浅谈数学教学中的发散思维

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浅谈数学教学中的发散思维
题纲:
1、发散思维是一种创造性思维,逆向思维是发散性思维的一种重要形式;侧向思维是发散性思维的另一种形式;多向思维是发散的典型形式。

2、发散思维的展开方式有两种:一种穷举式发散;另一种是演绎式发散。

3、发散思维富于联想、思维宽阔、善于分解、组合、引申、推广,灵活采用各种变通方法等,它具有三个特性:流通性、变通性、独创性。

摘要:发散性思维是指在思维过程中信息向各种可能的方向扩散,不局限于既定的模式,从不同的角度寻找解决问题的各种途径,具体地说,就是依据定理、公式和已知条件,产生多想法,广开思路,提出新的设想,发现新的解决问题。

发散性思维富于联想,思路宽阔,善于分解、组合、引申、推广,灵活采用各种变通方法。

把发散思维运用数学教学中,能使学生在亲身的探索中掌握数学知识间的内在关系,理解所学知识,在发展学生智能上起到潜移默化的作用。

关键词:数学教学发散思维
素质教育的核心内容是创新,创新是一个进步民族的灵魂,是国家兴旺发达的不竭动力,因此,培养学生的创新思维,提高学生的创新思维能力,这是现代教育的重要内容之一,也是当今教育所要研究的重要课题,它与发散思维、直觉思维等形式密切相关,十多种思维的有机结合。

发散性思维是指在思维过程中信息向各种可能的方向扩散,不局限于既定的模式,从不同的角度寻找解决问题的各种途径,具体地说,就是依据定理、公式和已知条件,产生多想法,广开思路,提出新的设想,发现新的解决问题。

发散性思维富于联想,思路宽阔,善于分解、组合、引申、推广,灵活采用各种变通方法。

把发散思维运用数学教学中,能使学生在亲身的探索中掌握数学知识间的内在关系,理解所学知识,在发展学生智能上起到潜移默化的作用。

一、发散思维的形式
1、逆向思维是发散思维的一种重要形式,它是从已有的习
惯思路的反方向思考和分析问题,表现为逆用定义、定理、公式、法则,逆向进行推理,反向进行证明,从反向形成新结论,逆向思维是摆脱思维定势,突破旧有思想框架,产生新思想,发现新知识逆向思维的训练能使学生不受思维习惯的约束,从而可以提高他们从反向考虑问题的自觉性。

2、侧向思维是发散思维的另一种形式,它是从知识之间的横向相似联系出发,即从数学不同分支出发考察对象,或者用不同的学科知识去模拟、仿造分析问题的思维方式。

侧向思维利用了事物之间的相似性,它要求不同分支或不同学科的知识与方法交叉起来,用其他领域的知识与方法来解决本领域中问题。

因此,在数学教学中,要引导学生加强和知识间的横向联系,重视侧向思维的训练,提高学生的创造能力。

3、多向思维是发散思维的典型形式。

它是从尽可能多的方面来考察同一个问题,使思维不局限于一种模式或一个方面,从而获得多种解答或多种结果的思维形式。

多向思维在解决数学问题时有三种具体形式,即“一题多解”、“一题多变”、“一法多用”。

因此,在数学教学中,要让学生对同一数学问题的角度去观察、去思考、取得、分析、以寻求不同的解决问题的方法进行“一题多解”。

也可以让学生对数学问题通过改变条件或改变结论,进行“一题多变”,使学生广泛联想和类比。

从而培养学生思维的灵活性和变通性。

同时可指导学生“一法多用”。

便学生在学习中能举一反三、触类、旁通。

二、发散思维的方式
根据个人的教学实践体会,发散思维的展开方式可以有两种:一种是穷举式发散,就是有同一来源的信息,并列地展开可能出现的各种输出的联想思维。

他的思维具有联想的自由性,起其作用在于对数学概念思维的横向拓广。

例平方差公式的复习
在复习平方差公式的过程中,可以根据不同的学习阶段应用运算定律、换元思想展开发散思维。

平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2
应用交换律:(b+a)(-b+a)= a2-b2
……
符号变化:(a-b)(-b+a)= a2-b2
系数变化:(3a-3b)(3a+3b)=(2 a)2 -(3 b)2
三种形式结合变化,又可以得到许多许多形式。

其次,利用换元思想进一步加强对公式的理解。

即公式中的a、b可以是有理0式、无理式、指数式、对数是或三角函数式等。

指数形式:(5a2+3b-2)(5a2-3b-2)=(5a2)2+(3b-2)2
项数形式:(a+b-c)(a+b+c)=(a-b)2+c2
其它如:(2
3a
+
3
4a
)(
2
3a
-
3
4b
)=(
2
3a
)2-(
3
4b
)2
(x+1 +x )(x+1 -x )=(x+1 )2-(x )2=1 对平方差公式所展开的发展思维,不仅使学生对公示式本质
的认识,而且促进他们对分母有理化,三角函数、复数等运算的掌握。

另一种是演绎式发散,就是由同一来源的信息,根据各种推理的心然性展开演绎思维,其作用在于对数学概念思维的纵向深入。

例:分析“圆的切线长定律”的圆形性质,图形条件:PA·PB ⊙O于A·B。

依次推理回答以下问题,得出图形的性质(答题要有根据)。

(1)图中有几个直角三角形?
(2)指出相等的线段。

(3)指出全等的三角形。

(4)图中哪些角相等?
(5)判断图中相似的三角形?
(6)写出成比例的线段的二次等式。

(7)指出共圆的四点。

……
最后,教师根据学生的解答,概括该图形的性质,引导学生对概念思维的纵向深入。

三、发散思维的特性
发散思维具有三个特性:流畅性、变通性和独创性。

在数学教学中利用这三个特性,可以培养学生学习兴趣,提高解题能力。

1、利用流畅、速解基础题。

发散思维的流畅性,是指思维者心智活动畅通无阻,迅速灵活,善于联想,能在较短的时间内表达较多的概念和原理。

它是发散思维的基础,是发散思维量的标志。

在数学基础题的过程中,既要注横向联系,又要注意纵向联系,融会贯通,达到思维的流畅。

例:设x+y+z=3,求:
P=3(x-1)(y-1)(z-1)
(x-1)3+(y-1)3+(z-1)3
的值。

分析:分子是三个量的积,分母是三个量的立方和,联想一下以前学过的关系公式:
a2+b2+c2-3abc= (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)容易思考处出用代换的方法求解。

解:设x-1=a,y-1=b,z-1=c,则a+b+c=0于是有
a3+b3+c3-3abc =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= 0
∴a3+b3+c3=3abc,故P=1
这种解题的思维方法是一种关系联想,它根据数学知识之间的特殊关系、从属关系、一般关系,以及内在联系,巧妙地利用公式,一气呵成。

【3】
例2如图AB是⊙O的直径,AM=6,
于直径AB,E是CD延长线山的一点。

(1)求AF、AF的值。

(2)过点D作⊙O的切线交AE于G
长。

分析:①由已知条件、观察出AB 是直径,联想到:连BF 、有观察得:△ABF ∽△AEM
联想得到:AF ·AE=AM ·AB=48
②观察结论求DE 的长,联想到:求DG 、GE 。

又观察得:△ADG ≌△ADM=>DG=DM=2 3
联想得到:D G 2
= GF ·GA ,AF ·AE=48
综合有:GF=2 EG=6
求得DE=4 3
2、利用变通性、巧解思考题
发散思维的变通性,是指在思维过程中随机应变、触类旁通,不受消极定势的束缚,及时的转换思维方向。

在思考题的求解过程中利用变通性,往往可以另辟蹊径,独树一帜。

例:在△ABC 中,∠B=2∠A,求证: b 2= a 2+ac
证明:延长CD 到D ,使得BD=AB=C
∴∠D=∠BAD= 12
∠CBA ∵∠B=2∠A
∴∠BAC=∠D
△ ABC ∽△ADC
∴b 2= a 2+ac
若交换例题的条件和结论,则得到它的逆命题。

在△ABC 中,若 b 2= a 2+ac ;那么∠B=2∠A 。

通过对逆命题得考察,发觉为真命题,于是我们认识到,在
△ABC中,b2= a2+ac成立的充要条件是:∠B=2∠A,也可对其它进行推广到其它边角关系上。

3、利用独创性解数学题
利用发散思维的独创性,培养学生在思维活动中的创新精神
对数学题的求解有着重要的意义。

例1在△ABC中,AD是∠A的平分线。

求证:A D2=AB·AC-BD·CD
证明:作△ABC的外接圆过长AD交外圆于E,连接CE易证ABD∽△AEC
于是AB·AC=AD·AE
又根据交弦定理:
BD·CD=AD·DE
故AB·AC-BD·CD= AD·AE- AD·DE = AD(AE-DE)
即A D2=AB·AC-BD·CD
例2、已知a+b=3+ 3 ,b-c=3- 3 ,求a2+b2+c2+ab+ac-bc的值。

解析:已知条件中未知数、两个方程,不能解出a、b、c的值,所求式与完全平方差展开相连接近,所以可用配方法来解。

解:∵a+b=3+ 3 ,b-c=3- 3
∴a+c=(a+b)-(b-c)=2 3
∴原式=1
2
(2a2+2b2+2c2+2ab+2ac-2bc)
=1
2
〔(a+b)2+(a+c)2 +(b-c)2〕
=1
2
〔(3+ 3 )2+(2 3 )2 +(3- 3 )2〕
=18。

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