数值分析第五章矩阵分析基础1解析

为Householder矩阵，或称Householder变换、反射矩阵。
要得到Householder矩阵，只要在初等矩阵 Ε(u,v; )中， 取向量 u v ， 2即可。
定理5.2.2 Householder矩阵 H 具有以下性质：
(1) 矩阵 H是对称阵，即 ΗT Η； (2) 矩阵 H是正交矩阵，即 ΗT Η Ι; (3) H变换保持向量长度不变，即对任意向量
问，他的研究兴趣转向数值计算，不久，他又转移到位于Oak Ridge，Ten nessee 的著名的国家实验室，从事与原子能和武器有关的并行计算的研究。 他于1954～1956年间出任ACM的主席，1963—1964年又出任工业与应用 数学学会SIAM的主席。豪斯霍德1969年获Harry Goode奖，他是美国艺术 和科学院院士。1980 年获得计算机先驱奖。
对矩阵 A 的任意一个算子范数 有
(1) cond (A) A1 A A1 A I 1
(2) cond ( kA )= cond ( A ) , k 为非零常数;
(3)若 A 1， 则
cond(A) A1
注: cond (A) 与 所取的范数有关
常用条件数有：
cond (A)1 =‖A‖1 ‖ A1‖1 cond (A) =‖A‖ ‖A1‖
注：（1） || A||F tr(AT A)
（2） 矩阵的Frobenius范数不是算子范数。
3．矩阵的范数与特征值之间的关系
定义4：矩阵A 的诸特征值的最大绝对值称为A的谱半径，
记为：
( A)

max
1in
i
定理5：矩阵A 的谱半径不超过A的任一相容矩阵范数，即
(A) A
并且如果A为对称矩阵，则
且至少有一个不等式严格成立，则称矩阵A为弱对角占优阵，
若
n
aii aij , (i 1, 2, , n)
j 1
ji
对所有不等式严格成立，则称矩阵A为严格对角占优阵。
定理5.2.5 （对角优势定理） 若矩阵 A 为严格对角占优阵，
或者为不可约且弱对角占优阵，则
det(A) 0
历史与注记
cond (A)2 max ( AT A) / min ( AT A)
特别地，若 A 对称，则
cond
( A)2

max | i | min | i |
§ 5.2 初等矩阵
初等矩阵对线性方程组的研究起着重要的作用，本节介绍 一般形式的初等矩阵，它是矩阵计算的基本工具。 5.2.1 初等矩阵
则称‖A‖为矩阵A的范数。
定义4 （矩阵的算子范数）
设x Rn , A Rnn , x 是向量范数(v=1,2,或), v
称矩阵的非负函数
A
Ax sup v sup Ay
= max Ay
v
x x
v
y v 1
v
y v 1
v
为矩阵A的算子范数.
由算子范数的定义，可由向量范数诱导出矩阵范数：
|| A ||1,|| B ||1,|| AB || 2
从而 || AB |||| A || || B ||
定理4：设n 阶方阵A = (aij)nn，则
（Ⅰ）与 x 1 相容的矩阵范数是
n
A 1

max j
i 1
aij
（Ⅱ）与 x 2 相容的矩阵范数是
A 2
1
其中1为矩阵ATA的最大特征值。
常数 C1、C2 > 0 使得
, 则称
‖·‖A 和‖·‖B 等价。
定理1：定义在Rn上的向量范数 X 是变量X分量的 一致连续函数。 X f (X )
定理2：在Rn上定义的任一向量范数 X 都与范数 X 等价， 1 即存在正数 M 与 m ( M>m ) 对一切XRn，不等式
mX X M X
定义6 设向量 u, v Rn , R ，则形如
E(u, v; ) I uvT
的矩阵叫做实初等矩阵，其中I 是n 阶单位矩阵，
5.2.2 初等下三角矩阵
定义7 令向量 u li (0, ,0,li1,i , ,lni )T，向量 v ei 1
则称矩阵
1
如果次对角线元素hi,i1(i 2,3, , n)全不为零，则称该矩阵为 不可约的上Hessenberg阵。
定理5.2.4 对任意矩阵A Rnn，总存在正交阵Q使得 Q1AQ
为上Hessenberg阵。 5.2.6 对角占优阵
定义11 设矩阵 A Rnn，若存在一个排列阵P，使得
v
v
且满足 Ax A x
v
vv
矩阵范数与向量范
数的相容性
例5: 设A＝(aij)∈M. 定义
||
A ||
1 n2
n
| aij
i , j 1
|
证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数.
证明：设
1 A 1
1 1 1, B 1
1 1
2 2
AB


2
2
第五章
矩阵分析基础
§5.1 向量和矩阵的范数
1．向量范数
定义1：设X R n，Ｘ 表示定义在Rn上的一个实值函数，
称之为X的范数，它具有下列性质：
(1) 非负性：即对一切X R n，X 0, Ｘ >0 (2) 齐次性：即对任何实数a R，X R n，
aX a X
x 1
x 1
x 1
A B.
三角不等式
3）对任意n维非零向量x,
有 Ax A 即 Ax A x . x
故有 AB max ( AB)x max A(Bx)
x 1
x 1
定理
max A Bx max A B x
x 1
x 1
A B
相容性
设 是Rn中的向量范数，则 A 为Rnn上的矩阵范数
lim
k
Ak

A
定理6 设B∈Rn×n，则由B的各幂次得到的 矩阵序列Bk, k=0,1,2…)收敛于零矩阵 （ lim Bk 0 ）的充要条件
k
为 (B) 1 。
4. 矩阵的条件数
定义5 设矩阵 A 为非奇异矩阵，则称
cond(A) A1 A
为矩阵A的条件数，其中 是矩阵的算子范数。
PT
AP


A11 0
A12
A22

其中A11 Rrr , A22 R(nr)(nr) , 1 r n 1 ，则称矩阵 A 是可约的，
否则称矩阵 A 是不可约的。
定义12 设矩阵 A Rnn ，若
n
aii aij , (i 1, 2, , n) j 1 ji
(4) Li 左乘矩阵A的结果是从 A的各行中减去第i行乘一个因子。
初等下三角阵在矩阵的满秩分解、三角分解以及解线 性代数方程组的直接解法中起着重要的作用。
5.2.3 Householder矩阵
定义8
设向量 Rn，且
1 ，称形如 2
Η() Ε(,; 2) Ι 2T
5.2.5 Hessenberg矩阵
定义10 若实矩阵 A Rnn 的次对角线以下元素均为零，即
i j 1 时，aij 0 ，称形如
h11 h12

h21
h22
h1n1 h2n1
h1n
h2n

H
h32 h33
h3n




hnn1 hnn
的矩阵 H 为上Hessenberg（海森伯格）阵，或拟上三角阵。
若对任何i (i = 1, 2,…, n )都有
lim
k
xi(
k
)

xi*
则向量 X * (x1* , , xn* )T 称为向量序列{ X k }的极限，或者说向量序列{ X k }
依坐标收敛于向量 X *，记为
lim
k
X
k

X*
定理3：向量序列{Xk}依坐标收敛于X*的充要条件是
（3）三角不等式：即对任意两个向量X、Y R n，恒有 X Y X Y
三个常用的向量范数： 设X = (x1, x2,…, xn)T，则有
（1） X 1 x1 x2 xn
（2） （3）
X 2
XTX
x12 x22 xn2
X


max
1in
xi
范数等价: 设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在
cos
j

1




1
i
j
称为Givens旋转矩阵，或称Givens变换， 为旋转角。
J(i, j, ) 是一个正交矩阵，对任意向量x Rn，由线性变换 y Jx y1, y2, , yn T 其中，yk xk , k i, j，可得
yi xi cos x j sin x j sin， x j cos
1
1
成立。
推论：Rn上定义的任何两个范数都是等价的。
对常用范数，容易验证下列不等式：
1
X X X
n1

1
X X n X

1

X X nX

2

定义2：设给定Rn中的向量序列{ X k }，即 X0, X1, Xk ,
其中 X k x1(k) , x2(k) , , xn(k) T
阿尔斯通·豪斯霍德(Alston Scott Householder，1904–1993 )Householder 1904 年生于美国伊利诺州的洛克福特。1937 年取得了芝加哥大学博士学位之后他获得洛克菲勒基金会的 资助，在芝加哥大学从事研究， 1944年被提升为数学和生物 物理学的副教授。二战后他为美国海军研究实验室作数学顾
（Ⅲ）与 x 相容的矩阵范数是
n
A
max i
aij
j 1
上述三种范数分别称为矩阵的1-范数、2-范数和∞-范数。
Frobenius范数: || A ||F
nn
| aij |2 (向量|| ·||2的直接推广)
i1 j1
可以证明, 对方阵A Rnn 和 xRn ，有 || Ax ||2|| A ||F || x ||2
1）显然 A 0.若A 0,则 A max Ax 0. x 1 反之，若 A 0 Ax 0 Ax
A 0.
正定性
2 ）对任意两个n阶方阵A和B，
A B max (A B)x max Ax Bx
x 1
x 1Biblioteka Baidu
max( Ax Bx ) max Ax max Bx





Li Li (li ) E(li , ei ;1) I lieiT

1 li1,i 1



为初等下三角阵。

lni
1
定理5.2.1 初等下三角阵 Li具有如下性质： (1) Li1(li ) Li (li ), Li 1 ；
max
1in
i

A (谱范数） 2
注:Rn×n中的任意两个矩阵范数也是等价的。
定义5： 设|| ·||为Rn×n上的矩阵范数，A,B∈Rn×n 称 ||A-B||为A与B之间的距离。
定义6：设给定Rn×n中的矩阵序列{ Ak }，若
lim
k
Ak A
0
则称矩阵序列{ Ak }收敛于矩阵A，记为
v Rn，Hv 2 v 2 ;
(4) 设S 为以 u 为法向量过原点的超平面，对任意的非零 向量 v Rn，有 Hv 与v 关于超平面S 对称。
定理5.2.3 对任意的非零向量 v Rn，可以适当选择合适的
向量u Rn，满足 u 2 1，用其构造的H矩阵可将v
变换为单位向量 e 1,0, ,0T Rn 的常数倍，使得
lim
k
Xk

X*
0
向量序列依范数收敛与依坐标收敛是等价的。
2、矩阵范数
定义3
设对任意矩阵 A∈Rn×m，按一定的规则有一实数 与之对应，记为‖A‖，若‖A‖满足
1) A 0;当且仅当A 0时才有 A 0；(正定性)
2) cA | c | A ,c R;(齐次性) 3) A B A B ,(三角不等式) 4) AB A B , (相容性)
Hv ce
其中， c 是实数，并且 | c | vTv
5.2.4 Givens旋转矩阵
定义9 将 n 阶单位阵 In 改变第 i, j 行和第 i, j 列的四个
元素得到矩阵
1






1


cos
sin

i

1



J(i, j, )


1


sin
1

(2) L L1(l1)L2 (l2 )
Ln1
(ln1
)


l21
1


ln1
ln2
1

为单位下三角阵 ；
(3) 任何一个单位下三角阵 L Rn都可分裂成
L I l1e1T l2e2T ln1enT1
因此，对任一非奇异下三角阵 L，都可分裂成一个非奇异 对角阵和若干个下三角阵的乘积。