【03】“缩放圆”、“转动圆”(或“轨迹圆心圆”)

高三物理专题：“缩放圆”、“转动圆”（或“轨迹圆心圆”）

（一） 缩放圆 带电粒子以任意速度、沿特定方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径随速度的变化而变化，如图所示，(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 0越大，运动半径也越大．可以发现这样的粒子源产生的粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP ′上．由此我们可得到一种确定临界条件的方法：在确定这类粒子运动的临界条件时，可以以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，使问题迎刃而解，这种方法称为“放缩法”．

或者

1. 若磁感应强度为B 的匀强磁场仅存在于第一象限（如图2），一带负电的粒子（质量为m ,带电量为q ）从距原点O 为d 的A 点射入。若粒子射入的方向不变，要使粒子不能从x 轴射出，则粒子的速度不能超过多少？

【解析】作图如图所示，由sin r r d θ+=，2

v qvB m r

=，解得：()1sin qBd v m θ=+。 2．如图所示，宽度为d 的匀强有界磁场，磁感应强度为B ，MM ′和NN ′是磁场左右的两条边界线．现有一质量为m ，电荷量为q 的带正电粒子沿图示方向垂直射入磁场中，θ＝45°.要使粒子不能从右边界NN ′射出，求粒子入射速率的最大值为多少？

【解析】用放缩法作出带电粒子运动的轨迹如题图所示，当其运动轨迹与NN ′边界线相切于P 点时，这就是具有最大入射速率v max 的粒子的轨迹．由题图可知：

R (1－cos 45°)＝d ，又Bqv max ＝2max v m R

联立可得：v max ＝22Bqd m

3．如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B ，宽度为d ，边界为CD 和EF .一电子从CD 边界外侧以速率v 0垂直匀强磁场射入，入射方向与CD 边界间夹角为θ.已知电子的质量为m ，电荷量为e ，为使电子能从磁场的另一侧EF 射出，求电子的速率v 0至少多大？

【解析】当入射速率v 0很小时，电子会在磁场中转动一段圆弧后又从CD 一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道的边界与EF 相切时，电子恰好不能从EF 射出，如图所示．

电子恰好射出时，由几何知识可得：r ＋r cos θ＝d ①

又r ＝0mv Be

② 由①②得： 0

1cos Bed

v m ③ 故电子要射出磁场时速率至少应为1cos Bed

m .

4. 在一空心圆柱面内有一垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B ，其横截面如图所示，磁场边界为同心圆，内、外半径分别为r 和(＋1)r . 圆心处有一粒子源不断地沿半径方向射出质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，不计粒子重力．为使这些粒子不射出磁场外边界，粒子从圆心处射出时速度不能超过

【答案】A

【解析】如图所示，带电粒子不从磁场中穿出，其临界条件是带电粒子在磁场中的运动轨迹应与外圆相切，所以2＋1)r －r x ]2＝r 2＋ r 2 x ，解上式可得r x ＝r ，又由r x ＝mv qB ，可得，

选项A正确。

（二）转动圆（或“轨迹圆心圆”）

带电粒子以一定速度、沿任意方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝mv0/(qB)，如图所示．同时可发现这样的粒子源的粒子射入磁场后，粒子在磁场中做匀速圆周运动，圆心在以入射点P 为圆心、半径R＝mv0/(qB)的圆(这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心圆”)上．

由此我们也可以得到一种确定临界条件的方法：确定这类粒子在有界磁场中运动的临界条件时，可以将一半径为R＝mv0/(qB)的圆沿着“轨迹圆心圆”平移，从而探索出临界条件，这种方法称为“平移法”．

5. 在真空中半径为r=3cm的圆形区域内有一磁感应强度为B=0.2T的匀强磁场，方向如图3所示。一带正电的粒子以v=1.2×106m/s的初速度从磁场边界直径ab的a端射入磁场。已知该粒子的比荷为q/m=108C/kg不计粒子重力，则粒子射入磁场的速度方向与ab夹角为多少时，在磁场中运动时间最长。

6. 如图4甲，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。不计重力，不计粒子间相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R=mv/qB。图乙中哪个是正确的？

（三）练习题

7．在y >0的区域内存在匀强磁场，磁场垂直于xOy 平面向外，原点O 处有一离子源，沿各个方向射出速率相等的同价负离子，对于进入磁场区域的离子，它们在磁场中做圆周运动的圆心所在的轨迹可用下图给出的四个半圆中的一个来表示，其中正确的是( )

【答案】C

8. 如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B ＝0.60 T ，磁场内有一块平面感光板ab ，板面与磁场方向平行，在距ab 的距离l ＝16 cm 处，有一个点状的α放射源S ，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速率都是v ＝3.0×106 m/s.已知α粒子的电荷量与质量之比q m ＝5.0×107 C/kg ，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab 上被α粒子打中的区域的长度． 【解析】α粒子从S 点垂直磁场以一定大小的速度朝各个方向射入，在磁场中均沿逆时针方

向做匀速圆周运动，可求出它们的运动轨迹半径R ，由qvB ＝mv 2/R ，得R ＝/v q m B

，代入数值得R ＝10 cm ，可见2R ＞l ＞R . 由于朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S ，可先考查速度沿负y 方向的α粒子，其轨迹圆心在x 轴上的A 1点，将α粒子运动轨迹的圆心A 1点开始，沿着“轨迹圆心圆”逆时针方向移动，如右图所示．由图可知，当轨迹圆的圆心移至A 3点时，粒子运动轨迹与ab 相交处P 2到S 的距离为2R ，P 2即为粒子打中ab 上区域的右边最远点．由题中几何关系得： 2222NP R l ；当α粒子的轨迹的圆心由A 3点移至A 4点的过程中，粒子运动轨迹均会与ab 相交，当移到A 4点后将不再与ab 相交了，这说明圆心位于A 4点的轨迹圆，与ab 相切的P 1点为粒子打中区域的左边最远点．可过A 4点作平行于ab 的直线cd ，再过A 4作ab 的垂线，它与ab 的交点即为P 1，同样由几何关系可知： NP 1＝22R l R 。则所求长度为P 1P 2＝NP 1＋NP 2，代入数值得P 1P 2＝20 cm.

9.如图所示，在半径为R 的圆形区域内，有匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直于圆平面

(未画出)．一群比荷为q m

的负离子体以相同速率v 0(较大)，由P 点在纸平面内向不同方向射入磁场中发生偏转后，又飞出磁场，则下列说法正确的是(不计重力)

A ．离子飞出磁场时的动能一定相等

B ．离子在磁场中运动半径一定相等