数列求和常用方法 ppt课件

例1 (2010年高考陕西卷)已知{an}是公差不为 零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数 列．
(1)求数列{an}的通项；
(2)求数列{2an}的前n项和Sn.
【思路点拨】 利用a1，a3，a9成等比数列，可 求公差d，从而得出an.
【解】 (1)由题设知公差 d≠0， 由 a1＝1，a1，a3，a9 成等比数列，得1＋12d＝11＋＋28dd， 解得 d＝1 或 d＝0(舍去)． 故{an}的通项 an＝1＋(n－1)×1＝n. (2)由(1)知 2an＝2n，由等比数列前 n 项和公式，
① －②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1 －n·22n＋1，
即 Sn＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．
6.并项法
•将数列的每两项(或多次)并到一起后，再 •求和，这种方法常适用于摆动数列的求和.
例六：Sn=12-22+32- 42 +…+(-1)n-1·n2
当n是偶数时，
Sn=(12-22)+(32-42)+…+［(n-1)2-n2］
=-3-7-…-(2n-1)= n ( n 1) .
2
当n是奇数时，
Sn=1+(32-22)+(52-42)+…+［n2-(n-1)2］ =1+5+9+…+(2n-1)= n ( n 1 ) .
2
故Sn=(-1)n-1n ( n 1 ) (n∈N*).
2
例5 (2010年高考课标全国卷改编)设等比 数列{an}满足a1＝2，a4＝128. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 【思路点拨】 利用公式求得an，再利用错位相 减法求Sn.
【解】 (1)因 a1＝2，a4＝128，∴q＝4， ∴an＝2×4n－1＝22n－1. (2)由 bn＝nan＝n·22n－1 知 Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1，① 从而 22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.②
【解】 Sn＝112＋214＋318＋…＋(n＋21n) ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(12＋14＋18＋…＋21n) ＝nn2＋1＋1－21n.
倒序相加法
是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法， 就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与 原数列相加，就可以得到n个 .
探究三：倒序相加法求和
a 1 (1 q n ) 1 q
=
aБайду номын сангаас anq 1 q
(q≠1)
1
(3)12+22+32+…+n2= 6 n(n+1)(2n+1)
.
(4)13+23+33+…+n3= 1 n2(n+1)2
4
.
课堂互动讲练
考点突破 公式法
如果所给数列是等差数列、等比数列或者经过适 当的变形所给数列可化为等差数列、等比数列， 从而可利用等差、等比数列的求和公式来求解．
得 Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝211－－22n＝2n＋1－2.
分组法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列 ，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等 比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即 可.
例2 求数列 112，214，318，…，(n＋21n)，…的前 n 项和． 【思路点拨】 数列{an}：an＝n＋21n可看作是由 等差数列{n}与等比数列{21n}对应项求和得到的， 因此，可拆分成两个数列：{n}，{21n}分别求和(用 公式)，再将两和相加即得．
【解】 (1)设等差数列{an}的公差为 d， 因为 a3＝7，a5＋a7＝26， 所以a21a＋1＋2d1＝0d＝7，26， 解得ad1＝＝23.， 所以 an＝3＋2(n－1)＝2n＋1， Sn＝3n＋nn2－1×2＝n2＋2n.
(2)由(1)知 an＝2n＋1， 所以 bn＝a2n－1 1＝2n＋112－1＝14·nn1＋1 ＝14·(n1－n＋1 1)， 所以 Tn＝14·(1－12＋12－13＋…＋n1－n＋1 1) ＝14·(1－n＋1 1)＝4nn＋1.
即数列{bn}的前 n 项和 Tn＝4nn＋1.
错位相减法
对于形如{anbn}的数列的前n项和Sn的求法(其中 {an}是等差数列，{bn}是等比数列)，可采用错位 相减法．具体解法是：Sn乘以某一个合适的常 数(一般情况下乘以数列{bn}的公比q)后，与Sn错 位相减，使其转化为等比数列问题来解．
例例 31.若 函 数 f(x) 1 ,计 算 f( n )f(n1 )的 值 ， 2x2
并 求 Tf( 5)f( 4)f(0)f(5)f(6).
解 ： f( n )f(n1) 1 1 2n2 2n 12
2n
12n
1 2 2n1
2
2n 2 1
(2n 2 1) 2
2. 2
Q T f ( 5 ) f ( 4 ) f ( 0 ) f ( 5 ) f ( 6 ) T f ( 6 ) f ( 5 ) f ( 1 ) f ( 4 ) f ( 5 )
例4 已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26， {an}的前n项和为Sn. (1)求an及Sn； (2)令 bn＝a2n－1 1(n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和
Tn. 【思路点拨】 由a3，a5＋a7的值可求a1，d，利 用公式可得an，Sn.对于{bn}，利用裂项变换，便 可求得Tn.
数列求和
掌握一些简单数列的求和方法
常用求和方法
• 1．公式法：直接应用等差数列，等比数列的前n项和公式， 以及正整数的平方和公式、立方和公式等进行求和．
常用的公式有：
(1)等差数列{an}的前n项和
Sn=
n(a1 an ) 2
= na1+
n(n 1) d
2
.
(2)等比数列{an}的前n项和
Sn=
2T
2 2
12,
即T 3 2.
裂项相消法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，
然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求
和的目的. 通项分解（裂项）如：
1 1 1 n(n1) n n1
1 1(1 1 ) n(nk) k n nk
1 1( nk n) nk n k