积分恒等式及其在无穷级数求和中的应用

n= 0
∃ (% 0
1) d n (
n
2
!f ( x ) cos ( nx ) dx ) ,
0
由此得到积分恒等式
n= 1
∃!f ( x ) cos ( 2nx ) d x =
4
[ f ( 0) + f ( ) ] - 1 2
!f ( x ) dx ,
0
( 1)
即 D Alembert 判别法失效 . 可见定理 1 是正项级数 敛散性判别法的一个有效补充 .
[ f ( 0) + f ( ) ] - 1 4 2 4
!f ( x ) d x =
0
∃
%
n= 1
2 4 1 1 1 coth ( ) . 4 = lim[ 22 ( 2 )] = 0 6 n 2 2 90 %
( 1 + e2 ) - 1 ( e 2 - 1) , 4 1 m +
2
因此由式 ( 7) 可以求出 ∃ 1 2k ( k n= 1 n 是级数( 7) 及( 8 ) 的和可以求得.
10
高等数学研究
%
2010 年 5 月
n= 1
∃ (2
1) n 0 f ( x ) cos( nx ) dx = f( )- 1 2
!
公式 ( 4) , ( 5) , ( 6) ( 见[ 2 ] ) 在数学及工程领域经 常用到, 而很少在教材中看到有关它们的证明. ( 2) 若取 f ( x ) = e
2s- 2k- 2
1 [ 12k +2
%
( 8)
∃
1 m2 2x
2
=
).
( 4)
若取 f ( x ) = e2 x
n= 1
∃
%
1 = lim [ cot h( 0 2 n2
)-
2 1 . 2] = 2 6
!
2 ), e cos( 2nx ) dx = ( e 2 - 1 0 2( n + 2 )
再在 ( 7) 式中, 取 k = 1 , 由洛毕达法则得
V ol. 13, No . 3 M ay, 2010
高等数学研究 ST U DIES IN CO L LEG E M AT HEM A T I CS
9
积分恒等式及其在无穷级数求和中的应用
杨传富, 赵培标
( 南京理工大学应用数学系 , 南京 , 210094) 摘 要 借助 L 2 [ 0, ] 中标 准正交基展开理论 , 得到积分恒等式 , 然后运用这个积分恒等式 , 通过定积分计算 积分恒等式 ; 无穷级数和 ; 标准正交基 . 中图 分类号 O156. 2
A pplying t he t heory of or thonorm al basis, an ident it y o f int egrat ion is obt ained. With the help of t he int egrat ion ident it y, several new f ormulae on t he sum of ser ies are g iv en.
n
d0 = dn =
1
,
2 ( n ∀ 0) , n = 0 , 1, 2 , # L 2 [ 0, ]
是 L 2 [ 0 , ] 的标准正交基 , 而且对任意 f 有展开式 f ( x) = 特别地,
n= 0
L 2 [ 0 , ] 其内积为
!
f ( x ) g( x ) d x , 0
∃d
%
%
2 n
Abstract: Key Words:
ident ity of int eg ratio n; t he sum of series; ort honormal basis.
%
n= 1
∃
=
%
n= 1
∃
1 2k 2 n (n k
2
)
2
%
sin (
) cos (
) - 1 sin2 ( 2 1 cos ( 2 2 2 L 2 [ 0, ] , 则
),
利用 ( 1) 式可得
m= 1
1. cot ( )] - ∃ 2s ∃ 2 n s= 1 n= 1 在( 7) 式中 , 取 k = 0, 由洛毕达法则得
给出几个无穷级数和公式的简单证明 , 同时得到 一些新的无穷级数和公式 . 关键词
无穷级数是高等数学的重要内容, 而无穷级数求 和既是无穷级数中的重点又是难点 . 本文首先给出积 分恒等式 , 然后运用这个积分恒等式 , 给出了几个无 穷级数和公式的简单证明 , 最后得到了一些新的无穷 级数和公式. 在 L 2 [ 0, ] 中, 对任意 f , g ( f , g) = 函数列
N + ) 的和 , 于
利用 ( 1) 式, 可得
m= 1
公式 ( 1) - ( 8 ) 的推导主要依赖定积分计算, 并
2
∃
%
%
=
2
co t(
)-
1 . 2 2
x
( 5)
未涉及复杂的函数理论与大量数值计算, 因此本文为 一类复杂级数求和提供了一种简洁的方法 . 用同样方 法还可以得到其它一些级数和公式.
(
!f ( x ) cos ( nx ) dx ) co s( nx ) .
0
= d n cos( nx ) ,
f ( 0) = f( )=
n= 0
∃d
%
2 n
(
!f ( x ) cos( nx ) d x ) ,
0
收稿日期 : 2007 - 06 - 25; 修改日期 : 2008 - 10 - 20. 基金项目 : 南京理工大学教学改革项目资助 ( A B42640) 及南京理工大 学科研发展基金项目资助 ( XK F09042) . 作者简介 : 杨传 富 ( 1969 - ) , 男 , 安 徽六安人 , 博士 , 副教授 , 从事应用 数学研究 , Email: chu anf uyang@ t om. com; 赵培标 ( 1964 - ) , 男 , 安 徽怀远人 , 博士 , 教授 , 从 事应用数 学研究 , Em ail: pb zhao@ m ail . njust . edu. cn.
参考文 献 [ 1] 华东师范大学数学系 . 数学 分析 ( 下册 ) [ M ] . 3 版 . 北京 : 高等教育出版社 , 2006: 6- 17. [ 2] 赵树源 . 微积 分 [ M ] . 3 版 . 北 京 : 中 国人民 大学 出版 社 ,
2007: 279 - 285. [ 3] 周玉霞 . 关于正项 级数 敛散 性判 定的 一类 方法 [ J] . 大 学 数学 , 2006, 22( 1) : 109 - 110. [ 4] 钱伟懿 . 正项级数敛散性 一种 判别方 法 [ J] . 渤海 大学 学 报 ( 自然科学版 ) , 2008, 29( 2) : 155- 157. [ 5] 杨春玲 , 张传芳 . 正项 级数 比值 判别 法的 推广 [ J] . 高 等 数学研究 , 2008, 11( 3) : 20 - 23.
A Convergence Criterion for Series of Positive Terms
L IAN G F eng,
Abstract:
YIN Xiao Bin
( Dept. of M ath. , A nhui N o rmal U niversit y, W uhu 241000, P RC)
∃
%
1, n2s
∃
0
s= 1
f ( 2s- 1) ( ) - f (2s- 1) ( 0) n2s ),
∃
%
1 n (n +
2k 2
2 k
)
=
(- 1 ) k [ 2 2k+ 2
2s- 2k- 2
cot h (
) - 1] + ( 7)
若取 f ( x ) = sin ( 2 x )
L 2 [ 0 , ] , 因为 sin ( 2 n 2
!sin ( 2 x ) cos ( 2nx ) dx = 1 [ f ( 0) + f ( ) ] f ( x ) dx = 4 2!
0
1. n2 s 用 i ( i2 = - 1 ) 替换( 7) 式中的 , 可得
∃
(- 1) k+ s s= 1
参考文献
同理 , 若取 f ( x ) = sin ( x ) 或 f ( x ) = e , 分别 代入 ( 2) 式进行计算, 可得
n= 1
∃
%
(- 1) n- 1 = csc ( n2 - 2 2 (- 1) n2 +
n- 1 2
) - 12 , 2 ) . ( 6)
[ 1] 张 恭庆 , 林源渠 . 泛函 分析讲义 ( 上 册 ) [ M ] . 北京 : 北京 大 学 出版社 , 1999: 204 - 205. [ 2] 胡 国定 . 简明数学词典 [ M ] . 北京 : 科学出版社 , 2000: 644.
n= 1 2x
!f ( x ) d x ,
0
L [ 0, ] , 代入( 3 ) 式 , 得
2
若函数 f
C2k [ 0, ] , k
k
N + , 则对 ( 1) 式左边
∃
k
%
(n
2 2k
)k
积分项进行 2k 次分部积分, 得积分恒等式
n= 1
!e
0
2x
cos( 2nx ) dx =
∃
4
k
%
(- 1 ) ( 4 n2 ) k
Based on t he Compar ison T est and the converg ence of p series, t his paper g ives a
new convergence crit erion, w hich is parallel t o D Alembert s crit erion and Cauchy s crit erion, for series of posit ive t erms. Key Words: series of positive terms; Comparison T est ; D Alembert s crit erion; Cauchy s criterion.
n= 1
∃
=
1 2 2 2 sinh (
Integration Identity and Its Application in Series Summing
YANG Chuan F u, ZH AO Pei Biao
( Department of Applied M athematics, Nanjing U niver sity of Science and T echnology , Nanjing 210094, PRC)
!f
0
( 2k)
( x ) cos ( 2nx ) d x =
4
[ 1 + e2 ] - 1 ( e2 - 1 ) + 4 (- 1)
s 2s- 1
[ f ( 0) + f ( ) ] - 1 2 (- 1)
s- 1
!f ( x ) dx 0
∃
即 ( 3)
n= 1
s= 1
( e2 - 1) 2
n= 1