5.人教版 高中数学 第五章 平面向量 知识网络图及导读分析

第五章 平面向量
【网络图】
【网络导读】
1.向量是数学中的重要概念，并和数一样，也能运算.它是一种工具，用向量的有关知
识能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题.
向量法和坐标法是研究和解决向量问题的两种方法.
实数与向量的积满足的运算律 设A 11(,)x y ，B 22(,x y 则AB OB OA =-
2121(,)x x y y --
∥b (b ≠0)
()(
)
2
2a b a b
=；
∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1=0.
两个非零向量垂直的充要条件, =(x 2,y 2),
向量式：a ⊥b ⇔a •b =0
a b a b
+=-；
）坐标式：a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0. 121211x x x y y y λλλλ+⎧
=⎪⎪+⎨
+⎪=⎪+⎩
坐标表示，使平面中的向量与它的坐标建立了一一对应关系，用“数”的运算处理“形”的问题，在解析几何中有广泛的应用.向量法便于研究空间中涉及直线和平面的各种问题.
2.平移变换的价值在于可利用平移变换，使相应的函数解析式得到简化. 【易错指导】
易错点1：利用向量的加法、减法、数量积等运算的几何意义解题时,数形结合的意识不够,忽视隐含条件.
易错点2：涉及向量的有关概念、运算律的理解与应用时,易产生概念性错误. 忽视向量积定义中对两向量夹角的定义.向量数量积的应用.
例题1已知1,3,0,OA OB OA OB ==⋅=点C 在AOB ∠内,且AOC ∠30o
=.
设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则
m
n
等于 （A ）
1
3
（B ）
3 （C
（D
【解析】 由OC mOA nOB =+ , 得
两边同时乘以OA , 可得2
OA OC mOA nOA OB m ⋅=+⋅=, 又OA OC ⋅=0
3||||cos30||2
OA OC OC ⋅=
, ∴|m OC =; 两边同时乘以OB ,可得2
3OB OC mOA OB nOB n ⋅=⋅+=, 又OB OC ⋅=0
3||||cos 60||2
OB OC OC ⋅=
, ∴|n OC =. ∴m n
=3 ,故应选B. 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算,考查了算两次法则的数学解题中的解题策略在
实际求解中,考生多从平面几何的角度去分析该问题,出现思维延时现象. 例题2如图，连结ABC ∆的各边中点得到一个新的111,A B C ∆又连 结111A B C ∆的各边中点得到222A B C ∆，如此无限继续下 去，得到一系列三角形：ABC ∆，111A B C ∆，222A B C ∆，...， 这一系列三角形趋向于一个点M 。

已知(0,0),(3,0),A B
(2,2),C 则点M 的坐标是＿＿＿＿。

【解析】由已知可得111A B C ∆的三个点的坐标为11153(,1),(1,1),(,0)22
A B C ,
222A B C ∆的坐标225117
(,),(2,),(,1)4224
B C ,...，
可以求得ABC ∆，111A B C ∆，222A B C ∆，...的重心均为52(,)33
,即可得三角形趋向于一个点M 就是三角形的重心,得点M 的坐标是52(,)33
.
【点评】本题考查了坐标系下三角形各边中点派生三角形的极限规律性运动,提示了平面几
何与解析几何在知识发生与发展中的相互推进作用.大多考生数形结合的意识不够,将思维方向转向了数列通项的归纳及极限的求解而出现延时现象.
例题3设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=,若
OP AB PA PB ⋅≥⋅,则实数λ的取值范围是
(A)
1
12
λ≤≤ (B) 112λ-≤≤ (C) 1122λ≤≤+ (D)
1122
λ-
≤≤+ 【解析】设点P 坐标为(,)x y ,则由AP AB λ=可得(1,)(1,1)x y λ-=-, (01λ≤≤). 即得
1,x y λλ=-=,点P 坐标为(1,)λλ-. 又由OP AB PA PB ⋅≥⋅, 可得(1,)(1,1)(,)(1,1)λλλλλλ-⋅-≥-⋅--,
整理可得2
2410λλ-+≤, 解之得1122λ-
≤≤+,又∵01λ≤≤, ∴112
λ-≤≤,故应选B.
【点评】本题考查了向量的坐标运算及定比分点公式的变形应用,向量不等式的解法转化.很多考生解题中忽视了条件01λ≤≤而出错.。