11-1 斜弯曲
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• • • • 3、理解斜弯曲概念； 4、掌握斜弯曲危险截面、危险点的位置确定，危险点的应力 状态分析 。 重点：斜弯曲应力状态分析。 难点：确定危险截面、危险点的位置，分析危险点的应力状 态。 学时安排：2学时
3
一、组合变形的概念 1、组合变形：
在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种 基本变形，当几种基本变形所对应的应力属 同一量级时，不能忽略，这类构件的变形称 为——组合变形。 F P P P F F F ＭTT Ｍ T
M
y max
pz l 7.76 4 7.76kNm 4 4
y
Mz y Iz
2）由My产生的应力分布
z
Mz
x
y
中性轴z
My Iy
z
My z
x My
16 中性轴 y
y Mz Mz x z My z
y
My
x
My Mz y z Iz Iy
3）两组应力叠加，如图示 危险点A、B Mz
y
A
Mz M y A Wz W y
中性轴是一条通过截面形心的 斜直线，它与Z轴的夹角为：
A
中性轴将截面分为受拉区和受压区两个部分。
y0 Iz tan tan z0 Iy
z
B
F
y
19
距中性轴最远的点就是应力的最大点，即危险点。 如上图，A点为拉应力的最大点，B点为压应力的最大点。
危险点的确定：对于具有凸角又有两条 对称轴的截面（矩形、工字形）最大拉 压应力在D1、D2 点。且σ+max=σ-max
max b , c
80kN 103 sin5 4m 4 70.758cm 10
3
2
3
80kN 103 cos5 4m 4 692.2cm 10
3
2
3
98.54 115.13 213.7MPa 160MPa
12
二、斜弯曲
§11.1斜弯曲
还有一种情形也会产生斜弯曲，这就是所有 外力都作用在对称面 ( 或主轴平面 ) 内，但不是同 一对称面 ( 梁的截面具有两个或两个以上对称轴 ) 或主轴平面内。
13
二、斜弯曲 （一）受力与变形特点：
1、P与截面的对称轴（z 或y）有一定的夹角 2、P不在对称面内 3、或P不在同一对称面内
Pz
x
z Py -Py l
Mz P y
Py P cos Pz P sin
2、内力分析----作内力图确 定危险截面 危险截面------固定端
x
-Pz l
My
x
15
M z Pl cos M y Pl sin
3、应力分布----作内力分布 图确定危险点 Mz 1）由Mz产生的正应力分布
32
例2、跨度L=4m的简支梁截面为32a工字 钢，中点受集中力P=30kN,它与对称轴成 15度角.若[σ ]=30MPa ,按正应力校核强 度，并计算跨中挠度。
z
y
解：1、作梁的弯矩图 2、求内力
Py P cos15 30cos15 29kN Pz P sin15 30sin15 7.76kN
y0 Iz tg tg z0 Iy
上式表明：①当力F通过第一、二象限时，中性 轴通过第三、四象限；②中性轴与力的作用线 并不垂直，这正是斜弯曲的特点，除非Iz=Iy， 即截面的两个形心主轴的惯性矩相等，例如截 面为正多边形的情形，此时中性轴才与力的作 用线垂直，而此时不论φ角是多少，梁总发生 平面弯曲，对于圆形、正方形、正三角形或正 多边形等的截面，无论力作用在哪个纵向平面 内，梁只发生平面弯曲。
c
y
M
z
M
c
c z y
25
z
P
y
如求a点应力
M d I
d
My
a Mz M
M: 合弯矩 I: 对中性的惯性矩 D 4
I Iy Iz 64
z
y
中性轴
d: a点到中性轴的矩离。
26
四、 斜弯曲变形的计算
总挠度：
v v v
2 y
2 z
yP
A
总挠度的方向
vz
z
vz Iz tan tan vy Iy
1）斜弯曲特点： I y I z 则 2）当 I y I z 时
v
vy
B
梁的挠曲线与力的作用线不在同一平面内
则为平面弯曲
如圆截面，正方形截面在任何方向P力作用下，只发生平面弯 曲，不会发生斜弯曲。 3） 斜弯曲时中性轴仍垂直于挠度
v 所在的平面。
27
例题1
因此，梁在斜弯曲情形下的强度是不安全的。
31
解：4. 讨论 如果令上述计算中的＝0，也就是载荷FP沿着y 轴方向，这时产生平面弯曲，上述结果中的第一项 变为0。于是梁内的最大正应力为 115.13MPa 这一数值远远小于斜弯曲时的最大正应力。可 见，载荷偏离对称轴 (y)一很小的角度，最大正应力 就会有很大的增加(本例题中增加了88.4％)，这对于 梁的强度是一种很大的威胁，实际工程中应当尽量 避免这种现象的发生。这就是为什么吊车起吊重物 时只能在吊车大梁垂直下方起吊，而不允许在大梁 的侧面斜方向起吊的原因。
将 FP 分解为 x 和 y 方向的两个分力 FPz 和FPy，将斜弯曲分解为两个平面弯曲，
FPz FPsin ,
FPy FPcos
2. 求两个平面弯曲情形下的最 大弯矩
d c
根据前几节的例题所得到的结 果，简支梁在中点受力的情形下， 最大弯矩Mmax=FPl / 4。将其中的FP 分别替换为FPz和FPy ，便得到两个 平面弯曲情形下的最大弯矩：
z D1 F
压 max 压
最大正应力分析 （Analysis of maximum normal stress)
中性轴 作平行于中性轴的两直线分别与 横截面周边相切于 D1 、D2两点 ，D1 、D2 两点分别为横截面上 最大拉应力点和最大压应力点。
D2 y O D1 z
23
D1
Pl cos Pl sin A Wz Wy A B
My
z
My B 中性轴z0
x Mz
17
y Mz Mz x z My z
y
My
x
My Mz y z Iz Iy
3）两组应力叠加，如图示 危险点A、B Mz
y
A
Mz M y A Wz W y
Pl cos Pl sin A Wz Wy A B
My
z
My B 中性轴
x Mz
18
y A Mz
My
z
cos sin B y0 z0 0 Iy 中性轴(零应力线) I z
My
x Mz
斜弯曲梁横截面中性轴上 各点的坐标为y0、z0 ，应 力=0，所以 cos sin pl ( y0 z0 ) 0 Iz Iy 故中性轴方程为：
D1
中性轴
O z
O
z
D2 y
y
D2
对于矩形、工字形等有两个相互垂直的对称轴的截面， 梁横截面的最大正应力发生在截面的棱角处。可根据梁的变形 情况，直接确定截面上最大拉、压应力点的位置，无需定出中 性轴。
24
Problem:
1 、圆截面梁或正方形截面 梁会不会发生斜弯曲？ 2、下图圆截面的弯曲应力怎 么计算？
一般生产车间所用的吊车大梁，两端由钢轨支撑，可 以简化为简支梁。图中 l=2 m。大梁由 32a热轧普通工字钢 制成，许用应力＝160MPa 。起吊的重物的重量FP＝80kN ，并且作用在梁的中点，作用线与y轴之间的夹角＝5。 试校核: 吊车大梁的强度是否安全？
28
解：1. 首先，将斜弯曲分解 为两个平面弯曲的叠加
对称轴 z x
梁的轴线 挠曲线 y
9
1.平面弯曲的两种情况
挠曲线
水平纵向对称面 z x
对称轴 y 梁的轴线 （2）梁在水平纵向对称面 xz 平面内曲， y 轴为中性轴。
10
2.平面弯曲的两大特征：
1）弯曲后的轴线在载荷作用面内； 2）中性轴与载荷的作用面垂直。 要求：载荷作用在主形心惯性平面内
c
1
第11章 杆件在组合变形下的强度计算
§11–1 斜弯曲
§11–2 拉伸(压缩)与弯曲组合变形的强度计算
§11–3 偏心压缩杆件的强度计算、截面核心
2
教学内容： • 组合变形的概念，斜弯曲。 教学要求： • 1、理解组合变形的概念以及组合变形类型的判断 ； • 2、了解杆件组合变形强度计算的基本方法 • ——外力分解和应力叠加，掌握危险截面、危险点的判定方 法；
ＭT
4
2、本章研究内容 11-1斜弯曲 11-2拉(压)弯组合变形 11-3弯扭组合变形
P
P
z x
y R
P P
M
5
二、组合变形分析方法
——叠加原理的应用
分析组合变形时，可先将外力进行简化或分解，把构件 上外力转化成几组静力等效的载荷，其中每一组载荷对应着 一种基本变形，这样可以分别计算每一基本变形各自引起的 内力、应力、应变和位移等，然后将所得结果叠加，便得到 构件组合变形下的内力、应力、应变和位移。
中性轴
z D1
D2
Fz φ Fy y
21
F
③最大正应力的确定 当中性轴确定后，最大应力就容易确定了，如图，在截面周边 作中性轴的切线。
距中性轴的两侧最远点为拉压最大正应力点
拉 max D 2 压 max D1
4、强度条件
中性轴
D2
Fz φ Fy y
22
拉max 拉
M max
z
y
FP sin l FPz l FPz 4 4
M max ( FPy )
FPy l 4
FP cos l 29 4
解：3. 计算两个平面弯曲情形下的最大正应力
－
+
－
d c
在 作用的截面上， 截面上边缘的角点a、b 承受最大压应 力；下边缘的角点c、d 承受最大拉应 力。 y M FPz 作用的截面 在 max 上，截面上角点 b 、 d 承受最大 压应力；角点a、c 承受最大拉应 力。
z
P
y
当载荷作用面不在梁的主形心惯性平面内时， 梁的弯曲轴线将不在载荷作用面内，即发生斜弯曲。 此时，中性轴不再与载荷的作用面垂直。 斜弯曲——两相互垂直平面内弯曲的组合
11
二Biblioteka Baidu斜弯曲
§11.1斜弯曲
当外力施加在梁的对称面 (或主轴平面) 内时，梁将产生平面弯曲。 所有外力都作用在同一平面内，但是这 一平面不是对称面 (或主轴平面)，梁也将会 产生弯曲，但不是平面弯曲，这种弯曲称为 斜弯曲(skew bending)。
先分解，再叠加
要求： 1、材料服从胡克定律
2、小变形
3.要求内力、应力、应变和位移等与外力 呈线性关系
6
三、组合变形工程实例
P
q
gh
大桥桥墩
7
F2 F1
P1
G
P2
起重机横梁
8
§11.1斜弯曲
一、平面弯曲 1.平面弯曲的两种情况
垂直纵向对称面 （1）梁在垂直纵 向对称面 xy 面内 发生平面弯曲 。 z轴为中性轴
max M y max M z max Wy Wz max
20
对于边界没有棱角而呈弧线的截面，则需要确定中性轴的位置， 离中性轴最远处就是最大拉压应力所在点，即危险点。 中性轴方程
M cos M sin I y0 I z0 0 z y
（z0 、y0 为中性轴上点的坐标）
(二) 内力特点：
横截面内有两个不同方向的弯矩 Mz , My（剪力V）
m z
My
m
x
Mz
y
14
三、斜弯曲强度计算
1、将P分解为两个分量Py ,Pz， 使之各产生一种变形
1) Py -----产生平行于xoy面 的平面弯曲(中性轴为z轴） 2) Pz-----产生平行于xoz面 的平面弯曲(中性轴为y轴）
z M max FPy
+
M b max
两个平面弯曲叠加的结果：角 点c承受最大拉应力；角点b承受最 大压应力。b、c两点都是危险点。 这两点的最大正应力数值相等，即
y M max FPz
M max
c
max b, c ＝
FPsin l 4Wy
Wy
z M max FPy
FP cos l 30 4Wz
Wz
解：3. 计算两个平面弯曲情形下的最大正应力
FPsin l FPcos l max b , c 4Wy 4Wz
其中l=4 m，FP=80 kN， =5。另外从型钢表中可查到 32a 热轧普通工字钢的 Wz=70.758cm3 ， Wy=692.2cm3 。将 这些数据代入上式得到.
3
一、组合变形的概念 1、组合变形：
在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种 基本变形，当几种基本变形所对应的应力属 同一量级时，不能忽略，这类构件的变形称 为——组合变形。 F P P P F F F ＭTT Ｍ T
M
y max
pz l 7.76 4 7.76kNm 4 4
y
Mz y Iz
2）由My产生的应力分布
z
Mz
x
y
中性轴z
My Iy
z
My z
x My
16 中性轴 y
y Mz Mz x z My z
y
My
x
My Mz y z Iz Iy
3）两组应力叠加，如图示 危险点A、B Mz
y
A
Mz M y A Wz W y
中性轴是一条通过截面形心的 斜直线，它与Z轴的夹角为：
A
中性轴将截面分为受拉区和受压区两个部分。
y0 Iz tan tan z0 Iy
z
B
F
y
19
距中性轴最远的点就是应力的最大点，即危险点。 如上图，A点为拉应力的最大点，B点为压应力的最大点。
危险点的确定：对于具有凸角又有两条 对称轴的截面（矩形、工字形）最大拉 压应力在D1、D2 点。且σ+max=σ-max
max b , c
80kN 103 sin5 4m 4 70.758cm 10
3
2
3
80kN 103 cos5 4m 4 692.2cm 10
3
2
3
98.54 115.13 213.7MPa 160MPa
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二、斜弯曲
§11.1斜弯曲
还有一种情形也会产生斜弯曲，这就是所有 外力都作用在对称面 ( 或主轴平面 ) 内，但不是同 一对称面 ( 梁的截面具有两个或两个以上对称轴 ) 或主轴平面内。
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二、斜弯曲 （一）受力与变形特点：
1、P与截面的对称轴（z 或y）有一定的夹角 2、P不在对称面内 3、或P不在同一对称面内
Pz
x
z Py -Py l
Mz P y
Py P cos Pz P sin
2、内力分析----作内力图确 定危险截面 危险截面------固定端
x
-Pz l
My
x
15
M z Pl cos M y Pl sin
3、应力分布----作内力分布 图确定危险点 Mz 1）由Mz产生的正应力分布
32
例2、跨度L=4m的简支梁截面为32a工字 钢，中点受集中力P=30kN,它与对称轴成 15度角.若[σ ]=30MPa ,按正应力校核强 度，并计算跨中挠度。
z
y
解：1、作梁的弯矩图 2、求内力
Py P cos15 30cos15 29kN Pz P sin15 30sin15 7.76kN
y0 Iz tg tg z0 Iy
上式表明：①当力F通过第一、二象限时，中性 轴通过第三、四象限；②中性轴与力的作用线 并不垂直，这正是斜弯曲的特点，除非Iz=Iy， 即截面的两个形心主轴的惯性矩相等，例如截 面为正多边形的情形，此时中性轴才与力的作 用线垂直，而此时不论φ角是多少，梁总发生 平面弯曲，对于圆形、正方形、正三角形或正 多边形等的截面，无论力作用在哪个纵向平面 内，梁只发生平面弯曲。
c
y
M
z
M
c
c z y
25
z
P
y
如求a点应力
M d I
d
My
a Mz M
M: 合弯矩 I: 对中性的惯性矩 D 4
I Iy Iz 64
z
y
中性轴
d: a点到中性轴的矩离。
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四、 斜弯曲变形的计算
总挠度：
v v v
2 y
2 z
yP
A
总挠度的方向
vz
z
vz Iz tan tan vy Iy
1）斜弯曲特点： I y I z 则 2）当 I y I z 时
v
vy
B
梁的挠曲线与力的作用线不在同一平面内
则为平面弯曲
如圆截面，正方形截面在任何方向P力作用下，只发生平面弯 曲，不会发生斜弯曲。 3） 斜弯曲时中性轴仍垂直于挠度
v 所在的平面。
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例题1
因此，梁在斜弯曲情形下的强度是不安全的。
31
解：4. 讨论 如果令上述计算中的＝0，也就是载荷FP沿着y 轴方向，这时产生平面弯曲，上述结果中的第一项 变为0。于是梁内的最大正应力为 115.13MPa 这一数值远远小于斜弯曲时的最大正应力。可 见，载荷偏离对称轴 (y)一很小的角度，最大正应力 就会有很大的增加(本例题中增加了88.4％)，这对于 梁的强度是一种很大的威胁，实际工程中应当尽量 避免这种现象的发生。这就是为什么吊车起吊重物 时只能在吊车大梁垂直下方起吊，而不允许在大梁 的侧面斜方向起吊的原因。
将 FP 分解为 x 和 y 方向的两个分力 FPz 和FPy，将斜弯曲分解为两个平面弯曲，
FPz FPsin ,
FPy FPcos
2. 求两个平面弯曲情形下的最 大弯矩
d c
根据前几节的例题所得到的结 果，简支梁在中点受力的情形下， 最大弯矩Mmax=FPl / 4。将其中的FP 分别替换为FPz和FPy ，便得到两个 平面弯曲情形下的最大弯矩：
z D1 F
压 max 压
最大正应力分析 （Analysis of maximum normal stress)
中性轴 作平行于中性轴的两直线分别与 横截面周边相切于 D1 、D2两点 ，D1 、D2 两点分别为横截面上 最大拉应力点和最大压应力点。
D2 y O D1 z
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D1
Pl cos Pl sin A Wz Wy A B
My
z
My B 中性轴z0
x Mz
17
y Mz Mz x z My z
y
My
x
My Mz y z Iz Iy
3）两组应力叠加，如图示 危险点A、B Mz
y
A
Mz M y A Wz W y
Pl cos Pl sin A Wz Wy A B
My
z
My B 中性轴
x Mz
18
y A Mz
My
z
cos sin B y0 z0 0 Iy 中性轴(零应力线) I z
My
x Mz
斜弯曲梁横截面中性轴上 各点的坐标为y0、z0 ，应 力=0，所以 cos sin pl ( y0 z0 ) 0 Iz Iy 故中性轴方程为：
D1
中性轴
O z
O
z
D2 y
y
D2
对于矩形、工字形等有两个相互垂直的对称轴的截面， 梁横截面的最大正应力发生在截面的棱角处。可根据梁的变形 情况，直接确定截面上最大拉、压应力点的位置，无需定出中 性轴。
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Problem:
1 、圆截面梁或正方形截面 梁会不会发生斜弯曲？ 2、下图圆截面的弯曲应力怎 么计算？
一般生产车间所用的吊车大梁，两端由钢轨支撑，可 以简化为简支梁。图中 l=2 m。大梁由 32a热轧普通工字钢 制成，许用应力＝160MPa 。起吊的重物的重量FP＝80kN ，并且作用在梁的中点，作用线与y轴之间的夹角＝5。 试校核: 吊车大梁的强度是否安全？
28
解：1. 首先，将斜弯曲分解 为两个平面弯曲的叠加
对称轴 z x
梁的轴线 挠曲线 y
9
1.平面弯曲的两种情况
挠曲线
水平纵向对称面 z x
对称轴 y 梁的轴线 （2）梁在水平纵向对称面 xz 平面内曲， y 轴为中性轴。
10
2.平面弯曲的两大特征：
1）弯曲后的轴线在载荷作用面内； 2）中性轴与载荷的作用面垂直。 要求：载荷作用在主形心惯性平面内
c
1
第11章 杆件在组合变形下的强度计算
§11–1 斜弯曲
§11–2 拉伸(压缩)与弯曲组合变形的强度计算
§11–3 偏心压缩杆件的强度计算、截面核心
2
教学内容： • 组合变形的概念，斜弯曲。 教学要求： • 1、理解组合变形的概念以及组合变形类型的判断 ； • 2、了解杆件组合变形强度计算的基本方法 • ——外力分解和应力叠加，掌握危险截面、危险点的判定方 法；
ＭT
4
2、本章研究内容 11-1斜弯曲 11-2拉(压)弯组合变形 11-3弯扭组合变形
P
P
z x
y R
P P
M
5
二、组合变形分析方法
——叠加原理的应用
分析组合变形时，可先将外力进行简化或分解，把构件 上外力转化成几组静力等效的载荷，其中每一组载荷对应着 一种基本变形，这样可以分别计算每一基本变形各自引起的 内力、应力、应变和位移等，然后将所得结果叠加，便得到 构件组合变形下的内力、应力、应变和位移。
中性轴
z D1
D2
Fz φ Fy y
21
F
③最大正应力的确定 当中性轴确定后，最大应力就容易确定了，如图，在截面周边 作中性轴的切线。
距中性轴的两侧最远点为拉压最大正应力点
拉 max D 2 压 max D1
4、强度条件
中性轴
D2
Fz φ Fy y
22
拉max 拉
M max
z
y
FP sin l FPz l FPz 4 4
M max ( FPy )
FPy l 4
FP cos l 29 4
解：3. 计算两个平面弯曲情形下的最大正应力
－
+
－
d c
在 作用的截面上， 截面上边缘的角点a、b 承受最大压应 力；下边缘的角点c、d 承受最大拉应 力。 y M FPz 作用的截面 在 max 上，截面上角点 b 、 d 承受最大 压应力；角点a、c 承受最大拉应 力。
z
P
y
当载荷作用面不在梁的主形心惯性平面内时， 梁的弯曲轴线将不在载荷作用面内，即发生斜弯曲。 此时，中性轴不再与载荷的作用面垂直。 斜弯曲——两相互垂直平面内弯曲的组合
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二Biblioteka Baidu斜弯曲
§11.1斜弯曲
当外力施加在梁的对称面 (或主轴平面) 内时，梁将产生平面弯曲。 所有外力都作用在同一平面内，但是这 一平面不是对称面 (或主轴平面)，梁也将会 产生弯曲，但不是平面弯曲，这种弯曲称为 斜弯曲(skew bending)。
先分解，再叠加
要求： 1、材料服从胡克定律
2、小变形
3.要求内力、应力、应变和位移等与外力 呈线性关系
6
三、组合变形工程实例
P
q
gh
大桥桥墩
7
F2 F1
P1
G
P2
起重机横梁
8
§11.1斜弯曲
一、平面弯曲 1.平面弯曲的两种情况
垂直纵向对称面 （1）梁在垂直纵 向对称面 xy 面内 发生平面弯曲 。 z轴为中性轴
max M y max M z max Wy Wz max
20
对于边界没有棱角而呈弧线的截面，则需要确定中性轴的位置， 离中性轴最远处就是最大拉压应力所在点，即危险点。 中性轴方程
M cos M sin I y0 I z0 0 z y
（z0 、y0 为中性轴上点的坐标）
(二) 内力特点：
横截面内有两个不同方向的弯矩 Mz , My（剪力V）
m z
My
m
x
Mz
y
14
三、斜弯曲强度计算
1、将P分解为两个分量Py ,Pz， 使之各产生一种变形
1) Py -----产生平行于xoy面 的平面弯曲(中性轴为z轴） 2) Pz-----产生平行于xoz面 的平面弯曲(中性轴为y轴）
z M max FPy
+
M b max
两个平面弯曲叠加的结果：角 点c承受最大拉应力；角点b承受最 大压应力。b、c两点都是危险点。 这两点的最大正应力数值相等，即
y M max FPz
M max
c
max b, c ＝
FPsin l 4Wy
Wy
z M max FPy
FP cos l 30 4Wz
Wz
解：3. 计算两个平面弯曲情形下的最大正应力
FPsin l FPcos l max b , c 4Wy 4Wz
其中l=4 m，FP=80 kN， =5。另外从型钢表中可查到 32a 热轧普通工字钢的 Wz=70.758cm3 ， Wy=692.2cm3 。将 这些数据代入上式得到.