方面检查和
训练学生对知识的理解和掌握。

另外，这种习题的条件和结论多是单一的、不变的，即所谓封闭的、规范的习题，缺乏开放性，不利于能力的培养，更谈不上探究能力和创新意识的培养。

2.习题中缺乏应用。

缺乏与实际问题或其他学科的联系，习题基本上是纯粹
的数学题，而所谓的应用题也只不过是通过机械地辨别，模仿即可套用公式或相关的数学模型加以解决，不是真正意义上的应用题。

学生看不到数学问题的实际背景，也不会通过数学化的手段解决实际问题，这对学生建立积极的、健康的数学观，掌握数学建模方法是极为不利的。

3.习题布置实行一刀切，好、中、差的学生布置一样的作业，长此以往的话，
就会造成优生吃不饱、快不了，学困生吃不下、跟不上的现象，学生对完成作业提不起兴趣，失去了布置作业的意义。

二、分析现状
为什么教师设计的作业形式单一、重复，学生提不起兴趣呢？我想主要原因是老师在思想上没有引起足够的重视。

1.大多数教师仍然本着“熟能生巧”的思想布置一些形式单一、陈旧、缺乏应用意识的计算和应用题。

教师没有深刻认识到设计有效作业的重要性。

2.有的教师虽然认识到了设计有效作业的重要性，但在具体操作中比较繁琐，没有找到行之有效的好办法，所以也只能中途作罢。

3.由于农村所处环境不同，大部分家长打工，有些家长没时间配合老师与孩子一起做一些实践性的作业，所以也不了了之。

三、解决现状
现在我们提倡轻负高效，要确实减轻学生的课业负担，设计能提高学生学习兴趣、提高学习能力的作业是减轻学生课业负担的一个重要方面。

基础性的存在并不是否定试题设计的价值，也并不意味着就可以“照搬”、“重复”。

学生没有一定的计算基础，没有一定的思维基础，要想运用数学知识解决
问题，也必将阻碍重重。

要练计算，最好天天练；要说解题思路，最好天天说。

可是，怎样天天练计算，天天说思路，又不至于使学生觉得枯燥、厌烦而且能提高学生的学习兴趣呢？
关于口算练习的设计研究
江夏中心校王远梅
1.每天由一个学生出题，写在表中，并作出标准答案。

（按照学习小组的座次轮流进行。

）
2.出示方式：小黑板出示。

3.出题要求：难易适中，有计算价值，可以融入最近刚学的内容。

4.批改方式：出题人所属的学习小组成员共同批改，并统计成绩，填入表格。

5.订正方式：去组长那里说口算思路。

错误特别多的教师面批并补充相应练习。

6.时间：出题人晚上出题，第二天上午拿给老师看并修改。

修改好后到办公室写在小黑板上。

每天上数学课之前将小黑板拿到教室，开始练习。

7.注意：老师要做出题指导，使口算练习具有有效性。

同样是口算练习，但如果总是有老师出学生做的话学生会烦、会当成是一项任务，积极性不高，但是让学生自己出题并作出标准答案，学生对自己已经学过的计算有个回顾的过程。

把出题的权利给学生，学生一定会搜肠刮肚，设计出自己觉得难易适当又巧妙的题目。

在这样出题的过程中，学生一定会有所收获，计
算能力也会有所提高。

同时，教师对全班学生的口算能力也有了一个全面的了解，并对计算能力较差的同学进行了补习。

关于数学思维能力训练的试题研究
江夏中心校夏伦好
常年的高段数学教学让我发现，一堂新授课后，学生往往停留在模仿的阶段，虽然能做对，但是题型变化后，就不能正确理解了。

有时我还开玩笑说你妈妈换了一件衣服你就不认识了吗？所以，要求学生说出自己解题的思路显得尤为重要。

新授课后，我往往会布置学生互相说说解答例题的思路，为了引导学生重视思维训练，我还设计了记载《班级小日记》的方法。

也就是全班学生轮流记数学小日记，每天一个人值日，可以记自己的小发现，也可以记最近数学学习中的体会。

要求是第二天早上交给老师看并修改，然后利用中午的时间读给全班学生听、评析。

下面是我们班学生的一篇数学小日记：
同学们，你们能根据很快算出正方形中最大的圆的面积吗？我一开始是利用正方形的边长就是圆的直径，然后利用圆的面积公式求圆的面积，如在边长是1厘米的正方形里画一个最大的圆，圆的面积是3.14×0.5×0.5=0.785平方厘米。

可老师说，这里面有个有趣的规律能让我们快速计算出结果。

我左思右想，也没有什么发现，只好求助于老师。

老师问：你看一下圆的面积和正方形的面积比是否固定，我算了一下，发现圆的面积和正方形的面积比始终是157:200。

原来如此！我顿时明白了。

我又试着举了几个例子：哈，真的是对的呢！真有趣！以后我们求正方形中最大的圆的面积可以直接用正方形的面积×157/200就可以求出圆的面积了。