吉林大学微积分(高等数学)课件

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定义 2 设E是R的非空子集，如果存在常数
R( R )，满足条件
(1) 对一切x E都有x ( x )，即 ( )为 的E下界（上界）； 都存在x0 E , 使得 x0 ( x0 ), 则称 ( )为E的下 确 界 （上 确 界 ） . 数集E的下确界和上确界 分别记为
[a,) { x x a}
o
a
x o x
( , b) { x x b}
(,) { x x R} R
b
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4.邻域的定义
设 是任一正数, 则开区间(a , a ) 是 a 的一个邻域, 称为点a 的 邻域, 记作 U (a, ).
高等数学
吉林大学数学学院 杨 泰 山
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主要内容
第一章 预备知识 第二章 极限与连续函数 第三章 导数与微分 第四章 微分中值定理与导数的应用 第五章 不定积分 第六章 定积分 第七章 空间解析几何
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第一章 预备知识
§1 实 数 集 §2 函数 §3 常用逻辑符号简介
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§1 实 数 集
一、集合的概念与表示 二、集合的基本运算
(1) 列举法: 即把集合的全体元素一一列举.
例如 A {a1 , a2 ,, an };
(2) 描述法: 若集合M是由具有某种性质P 的元素的全体所组成, 写出其特性.
M { x x 具有性质 P }. 2 例 如 集合 B 是方程 x 1 0 的解集,
则集合 B { x x 1 0 }.
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定义1 设E是R的一个非空子集，如果存在 常数l(或L)，使得对一切x E都有 l x或xL， 则称数集E有下界(或有上界)，常数l(或L) 称为数集E的一个下界(或上界)，否则称 数集 E无下界或（无上界）. 如果数集E既 有下界又有上界，则称E有界，否则称E无界
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按照定义，如果数集E有界，则存在 常数l与L( l L)，使得对一切x E , 都有 l x L, 若取M m ax{l ， L }, 则有 x M . 显然，数集的上界和下 界不是唯一的.那么， 有下界（上界）的集合 是否存在最大下界 （最小上界）呢？由此 我们给出出确界的 概念.
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四.实数的完备性与确界公里
任何一个实数都对应数轴上唯一的一个 点，反之，数轴上任何一个点都有唯一的一 个实数与之对应，因此实数与数轴上的点是 一一对应的.实数集R中的数就像数轴上的点 一样，按照大小顺序排列，是连续不断地.实 数集的这个性质称为实数的完备性.任意两个 有理数之间都有无理数，任意两个无理数之 间都有无理数，任意两个无理数之间都有有 理数. 下面我们引进有界集与确界的概念.
即 A B { x x A 且 x B};
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由所有属于 A 而不属于B 的元素组 成的集合, 称为 A 与 B 的差集 (简称A 且 x B}.
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集合的并、交、补运算满足下列法则.
设 A、B、C 为任意三个集合 , 则有
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二、集合的基本运算
1. 集合的并、交、差
设 A、B 是两个集合, 由所有属于 A 或者属 于B 的元素组成的集合, 称为 A 与 B 的并集 (简称 并), 记作 A B,
即 A B { x x A 或 x B};
由所有既属于 A 又属于B 的元素组成的 集合, 称为 A 与 B 的交集 (简称交), 记作 A B,
o
a
b
x
a 和 b 称为开区间 (a , b) 的端点, a (a , b), b (a , b).
数集 { x a x b} 称为闭区间, 记作 [a, b],即
[a , b] { x a x b}.
o
a
a 和 b 称为闭区间[a, b] 的端点, a [a, b], b [a, b].
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2.直积(笛卡儿乘积)的定义
设 A、B 是任意两个集合, 在集合 A 中任 意取一个元素 x , 在集合 B 中任意取一个元素 y , 组成一个有序对( x , y ), 把这样的有序对作 为新的元素, 它们全体组成的集合称 为集合 A 与集合 B 的直积, 记为 A B , 即
A B {( x , y ) x A 且 y B}.
U (a , ) { x x a } { x a x a }.
a a a
x
点 a 叫做这个邻域的中心,
叫做这个邻域的半径 .
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去心邻域的定义: 点 a 的 邻域去掉中心 a 后, 称为 a 的去心
(1) 交换律:
A B B A, A B B A;
(2) 结合律: ( A B ) C A ( B C ),
( A B ) C A ( B C );
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(3) 结合律: ( A B ) C ( A C ) ( B C ), ( A B ) C ( A C ) ( B C );
例如 xOy面上全体点的集合,
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R R {( x, y ) x R, y R} R 2 .
3. 区间的定义
设 a 和 b 都是实数, 且 a b, 数集 { x a x b} 称为开区间 , 记作 (a , b), 即 (a , b) { x a x b}.
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3 数集间的关系
子集的定义:
设 A、B是两个集合, 如果集合 A 的元 素都是集合 B 的元素, 则称 A 是 B 的子集.
记作 A B 或 B A.
如果集合 A 与集合 B 互为子集, 即 A B 且 B A, 则称集合 A 与集合 B 相等, 记作 A B.
如果 A B 且 A B , 则称 A 是 B 的真子集 .
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研究某个问题时限定在 一个大的集合 U中 进行, 所研究的其他集合 A 都是 U 的子集, 此时, 称集合 U 为全 集, 称 U \ A 为 A 的 补集, 记作 A 或 A
C
例如实数集 R 中集合 A { x 0 x 1} 的
补集是 C A A { x x 0 或 x 1 }.
( 2) 对于任意给定 0的（无论它有多么小），
i n f E , su pE .
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1 1 1 例如，集合E 1, , , , 有下确 n 2 3 界 0，有上确界1.集合N {0,1,2, n, }有下 确界0，但没有上确界. 关于上下确界，我们给出如下的确界 公理. 确 界 公 理 任何非空有下界（上界）的 数集必有下确界（上确界） .
(4) 对偶律:
A B A B, ( A B) A C
C C
C
( A B) A B, ( A B) A B .
C C C
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三、常见的几类实数集
1.数集的习惯表示法
标上“+”表示该数集内排除0与负数的集. 自然数集 N {0,1,2,, n,}; 正整数集 N {1,2,, n,}; 整数集 Z {, n,,2,1, 0, 1, 2,, n,}; p 有理数集Q p Z, q N 且 p 与 q 互质; q 实数集 R; 正实数集 R .
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b
x
类似地可定义半开区间:
[a , b) { x a x b},(a , b] { x a x b}. (a , b)、 (a , b]、 [a , b). 有限区间 [a , b]、
区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
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无限区间
在数轴上，负半轴方向上的无穷远点记为 ，读作负无穷大或负无穷；正半轴方向上 的无穷远点记为+，读作正无穷大或正无穷. 与 +都不是具体的数.
邻域 , 记作 U (a , ),即
U (a , ) { x 0 x a }.
开区间 (a , a ) 称为 a 的左 邻域 , 开区间 (a , a ) 称为 a 的右 邻域 .
o
o
两个闭区间的直积表示xOy 平面上的矩形区域.
例如 [a, b] [c, d ] {( x, y ) x [a, b], y [c, d ]}.
如果 a 是集合 A 的元素, 称 a 属于A, 记为 a A;
如果 a 不是集合 A 的元素, 称 a 不属于A, 记为 a A 或 a A; 如果集合中只有有限多个元素, 则称为有 限集, 不含任何元素的集合称为空集，记为； 既不是有限集又不是空集的集合称为无限集.
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2.集合的常用表示法
三、常见的几类实数集 四、实数的完备性与确界公里
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一、集合的概念与表示
1. 集合(set)的概念
实例 一间教室里的学生构成一个集合; 一个书柜里的书构成一个集合; 全体实数构成一个集合. 具有某种特定性质的事物或对象的总体 称为集合. 组成这个集合的事物或对象称为集合 的元素.
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通常用 A, B , C , 表示集合 , 用a , b, c , 表示集 合的元素.