一种新的压缩采样匹配追踪算法

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第２期
立，测量矩阵Ａ则满足ＲＩＰ性质
蒋留兵，等：一种新的压缩采样匹配追踪算法
·４０３ ·
设条件。引理２主要目的是确保扰动造成的影响与原信号ｘ
（２）
（１－）ｘ１＋） δ ‖ｘ ‖２ ≤‖Ａ ‖２ ≤（ δ ‖ｘ ‖２ｓｓ２２２
［１４］
独立。引理２给定 ε ′ ，ｘ ′ 。 ‖Ｅ ‖２＋ ‖ｅ ‖２≤ε Ａ，Ｓ，ｂＡ，Ｓ，ｂ证明
比凸优化法低，用更多的观测值来换取计算复杂度的降低，计算速度快。总的来说，在贪婪算法中ＣｏＳａＭＰ算法在稀疏恢复中所有重要方面可证明是最优的。定义１对于任意稀疏度Ｓ＝１，２， …的信号ｘ式（２）都成
噪声存在下提出了一种改进的压缩采样匹配追踪算法（ｓｅｎｓｉｎｇｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｍａｔｒｉｘｃｏｍｐｒｅｓｓｉｖｅｓａｍｐｌｉｎｇｍａｔｃｈｉｎｇｐｕｒｓｕｉｔ，ＳＭＭＣｏＳａＭＰ）。
［１０］ｓｕｉｔ，ＯＭＰ），通过正交方向寻找非零系数，加快ＭＰ算法的
音频源分离
［６］
等具体运用方案中，测量矩阵Ａ代表一个系统
模型，在传输信道中经常受到噪声Ｅ污染，在解码端测量矩阵＾等价于Ａ＋Ｅ，那么Ｅｘ可以看做为乘性噪声。然而，将模拟Ａ信号、模拟系统离散化时出现的抖动误差、抽样周期不精确，引入的噪声都可以看做乘性噪声。加性噪声ｅ过大的话，增加信号强度就可克服很低的信噪比，即可减小误差。但是若测量过程引入了乘性噪声，单纯增加信号强度并不能减小重构误差反而引起更大误差，因为乘性噪声Ｅｘ与信号ｘ相关。本文基于测量矩阵受噪声扰动模型下，系统论述了压缩采
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｏｐｏｓｅｄａｎｅｗｍｏｒｅｕｓｅｆｕｌｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙｐｅｒｔｕｒｂｅｄｍｏｄｅｌ，ｗｈｉｃｈｉｎｃｏｒｐｏｒａｔｅｄｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅｎｏｉｓｅｃｏｒｒｅｌａｔｅｄｗｉｔｈｔｈｅｓｉｇｎａｌ．Ｉｔｐｒｅｓｅｎｔｅｄａｎｅｗｃｏｍｐｒｅｓｓｉｖｅｓａｍｐｌｉｎｇｍａｔｃｈｉｎｇｐｕｒｓｕｉｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｎｅｗｍｏｄｅｌ．Ｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄａｌｇｏｒｉｔｈｍｃｏｕｌｄｒｅｃｏｖｅｒｔｈｅｓｉｇｎａｌｉｎｈｉｇｈｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｂｙｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇｓｅｎｓｉｎｇｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｍａｔｒｉｘｗｈｉｃｈｍｉｔｉｇａｔｅｄｔｈｅｃｏｈｅｒｅｎｔｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅｔｏｇｅｔｔｈｅｂｅｓｔｓｕｐｐｏｒｔｏｆｔｈｅｓｉｇｎａｌｅｖｅｎｉｎｔｈｅｐｒｅｓｅｎｔｏｆｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅｎｏｉｓｅ．Ｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｒｅｓｕｌｔｓ，ｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄａｌｇｏｒｉｔｈｍｃａｎｇｅｔｂｅｔｔｅｒｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｓａｎｄｉｔｉｓｓｕｐｅｒｉｏｒｔｏｏｔｈｓｈｏｗｔｈａｔｕｎｄｅｒｔｈｅｓａｍｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｒｇｒｅｅｄｙａｌｇｏｒｉｔｈｍｓａｎｄｔｈｅＢＰａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄｓｅｎｓｉｎｇ（ＣＳ）；ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｖｅｓａｍｐｌｉｎｇｍａｔｃｈｉｎｇｐｕｒｓｕｉｔ（ＣｏＳａＭＰ）；ｎｏｉｓｅｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ
称为限制等距常量（ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄｉｓｏｍｅｔｒｙ δ ｓ是满足上式的最小值，ｃｏｎｓｔａｎｔ，ＲＩＣ）。如果测量矩阵Ａ满足ＲＩＣ常数 δ １， ≤０４ｓ
［１５］
＝Ａｘ＋ｅ受到任意噪声污染观测信号ｂ＾求解ｘ满足
［７］样匹配追踪算法（ＣｏＳａＭＰ）测量矩阵的限制等距性质（ｒｅ［８］ｓｔｒｉｃｔｅｄｉｓｏｍｅｔｒｙｐｒｏｐｅｒｔｙ，ＲＩＰ）和重构误差范围，并针对乘性
收敛。后来陆续提出了一些改进的ＯＭＰ算法，典型的有正规
［１１］化ＯＭＰ（ｒｅｇｕｌａｒｉｚｅｄＯＭＰ，ＲＯＭＰ）、分段ＯＭＰ（ｓｔａｇｅｗｉｓｅ［１２］，ＳｔＯＭＰ）以及采用回溯思想的ＣｏＳａＭＰ算法和子空间ＯＭＰ［１３］追踪算法（ｓｕｂｓｐａｃｅｐｕｒｓｕｉｔ，ＳＰ）等。这些算法计算复杂度
＾
，那么ＣｏＳａＭＰ算法
－ｘ ‖ｘ ‖２≤Ｃ０
(
－ｘ ‖ｘ ‖１ｓｓ槡
＋－ｘ ‖ｘ ‖２＋Ｃ ‖ｅ ‖２ｓ１
)
(
)
（３）
其中：Ｃ，ｘ的最佳Ｓ稀疏近似，按幅０和Ｃ１均大于０ｓ是信ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ｘ值递减顺序保留其中前Ｓ个幅值，其他部分全为０。
［１，２］压缩感知（ＣＳ）理论能用较少的测量数据以高概率重
构稀疏信号或可压缩信号，其自身巨大的潜力使其成为近五年来研究的热点。核心思想是对稀疏信号以远低于奈奎斯特采样频率的速度进行全局观测而非局部观测，然后用适当的重构算法以较少的测量值来精确重构原信号，相当于在某种程度上打破了采样定理，其自身的巨大潜力引起了国内外广大学者的高度关注。压缩感知测量过程ｂ＝Ａｘ＋ｅ可以看成是用测量矩阵Ａ对感兴趣的信号ｘ进行编码，恢复过程可以看成用测量
收稿日期：２０１２０６１７；修回日期：２０１２０７２４基金项目：国家自然科学基金资助项目（６１１６２００７）；广西研究生教育创新计划资助项目（２０１１１０５９５０８１０Ｍ１１）作者简介：蒋留兵（１９７３），男，江苏泰兴人，高级工程师，硕导，主要研究方向为智能信息处理（ｊｌｂｎｊ＠１６３．ｃｏｍ）；黄韬（１９８９），男，河南信阳人，硕士研究生，主要研究方向为压缩感知．
ｍｉｎ．ｔ．ｂ＝Ａｘ ‖ｘ ‖０ｓ（１）
目前主要算法集中于凸优化算法和贪婪算法两类。基于凸优化的思路主要通过增加约束来取得最稀疏解。凸优化算法取得较好的重构效果，但计算复杂度较高，限制了在实际中的应用。应用最为广泛的贪婪算法主要根据匹配追踪（ｍａｔｃｈｉｎｇ，ＭＰ）的思想，通过局部最优化依次找到非零系数。在ｐｕｒｓｕｉｔ此基础上出现了正交匹配追踪算法（ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｍａｔｃｈｉｎｇｐｕｒ
３］４］５］矩阵Ａ对测量信号ｂ进行解码。在雷达［、遥感［、通信［、
传统模型
传统ＣＳ理论主要基于部分受噪声影响模型ｂ＝Ａｘ＋ｅ，这里加性噪声ｅ不相关。ｘ是感兴趣的严格 ≠０且与稀疏信号ｘ稀疏信号或可压缩信号。重构算法的目的是从观测信号ｂ恢复ｘ，通常求解如下最优化问题的近似形式来重建ｘ。
第３０卷第２期２０１３年２月
计算机应用研究ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎＲｅｓｅａｒｃｈｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒｓ
Ｖｏｌ３０Ｎｏ２Ｆｅｂ２０１３
一种新的压缩采样匹配追踪算法
蒋留兵，黄韬
（桂林电子科技大学信息与通信学院，广西桂林５４１００４）摘要：提出了实用性更强的完全受噪声扰动理论模型，引入了与原信号相关的乘性噪声；并基于新的模型，提出了一种改进的压缩采样匹配追踪算法。该算法通过构造一个感知测量矩阵，在信号替代阶段中取代随机测量矩阵来减少相关性对支撑集筛选的影响，最后可在乘性噪声存在的情况下实现了信号的精确重建。实验结果表明，在相同测试条件下，该算法的重建效果均优于其他贪婪算法和基匹配法（ｂａｓｉｃｐｕｒｓｕｉｔ，ＢＰ）。关键词：压缩感知；重构算法；压缩采样匹配追踪；噪声扰动中图分类号：ＴＰ３０１．６文献标志码：Ａ文章编号：１００１３６９５（２０１３）０２０４０２０３：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１３６９５．２０１３．０２．０２３ｄｏｉ
Ｎｅｗｃｏｍｐｒｅｓｓｉｖｅｓａｍｐｌｉｎｇｍａｔｃｈｉｎｇｐｕｒｓｕｉｔａｌｇｏｒｉｔｈｍ
ＪＩＡＮＧＬｉｕｂｉｎｇ，ＨＵＡＮＧＴａｏ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ＆ＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＧｕｉｌｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＧｕｉｌｉｎＧｕａｎｇｘｉ５４１００４，Ｃｈｉｎａ）
ｘ ‖Ｅ ‖２ ≤ ｘ ‖Ａ ‖２
ｓ（－ｘ ‖Ｅ ‖２ ‖ｘ ‖２＋ ‖Ｅ ‖２‖ｘ ‖２）１ｓｓ · ＝ｘ－ｘ ‖ ‖１ｓ１－ δ （ｓ）ｓ槡－ｘ ‖ｘ ‖２＋ｋ ‖ｘ ‖２－ｓｓＡＳ槡ｓ（ｓ）（ｓ）（ｒ＋ｒ ‖Ｅ ‖２）＋ ‖Ｅ ‖２ ε ε α １ｓＡｋＡＡＡｓ · ≤ （ｓ）（ｓ）１－ｋｒｓ）１－ｋｒｓ）１－ δ Ａ（ｓ＋ｓＡ（ｓ＋ｓｓ