概率论及统计学的重要公式和解题思路

概率论及统计学的重要公式和解题思路

一、基本概率公式及分布

1、概率常用公式：

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ;P(A-B)=P(A)-P(AB) ;

A )=1-P(A) ; 独立，则P(AB)=P(A)P(B) ; P(如A、

B P(AB); ：P(A|B)=发生的概率==条件概率 B发生的前提下A P(B)

P(AB)=P(A|B)*P(B) ;

：或记

、随机变量分布律、分布函数、概率密度2分布律：的概率为：离散型X的取值是x(k=1,2,3...), 事件X=x k k的分布律；}=PP{X=x, k=1,2,3...; --- 既 X kk

xn .... X X1 X2

pn

P1

...

Pk

P2

X的分布律也可以是上面的表格形式，二者都可以。

分布函数：

F(x)=P(X≤x), -∞

P(x1

∑p ;(把X

x}=kx

二、常用概率分布：k次，发生p,二项分布：事件发生的概率为重复实验n①离散：B(n,p)

,记为次的概率（如打靶、投篮等）nn?kk p)(1?)p E(X)=np, ，P{X=k}=(k=0,1,2,...n; k D(X)=np(1-p);

) (λ②离散：泊松分布：X～Π?λk eλ ;

λP{X=k}= ,k=0,1,2,...; E(X)=λ, D(X)=k!U(a,b), ～(a,b)上均匀分布，X③连续型：均匀分布：X在1??<

x x?ax????<,a<)({x=dx分布函数F(x)=f∫b?a?∞b≥

x1,?x1??

0>x,{F(x)=0．

2),most importment! σ～N(μ,⑤连续型：正态分布：X密度

函数 f(x),表达式不用记！一定要记住对称轴x=μ, E(X)=

μ,22=1时，N(0,1)称标准正态，图形为：σ当μ=0，方差D(X)=σ;

～X,x)围成的面积。当为密度函数F(x)f(x)从(-∞分布函数；Φ(a)(x)(换个叫法）, 由对称性有Φ(-a)=1-N(0,1)，F(x)=Φ

2N(0,1); 求概率的题，一定要变成标准正态),σN(μ,看到X～X?μ X?μ N(0,1)；～；则变成既把Xσσ2P(-1

P(222X?1 (1)-1;查表(1)-[1-Φ(1)]=2Φ(1)-

<1)= ΦΦ(-1)= Φ222也是Z=aX+bY)σ2，Y～N(μ2,；则)σ1μ1,X正态性质：如～N(2； 2+b1=az; μμμ,)其中

z=a1+b2 σ22σ22σ2σz N(～正态；Zμz,

三、二维随机变量：

离散型：（X,Y)可能取值(xi,yj)(i,j=1,2,...).

联合分布律：P{X=xi,Y=yj)=pij, (i,j=1,2,3,..)

联合分布律的表格形式:

边缘分布：同样计算 ; P(X=2)，P(X=3)横排相加）

P(X=1)=P11+P12+P13( 类似计算；; P(Y=1)=P11+P21+P31（竖排相加）P(Y=2) ，P(Y=3)条件概率：P1JP{Y=yj,X=X1} ;

YX=X1条件下的分布律： =P{Y=yj|X=x1}=

P{X=X1)P{X=X1)P12P11P{Y=y2|X=x1}=P{Y=y1|X=x1}= ; ;

P{X=X1)P{X=X1)P13 P{Y=y3|X=x1}=P{X=X1)．

连续型：设f(x,y)是联合概率密度；（注意x,y常常有取值范围D的）xy)()=1 . ∞ ; F(F(x,y)=P(X1)类，先画出x=y,x+y=1的图，确定积分上下限，并求积分；

∞))((dx;xx,zz=f?∫ 3、求Z=X+Y的分布：密度公式f x+y?∞四、数学期望、方差D(X) :

方差 E(X), 数学期望nn∑∑ ; pi g(xi)?xi?pi; E(g(X))=离散：E(X)=i=1i=1∞∞)(() E(g(X))=g(x)f 连续：

E(X)=xfdx;xxdx;∫∫?∞?∞性质：E(C)=C,

E(CX)=CE(X);E(X+Y)=E(X)+E(Y)

如X,Y独立，则E(XY)=E(X)*E(Y)；

D(X)=E(X2)?E2(X); D(C)=0， D(CX)=C2X

()+D(Y)D X=X,Y如独立，D(X±Y)五、样本及抽样分布

的布分同立独的2σ,D(X)=μE(X)=：理定限极心中