基于小波分析的图像处理报告
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题目：小波分析在图像处理中的应用
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目录
1 引言 (4)
2 小波分析的基本理论 (5)
2.1 概述 (5)
2.2 小波变换基础 (5)
2.3 离散小波变换 (8)
3 几种常用的小波 (9)
3.1 Haar小波 (9)
3.2 Daubechies（dbN）小波系 (9)
3.3 Biorthogonal（biorNr.Nd）小波系 (9)
3.4 Coiflet（coifN）小波系 (10)
3.5 SymletsA（symN）小波系 (10)
3.6 Mexican Hat（mexh）小波 (10)
3.7 Meyer函数 (10)
4．小波分析用于图像压缩 (12)
4.1 图像压缩概述 (12)
4.2 程序流程图 (13)
4.3 主要调用命令 (12)
5 小波分析用于图像去噪 (14)
5.1 图像去噪概述 (14)
5.2 主要调用命令 (15)
5.3 程序流程图 (15)
6 运行结果 (17)
6.1图像压缩结果 (17)
6.2 图像去噪结果 (18)
参考文献 (20)
附录 (21)
1 引言
小波分析属于时频分析的一种，传统的信号分析是建立在傅立叶变换的基础上的，由于傅立叶分析使用的是一种全局的变换，要么完全在时域，要么完全在时域，要么完全在频域，因此无法表述信号的时频局域性质，而这种性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、Gabor变换、时频分析、小波变换、分数阶傅立叶变换、线调频小波变换、循环统计量理论和调幅-调频信号分析等。其中，短时傅立叶变换和小波变换也是应传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数g（t）的一个短时间间隔内是平稳（伪平稳）的，并移动分析窗函数，使)
)(τ-t g t f在不同的有
(
限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。但从本质上讲，短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数。因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。
小波变换是一种信号的时间—尺度分析方法，它具有多分辨率分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变，但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的显微镜，利用连续小波变换进行动态系统故障检测与诊断具有良好的效果。
2 小波分析的基本理论
2.1 概述
小波分析是建立在泛函数分析、Fourier 分析、样条分析及调和分析基础上
的新的分析处理工具。它又被称为多分辨率分析，在时域和频域同时具有良好的局部化特性，常被誉为信号分析的“数学显微镜”。近十多年来，小波分析的理论和方法在信号处理、语言分析、模式识别、数据压缩、图像处理、数字水印、量子物理等专业和领域得到了广泛的应用。
近些年，小波分析被广泛用于图像的压缩、降噪、平滑和融合等方面，在人
脸识别、医学图像处理、机器人视觉、数字电视等领域受到人们越来越多的重视。基于二维小波分析进行图像处理具有坚实的理论基础，MATLAB 软件在小波工具箱中也提供了强大的图像处理功能，包括采用命令行和图形用户接口等。
2.2 小波变换基础
2.2.1一维连续小波变换
定义：设)()(2R L t ∈ψ，其傅立叶变换为)(ˆωψ
，当)(ˆωψ满足允许条件（完全重构条件或恒等分辨条件）
⎰=R d C ωωωψψ2
)(ˆ< ∞ (2.1) 时，我们称)(t ψ为一个基本小波或母小波。将母函数)(t ψ经伸缩和平移后得
)(1
)(,a
b t a t b a -=ψψ 0;,≠∈a R b a (2.2) 称其为一个小波序列。其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。对于任意的函数)()(2R L t f ∈的连续小波变换为
dt a b t t f a
f b a W R b a f )()(,),(2/1,->==<⎰-ψψ (2.3) 其重构公式（逆变换）为
⎰⎰∞∞-∞
∞--=dadb a b t b a W a C t f f )(),(11
)(2ψψ (2.4) 由于基小波)(t ψ生成的小波)(,t b a ψ在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的
作用，所以)(t ψ还应该满足一般函数的约束条件
⎰
∞∞-dt t )(ψ〈∞ (2.5) 故)(ˆωψ
是一个连续函数。这意味着，为了满足完全重构条件式，)(ˆωψ在原点必须等于0，即 0)()0(ˆ==⎰∞
∞-dt t ψψ (2.6) 为了使信号重构的实现在数值上是稳定的，处理完全重构条件外，还要求小波)(t ψ的傅立叶变化满足下面的稳定性条件：
∑∞∞--≤≤B A j 2
)2(ˆωψ