概率论与数理统计复习题

山东理工大学成人高等教育概率论与数理统计复习题
一、单项选择题：
1．甲、乙二人射击，A 、B 分别表示甲、乙击中目标，则AB 表示（ ）。

A.两人都没击中 B.至少一人没击中 C.两人都击中 D.至少一人击中 2．设,A B 为两个随机事件，且
，则下列式子正确的是（ ）。

A.()()P A B P A ⋃=
B.()()P AB P A =
C.(/)()P B A P B =
D.()()()P B A P B P A -=-
3．设123,X X X ,是来自总体(,4)N μ的样本，未知参数μ的下列无偏估计量中最有效的是（ ）。

A.
123111424X X X ++ B. 1311
22X X + C.
123122555X X X ++ D. 123111333
X X X ++ 4．设某种电子管的寿命X ，方差为()D X a =，则10个电子管的平均寿命X 的方差
()D X 是（ ）。

A ．a B. 10a C. 0.1a D. 0.2a 5．在假设检验问题中，犯第一类错误是指（ ）。

A ．原假设0H 成立，经检验接受0H
B ．原假设0H 成立，经检验拒绝0H
C ．原假设0H 不成立，经检验接受0H
D ．原假设0H 不成立，经检验拒绝0H 6.设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有（ ） （A ）()()() 1.P C P A P B ≤+- （B ）()().P C P A B ≤ （C ）()()() 1.P C P A P B ≥+- （D ）()().P C P A
B ≥
7．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为（ ） （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.
（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. 8．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ ） （A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+. （C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =. 9．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为
(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)
1111
69183
X Y P αβ
若,X Y 独立，则,αβ的值为（ ） （A ）21,99αβ=
=. （A ）12
,99αβ==. （C ） 11,66αβ=
= （D ）51
,1818
αβ==. 10．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中
正确的是（ ）
（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. 二、填空题
1.设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________.
2.设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.
3.设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________.
4.设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则
=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________.
5.设总体X 的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,
0,
10,)1()(x x x f θ
θ 1->θ.
n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.
6.袋中装有1个黑球和2个白球，从中任取2个，则取得的黑球数X 的分布函数
()F x = ，()E X = 。

7．设~(4,0.5),X b Y 在区间[0,2] 上服从均匀分布，已知X 与Y 相互独立，则
(3)D X Y -= _ 。

8.设2~(2,)X N σ，且{0}0.2P X ≤=,那么{24}P X <<= _ ___。

9.设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，用切比雪夫不等式估计：
{24}P X -≥≤ 。

10.设一批产品的某一指标2~(,)X N μσ，从中随机抽取容量为25的样本，测得样本方差的观测值2100s =，则总体方差2σ的95%的置信区间为 。

11、设随机变量X 的概率密度为2,01,
()0,x x f x <<⎧=⎨
⎩其它,
现对X 进行四次独立重复观
察，用Y 表示观察值不大于0.5的次数，则2
EY =___________. 12、设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为
(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)
0.40.2X Y P a b
若0.8EXY =，则Cov(,)X Y =____________. 13设1217,,
,X X X 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，则
a =____________.
三、计算题
1、把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率
2、已知随机变量X 的概率密度函数为,01()0,cx x f x ⎧≤<=⎨⎩其它
，求：
（1）．常数c ；
（2）．{0.40.7}P X <≤；
（3）．方差()D X
3、设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数(2)2,0,0(,)0x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩
，其它 ，
（1）．求,X Y 的边缘密度函数；
（2）．判断,X Y 是否相互独立、是否不相关；
（3）．求概率{1}P X Y +≤
4、向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相互独立，且均服从2(0,2)N 分布. 求
（1）命中环形区域22{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率；
（2）命中点到目标中心距离Z =
.
5、设随机变量X 具有密度函数||
1()2
x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差.
6、设某机器生产的零件长度（单位：cm ）2
~(,)X N μσ，今抽取容量为16的样本，测得
样本均值10x =，样本方差2
0.16s =. （1）求μ的置信度为0.95的置信区间；（2）检验
假设20:0.1H σ≤（显著性水平为0.05）.
（附注）0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t ===
222
0.050.050.025(16)26.296,
(15)24.996,(15)27.488.χχχ===
7、某种零件的尺寸标准差为σ=5.2，对一批这类零件检查9件得平均尺寸数据（毫米）：
x =26.56,设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是26毫米（0.05α=）.正态分布表如下
x 0 1.56 1.96 2.33 3.1 Ф(x) 0.5 0.941 0.975 0.99 0.999
山东理工大学成人高等教育概率论与数理统计复习题答案
一、单项选择题：
1、B
2、A
3、D
4、C
5、B 6.C
解析：由(|)1P C AB =知()()P ABC P AB =，故()()P C P AB ≥ ()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+- 应选C.
7．B
解析：~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）. 8．B. 9．A
解析：若,X Y 独立则有
(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======
1121
()()()3939
αβαα=+++=+ ∴29α=， 19β=
故应选（A ）.
10．A
解析：1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ） 二、填空题： 1．0.9．
解析：3.0)(=+B A B A P
即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P
9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．
16
1-e . 解析：λλ
λ
λλ---=
=+==+==≤e X P e e X P X P X P 2
)2(,
)1()0()1(2
由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ
λλ---=+e e e
22
即 0122
=--λλ 解得 1=λ，故
16
1)3(-=
=e X P . 3．04,0,.y <<⎩
其它.
解析：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则
2
()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤==- 因为~(0,2)X U ，所以(0X F =，即()Y X F y F = 故
04,
()()
0,.
Y Y X
y
f y F y f
<<
'
===
⎩其它另解在(0,2)上函数2
y x
=
严格单调，反函数为()
h y=
所以
04,
()
0,.
Y X
y
f y f
<<
==
⎩其它
4．4
1e-
-.
解析：2
(1)1(1)
P X P X e e
λ
--
>=-≤==，故2
λ=
{min(,)1}1{min(,)1}
P X Y P X Y
≤=->1(1)(1)
P X P Y
=->>
4
1e-
=-.
5．
1
1
1
1
ln
n
i
i
x
n
θ
=
=-
∑
.
解析：似然函数为
11
1
(,,;)(1)(1)(,,)
n
n
n i n
i
L x x x x x
θθ
θθθ
=
=+=+
∏
1
ln ln(1)ln
n
i
i
L n x
θθ
=
=++∑
1
ln
ln=0
1
n
i
i
d L n
x
dθθ=
=+
+
∑
解似然方程得θ的极大似然估计为
1
1
1
1
ln
n
i
i
x
n
θ
=
=-
∑
.
6、
0,0
1
(),01
3
1,1
x
F x x
x
<
⎧
⎪⎪
=≤<
⎨
⎪
≥
⎪⎩
,
2
()
3
E X=
7、4 8、0.3， 9、
1
8
10、(60.97,193.53)
11、
5
4
解析：~(4,),
Y B p
其中
1
0.52
2
1
(0.5)2
4
p P X xdx x
=≤===
⎰，
1133
41,4
4444
EY DY
=⨯==⨯⨯=，
22
15
()1
44
EY DY EY
=+=+=.
12、0.1
解析：(,)X Y 的分布为
这是因为 0.4a b +=，由0.8EXY = 得 0.220.8b +=
0.1,
0.3a b ∴==
0.620.4 1.4EX =+⨯=，0.5EY =
故 cov(,)0.80.70.1X Y EXY EXEY =-=-=. 13、8
解析：2
2
16(){4}0.014
S P S a P a >=>= 即 2
0.01(16)4a χ=，亦即 432a = 8a ∴=.
三、计算题。

1、解 设A =‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为,,x y a x y --，则
0,0,0x a y a x y a
<<<<<+<，不等式构成平面域S .
A 发生0,0,222
a a a
x y x y a ⇔<<<<<+< 不等式确定S 的子域A ，
1
()4
A P A ==的面积S 的面积 .
2、解：（1）、因为
()1f x dx +∞
-∞
=⎰
即1
2011022
c c
cxdx x
===⎰，解得2c = （2）、0
.720
.40.
7{0.40.7}20.30.
4P X x d x <<
=
==
⎰
（3）、1
122
0021()2,()232
E X x xdx E X x xdx =⋅==⋅=⎰⎰
22141
()()[()]2918
D X
E X E X =-=-=
3、解：（1）、202,0()(,)0,0x y X e e dy x f x f x y dy x +∞
--+∞
-∞
⎧>⎪==⎨
⎪≤⎩
⎰⎰,00,0x e x x -⎧>=⎨≤⎩ 202,0()(,)0,0x y Y e e dx y f y f x y dx y +∞--+∞-∞⎧>⎪==⎨⎪≤⎩
⎰⎰22,0
0,0y e y y -⎧>=⎨
≤⎩ （2）、 因为()()(,)X Y f x f y f x y =，所以X Y 与相互独立。

由于X Y 与相互独立，所以X Y 与不相关
（3）、1
11
2
22
{1}2(1)x
x y x
x PX
Y d x e e d
y e e d x -----+≤==-
⎰⎰⎰
12120
()12x x e e dx e e ----=-=-+⎰
（1）{,)}(,)D
P X Y D f x y dxdy ∈=
⎰⎰
22
2228
8
1
11
248x y r D
e
dxdy e
rdrd πθππ
+-
-
==
⋅⎰⎰⎰⎰
222
112
28
8
8
2
1
1()8
r r r
e
d e
e e ---
-
=-
-=-=-⎰
；
（2）228
18x y EZ E e
dxdy π
+-
+∞
-∞-∞
==
⎰⎰
22
22880
1
184r r re
rdrd e r dr πθπ
-
-
+∞+∞=
=⎰⎰
⎰
2
228
8
8
r r r re e dr dr +∞
---
+∞+∞-∞
=-+=
=⎰
5、解 ||1
02
x EX x e dx +∞--∞
=⋅=⎰
，（因为被积函数为奇函数）--------------------------5分
2
2
||
2012
x x DX EX x e dx x e dx +∞+∞---∞
===⎰
⎰
20
02x x x e
xe dx +∞+∞
--=-+⎰
2[] 2.x
x xe e dx +∞+∞--=-+=⎰
-----------------------------------
-----15分
6、解：（1）μ的置信度为1α-下的置信区间为
/2/2(((X t n X t n αα--+- 0.02510,0.4,16,
0.05,(15) 2.132X s n t α=====
所以μ的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）
（2）20:0.1H σ≤的拒绝域为22
(1)n αχχ≥-.
22
1515 1.6240.1
S χ==⨯=，2
0.05(15)24.996χ= 因为 22
0.052424.996(15)χχ=<=，所以接受0H .
7、解：问题是在2σ已知的条件下检验假设0H ：0μ=26 查正态分布表，1－
2α
=0.975, 2
1αμ-=1.96
|u|=1.08＜1.96,
应当接受0H ，即这批零件的平均尺寸应认为是26毫米。