【创新方案】高考数学(理)一轮复习配套文档：第8章 第9节 圆锥曲线的综合问题

第九节 圆锥曲线的综合问题

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1．掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法． 2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．

1．直线与圆锥曲线的位置关系

判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．

即⎩⎪⎨⎪⎧

Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，

消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；

Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．

(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．

2．圆锥曲线的弦长

设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|

＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2

＝ 1＋1k 2·|y 1－y 2|＝ 1＋1

k

2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.

直线与圆锥曲线只有一个公共点时，是否是直线与圆锥曲线相切？

提示：直线与圆锥曲线只有一个公共点时，未必一定相切，还有其他情况，如抛物线与平行或重合于其对称轴的直线，双曲线与平行于其渐近线的直线，它们都只有一个公共点，但不是相切，而是相交．

1．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 等于( ) A.12 B.13 C.1

4

D ．4 解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x ＋1＝0，所以⎩

⎪⎨⎪⎧

a ≠0，1－4a ＝0，解得a ＝14. 2．直线y ＝

b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y

2b

2＝1的交点个数是( )

A ．1

B ．2

C ．1或2

D ．0

解析：选A 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b

a

x 平行，所以它与双曲线只有1

个交点．

3．设抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过点P (1,5)的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且点P 恰为线段AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________.

解析：A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝10，由抛物线定义得|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋p ＝10＋2＝12.

答案：12

4．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2

m

＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．

解析：直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，由题意，点(0,1)在椭圆内或椭圆上．则m ≥1，且m ≠5. 答案：m ≥1且m ≠5

5．过椭圆x 25＋y 2

4

＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标

原点，则△OAB 的面积为________．

解析：由c ＝5－4＝1，知椭圆右焦点为(1,0)，则直线方程为y ＝2(x －1)，联立方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧

x 25＋y 24＝1，y ＝2(x －1)，

解得x 1＝0，x 2＝53，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＝－2，y 2＝43

.

∴S △＝12×1×|y 1－y 2|＝12×1×103＝5

3.

答案：53

压轴大题巧突破(二)

直线与圆锥曲线的综合应用

[典例] (2013·湖北高考) (13分)如图，已知椭圆C 1与C 2的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为 2m,2n (m ＞n ) ，过原点且不与x 轴重合的直线l 与C 1，

C 2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，

D .记λ＝m

n

，△BDM 和△ABN 的面积分

别为S 1和S 2.

(1)当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，求λ的值；

(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2？并说明理由．

[化整为零破难题]

(1)基础问题1：椭圆C 1、C 2的标准方程各是什么？

C 1：x 2a 2＋y 2m 2＝1，C 2：x 2a 2＋y 2

n

2＝1，其中a >m >n >0.

基础问题2：直线l 与y 轴重合时S 1，S 2各等于什么？

S 1＝12|BD ||OM |＝1

2a |BD |，

S 2＝12|AB ||ON |＝1

2

a |AB |.

基础问题3：|BD |，|AB |各等于何值？ |BD |＝m ＋n ，|AB |＝m －n .

(2)基础问题1：设直线l 为y ＝kx ，则M 、N 到直线l 的距离各是多少？

M 到l 的距离d 1＝|ak |1＋k 2，N 到l 的距离d 2＝

|ak |

1＋k 2

. 基础问题2：S 1、S 2各等于什么？S 1

S 2

等于什么？

S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2， S 1S 2＝|BD ||AB |

.

基础问题3：|BD |

|AB |

与x A 、x B 有何关系？

|BD ||AB |＝x A ＋x B

x A －x B

＝λ. 基础问题4：如何用x A 、x B 、a 、m 、λ来表示k 2?

A (x A ，kx A )、

B (x B ，kx B )分别在

C 1、C 2上，所以x 2A a 2＋k 2x 2A m 2＝1，x 2B a 2＋k 2x 2B

n 2＝1，∴x 2A －x 2

B a

2＋

k 2(x 2A －λ2x 2B )m 2＝0，依题意得x A >x B >0，所以x 2A >x 2B ，所以k 2＝m 2(x 2A －x 2

B )a 2(λ2x 2B －x 2A ).

基础问题5：如何求λ的取值？

由k 2

>0，得m 2(x 2A －x 2

B )a 2(λ2x 2B －x 2A )

>0，解得11

＋ 2.

[规范解答不失分]

依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为

C 1：x 2a 2＋y 2m 2＝1，C 2：x 2a 2＋y 2n 2＝1.其中a ＞m ＞n ＞0，λ＝m

n ＞1. 1分

(1)如图1，若直线l 与y 轴重合，则 |BD |＝|OB |＋|OD |＝m ＋n ，

|AB |＝|OA |－|OB |＝m －n ；S 1＝12|BD |·|OM |＝1

2

a |BD |，

S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |.所以S 1S 2＝|BD ||AB |＝m ＋n m －n ＝λ＋1λ－1， 3分

若S 1S 2＝λ，则λ＋1λ－1

＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0， 由λ＞1，可解得λ＝2＋1.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ＝2＋1.

5分

(2)法一：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k ＞0)，(Ⅰ)点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则

因为d 1＝|－ak －0|1＋k 2＝ak 1＋k 2，d 2

＝|ak －0|1＋k 2＝ak

1＋k 2

，所以d 1＝d 2. 6分 又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以S 1S 2＝|BD |

|AB |

＝λ，即|BD |＝λ|AB |.

由对称性可知|AB |＝|CD |，(Ⅱ)所以|BC |＝|BD |－|AB |＝(λ－1)|AB |，

|AD |＝|BD |＋|AB |＝(λ＋1)|AB |，于是|AD ||BC |＝λ＋1

λ－1

. ① 7分