常用的数学公式(三角函数、矩阵、排列组合)

常用的数学公式
1. 三角函数
三角函数的定义：
1) 三角函数是一个角的一种数学性质，具体的定义如下：
正弦：sin α=∠α的对边∠α的斜边
= a
c
余弦：cos α=
∠α的邻边∠α的斜边
= b
c 正切：tan α=∠α的对边
∠α的邻边= a
b
=
sinαcosα
余切：cot α=
∠α的邻边∠α的对边
= b a =
cosαsinα
2) 对于任意一个角度α我们也可以用下面的方法定义它的三角函数：
在直角坐标系中，在以原点为起点，且与x 轴正方形夹角为α的射线上任取一点A(x 0,y 0),
设r =√x 02+y 02
,则有:
sin α= y 0r
cos α=
x 0r
tan α= y
0x 0
cot α= x
0y 0
同时，对于β=α+90°，通过将线段OA 逆时针旋转90°得到OA1，则点A1的坐标为(x 1,y 1)= （−y 0,x 0），所以：
sin （α+90°）= y
1r = x 0r
=cosα cos （α+90°）=
x 1r =−
y 0r
=−sinα
用同样的坐标法可以得出：
sin(90°−α)=cos α cos(90°−α)=sin α
对于γ=α+180°，通过将线段OA 逆时针旋转180°得到OA2，则点A2的坐标为(x 2,y 2)= （−x 0,−y 0），所以：
sin （α+180°）= y 2r
= −y 0r
=−sinα cos （α+180°）=
x 2r
=−
x 0r
=−cosα
用同样的坐标法可以得出：
sin(180°−α)=sin α cos(180°−α)=-cos α
●其他三角函数的换算公式
sin2α+cos2α=1
sin(α+β)=sinα cosβ+cosα sinβ
sin2α=2sinα cosα
cos2α=cos2α−sin2α = 1-2sin2α= 2cos2α−1
tan α·cot α=1
2.排列组合（排列A与顺序有关，组合C与顺序无关）
●排列
从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个
不同的元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元
素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A n m表
示:
A n m=n!
m!
=n(n−1)(n−2)···（n−m+1）
●组合
从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素排成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合。

从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C n m表示:
C n m=n!
(n−m)!·m!
例如：
➢把5本不同的书分给三个人，求问一共有多少种不同的分法？
分析：5本书彼此不同，与顺序有关——排列:A53=5!
3!
=5×4=20➢把5本书分给三个人，求问一共有多少种不同的分法？
分析：5本书没有差别，与顺序无关——组合:C53=5!
3!·2!
=10
●二项式定理
(a+b)n=C n0a n b0+C n1a n−1b1+C n2a n−2b2+···+C n m a n−m b m+···+C n n−1a1b n−1+C n n a0b n
3.导数与积分
●常用导数与积分公式
导数积分
(C)’=0 (C∈R)
∫0dx=C
(xμ)’=μxμ−1(μ∈R)
∫xμdx=xμ+1
μ+1
+C (μ≠−1)
(a x)’=a x lna(a>0,a≠1)
∫a x dx=a x
lna
+C (a>0,a≠1)
复合函数求导公式
1) (f(x)g(x))’=f ’(x)g(x)+f(x)g ’(x)
例如：(2xsinx)’=(2x)’sinx+2x(sinx)’=2sinx+2xcosx 2) (f (x )g (x ))′
=
f’(x )g (x )−f(x)g’(x)
g 2(x)
例如：(sinx 7x
)’=
(sinx )′(7x )−(7x)′sinx
(7x)2
=
xcosx−sinx
7x 2
3) 设函数y=f(u),u=φ(x)均可导，则复合函数y=f(φ(x))也可导，且y x ′
=f ′(u )φ′(x ).
例如：设y=(2x +1)5,求y ’. 解：将2x+1视为中间变量u ，则可将y=(2x +1)5看成是y=u 5,u=2x+1复合而成的函数，那么
y u ′=5u 4,u x ′=(2x +1)′=2
所以 y ’=y x ′=y u ′u x ′
=5(2x +1)4×2=10(2x +1)4.
4. 一元二次方程
a x 2+
b x +
c =0 x =
−b±√∆2a
=
−b±√b 2−4ac
2a
, ∆=√b 2−4ac ≥0
一元二次函数y= a x 2b=0
b>0
b<0
a>0
a<0
5. 逆矩阵、伴随矩阵
● 逆矩阵
➢ 逆矩阵的定义：对于n 阶方针A ，如果存在同阶方针B ，使得 AB=BA=E (E 为同
阶的单位矩阵),则称A 是可逆矩阵，并称B 是A 的逆矩阵，记为A -1.
➢ 矩阵可逆的条件：矩阵A 可逆的充要条件是|A |≠0.且A −1=1
|A |A ∗.
➢ 可逆矩阵的基本性质：
1) 若A 可逆，则A -1也可逆，且（A −1）−1
=A;还有|A −1|=|A |−1. 2) 若A 可逆，数k ≠0，则k A 也可逆，且（kA ）
−1
=k −1A −1. 3) 若A,B 为同阶可逆矩阵，则AB 可逆，且（AB ）−1
=B −1A −1.
● 伴随矩阵
➢ 方阵伴随矩阵的定义：设A=（a ij ）
n×n
为n 阶方阵，A ij 是|A |中元素a ij 的代数余
子式，则矩阵
A ∗=( A 11 A 12… A 1n A 21 A 22… A 2n ⋮ ⋮ … ⋮A n1 A n2… A nn )T =( A 11 A 21… A n1
A 12 A 22… A n2
⋮ ⋮ … ⋮A 1n A 2n … A nn
)
称为A 的伴随矩阵。

例如:
设A =(1−25
−304216),求A 的伴随矩阵A ∗和逆矩阵A −1。

解：因为
A 11=|0416|=−4，A 21=|−2516|=17，A 31=|−25
04
|=−8，
A 12=−|−3426|=26，A 22=|1526|=−4，A 32=|15
−34|=−19,
A 13=|−3021|=−3，A 23=|1−221|=−5，A 33=|1−2
−30|=−6.
所以
A ∗
=(−417−8
26−4−19−3−5−6
)
A −1
=1|A |A ∗=1−71×(−417−826−4−19−3−5−6
)=( 471−
17718
71−
267147119
71371571671)。