工程数学2010-CH09-本征函数法

代入初始条件得 1 π φ ( x) = u ( x, t ) |t =0 = ∑ Cn sin n + x. 2 l n =0 利用傅立叶系数公式得
(3)
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弦振动方程解的物理意义
对n = 1, 2,... nπ a nπ a nπ un ( x, t ) = Cn cos t + Dn sin t sin x l l l nπ nπ a = An cos t − δ n sin x l l 其中 Cn = An cos δ n , Dn = An sin δ n , An = ( C + D
2
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解方程 λ = λ0 = 0时,
2
T '(t ) + a 2 λT (t ) = 0 T0 (t ) = C0
nπ λ = λn = , n = 1, 2,... 时, l Tn (t ) = Cn e 因此
函数分离 方程分离 或
u ( x, t ) = X ( x)T (t ) T '(t ) X "( x) = = −λ 2 a T (t ) X ( x) X (0) = 0, X '(l ) = 0
X "( x) + λ X ( x ) = 0, T '(t ) + a 2λT (t ) = 0
边界条件分离
n =1 ∞ anπ − t l
2
nπ cos x l
其中 1 C0 = ∫ φ (ξ )dξ , l0
l
2 nπ Cn = ∫ φ (ξ ) cos ξ d ξ . l 0 l
l
当t → ∞, u ( x, t ) → C0 .
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一个偏微分方程化为两个常微分方程.边界条件为 X (0)T (t ) = 0 X (0) = 0 即 X (l )T (t ) = 0 X (l ) = 0 X ( x)T (0) = φ ( x) 初值条件为 X ( x)T ′(0) = ψ ( x)
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§ 9.1 分离变量法
弦振动方程的第一类边值问题
考虑一根长为l , 两端固定的弦,弦的横振动方程为
2 ∂ 2 u ( x, t ) 2 ∂ u ( x, t ) =a 2 ∂t ∂x 2 utt ( x, t ) = a 2u xx ( x, t ),
2
1π λ = λn = n + , n = 1, 2,... 时, Tn (t ) = Cn e 2 l 因此 u ( x, t ) = ∑ Cn e
n=0 ∞ 1 π a − n + t 2 l
2
.
1 π sin n + x 2 l
2 n 2 1/ 2 n
)
, δ n = arc cot ( Cn / Dn ) .
每个un ( x, t )对应于一种驻波.
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§ 9.2 有界杆的导热问题
第二类边值问题
2 ∂u ( x, t ) 2 ∂ u ( x, t ) , 0< x<l ∂t = a 2 ∂x ∂u ( x, t ) ∂u ( x, t ) 定解问题 = 0, = 0, 0 ≤ t ∂x x =l ∂x x = 0 u ( x, t ) |t = 0 = φ ( x), 0 ≤ x ≤ l
∞
1 C0 = ∫ φ (ξ )dξ , l0
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l
2 nπ Cn = ∫ φ (ξ ) cos ξ d ξ . l 0 l
l
解的物理意义
温度分布 u ( x, t ) = C0 + ∑ Cn e
(1)
它可以写为
其中a = FT / ρ 0 , FT 为弦的张力, ρ 0为单位长度弦的质量. u ( x , t ) x = 0 = 0 边界条件 u ( x, t ) x = l = 0 t≥0 (2)
u ( x, t ) t = 0 = φ ( x ) 初始条件 ∂u ( x, t ) 0≤ x≤l = ψ ( x) ∂t t =0 速度.
第九章
9.1 分离变量法
本征函数法
9.2 有界杆的导热问题 9.3 齐次边界条件和延拓 9.4 含非齐次边界条件的定解问题 9.5 按本征函数系展开方法解数理方程 9.6 正交曲线坐标系中的度规系数和拉普拉斯算符* 9.7 亥姆霍兹方程的分离变量 9.8 斯特姆－刘维尔本征问题* 9.9 园形域中的调和函数* 9.10 小结
(4a) (5a )
解本征值问题
由齐次方程 和齐次边界条件 X ′′( x) + λ X ( x) = 0 X (0) = X (l ) = 0 (4) (4a )
构成的问题称为本征值问题. 使本征值问题有非平庸解 (非恒零解)的λ 值称为方程(4)在齐次边界条件(4a)下 的本征值,对应的非平庸解称为本征函数. (i ) 如果λ = 0, 方程(4)的通解为 X ( x) = A + Bx 由(4a )得, A = B = 0, 或 X ( x) = 0. 即λ = 0不是这一问题的 本征值. (ii)如果λ ≠ 0, 方程(4)的通解为 X ( x) = A cos λ x + B sin λ x 由(4a )得 A = 0, B sin λ l = 0. 因此 λ l = ± nπ , n = 1, 2,... nπ nπ X x x. 本征值 λn = , 本征函数 ( ) = sin n l l
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(3)
其中φ ( x)和ψ ( x)是已知函数,分别代表初始位移和初始
分离变量
考虑特解 u ( x, t ) = X ( x)T (t ) 代入方程(1)得
2 d 2T d X 2 ′′ = X 2 = a2 T 或者 写为 XT a X ′′T 2 dt dx X ′′ T ′′ = 2 移项 X aT 左边只是x的函数, 右边只是t的函数,因此可以令 X ′′ T ′′ = 2 = −λ X aT (4) X ′′( x) + λ X ( x) = 0 因此得到 2 (5) T ′′(t ) + a λT (t ) = 0
− a 2 λn t ∞
= Cn e
anπ − t l
2
2
u ( x, t ) = C0 + ∑ Cn e
n =1
anπ − t l
cos
nπ x l
代入初始条件得 nπ x. φ ( x ) = u ( x, t ) |t =0 = C0 + ∑ Cn cos l n =1 利用傅立叶系数公式得
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求解本征问题
方程 边界条件 X "( x) + λ X ( x) = 0 X '(0) = X '(l ) = 0
λ = 0时，方程的通解 X ( x) = A + Bx 满足边界条件的解 X 0 ( x) = A0 λ ≠ 0时，方程的通解 X ( x) = A cos λ x + B sin λ x 满足边界条件的本征函数 nπ X n ( x) = An cos x, n = 1, 2,... l 对应的本征值 nπ λn = . l
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2
满足边界条件的u(x,t)的一般解
将λ = λn 代入方程(5) T ′′(t ) + a 2λnT (t ) = 0 其通解为 Tn (t ) = Cn cos λn at + Dn sin λn at nπ a nπ a = Cn cos t + Dn sin t l l 因此, 满足边界条件的特解 un ( x, t ) = X n ( x)Tn (t ) nπ a nπ a x Cn cos t + Dn sin t , n = 1, 2, ... l l 满足边界条件的一般特解可以写为 u ( x, t ) = ∑ un ( x, t ) = ∑ sin
函数分离 方程分离 或
u ( x, t ) = X ( x)T (t ) T '(t ) X "( x) = = −λ 2 a T (t ) X ( x) X '(0) = X '( L) = 0
X "( x) + λ X ( x ) = 0, T '(t ) + a 2λT (t ) = 0
边界条件分离
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求解本征问题
方程 边界条件 X "( x) + λ X ( x) = 0 X (0) = 0, X '(l ) = 0 的解 X 0 ( x) = 0, λ = 0不是方程的本征值. λ ≠ 0时，方程的通解 X ( x) = A cos λ x + B sin λ x 满足边界条件的本征函数 X ′( x) x =l = B λ cos λ l = 0 1 1 π 本征值 λn l = n + π , λn = n + , n = 1, 2,.... 2 2 l 1 π 对应的本征函数 X n ( x ) = sin n + x 2 l
n =1 n =1
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nπ = sin l
∞
∞
nπ l
nπ a nπ a x Cn cos t + Dn sin t l l
弦振动方程的解
u ( x, t ) t = 0 = φ ( x ) 0≤ x≤l 应用初始条件 ∂u ( x, t ) = ψ ( x) ∂t t =0
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λ = 0时，方程的通解 X ( x) = A + Bx, 满足边界条件
2
解方程
T '(t ) + a 2 λT (t ) = 0
2 1 π a − n + t 2 l
∞ nπ ( ) sin x C x = φ ∑ n l n =1 得 ∞ ψ ( x) = D nπ a sin nπ x ∑ n l l n 1 = 应用傅立叶系数公式得 l 2 nπ ( ) sin C = φ ξ ξ dξ n ∫ l 0 l l 2 nπ D = ψ (ξ ) sin ξ dξ n nπ a ∫ l 0
第三类边值问题
2 ∂u ( x, t ) u ( x, t ) ∂ 2 , 0< x<l ∂t = a 2 ∂x ∂u ( x, t ) 定解问题 u ( x, t ) x =0 = 0, = 0, 0 ≤ t ∂x x =l u ( x, t ) |t = 0 = φ ( x ), 0 ≤ x ≤ l