【03】“缩放圆”、“转动圆”(或“轨迹圆心圆”)

高三物理专题：“缩放圆”、“转动圆”（或“轨迹圆心圆”）
（一） 缩放圆 带电粒子以任意速度、沿特定方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径随速度的变化而变化，如图所示，(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 0越大，运动半径也越大．可以发现这样的粒子源产生的粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP ′上．由此我们可得到一种确定临界条件的方法：在确定这类粒子运动的临界条件时，可以以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，使问题迎刃而解，这种方法称为“放缩法”．
或者
1. 若磁感应强度为B 的匀强磁场仅存在于第一象限（如图2），一带负电的粒子（质量为m ,带电量为q ）从距原点O 为d 的A 点射入。

若粒子射入的方向不变，要使粒子不能从x 轴射出，则粒子的速度不能超过多少？
【解析】作图如图所示，由sin r r d θ+=，2
v qvB m r
=，解得：()1sin qBd v m θ=+。

2．如图所示，宽度为d 的匀强有界磁场，磁感应强度为B ，MM ′和NN ′是磁场左右的两条边界线．现有一质量为m ，电荷量为q 的带正电粒子沿图示方向垂直射入磁场中，θ＝45°.要使粒子不能从右边界NN ′射出，求粒子入射速率的最大值为多少？
【解析】用放缩法作出带电粒子运动的轨迹如题图所示，当其运动轨迹与NN ′边界线相切于P 点时，这就是具有最大入射速率v max 的粒子的轨迹．由题图可知：
R (1－cos 45°)＝d ，又Bqv max ＝2max v m R
联立可得：v max ＝22Bqd m
3．如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B ，宽度为d ，边界为CD 和EF .一电子从CD 边界外侧以速率v 0垂直匀强磁场射入，入射方向与CD 边界间夹角为θ.已知电子的质量为m ，电荷量为e ，为使电子能从磁场的另一侧EF 射出，求电子的速率v 0至少多大？
【解析】当入射速率v 0很小时，电子会在磁场中转动一段圆弧后又从CD 一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道的边界与EF 相切时，电子恰好不能从EF 射出，如图所示．
电子恰好射出时，由几何知识可得：r ＋r cos θ＝d ①
又r ＝0mv Be
② 由①②得： 0
1cos Bed
v m ③ 故电子要射出磁场时速率至少应为1cos Bed
m .
4. 在一空心圆柱面内有一垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B ，其横截面如图所示，磁场边界为同心圆，内、外半径分别为r 和(＋1)r . 圆心处有一粒子源不断地沿半径方向射出质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，不计粒子重力．为使这些粒子不射出磁场外边界，粒子从圆心处射出时速度不能超过
【答案】A
【解析】如图所示，带电粒子不从磁场中穿出，其临界条件是带电粒子在磁场中的运动轨迹应与外圆相切，所以2＋1)r －r x ]2＝r 2＋ r 2 x ，解上式可得r x ＝r ，又由r x ＝mv qB ，可得，
选项A正确。

（二）转动圆（或“轨迹圆心圆”）
带电粒子以一定速度、沿任意方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝mv0/(qB)，如图所示．同时可发现这样的粒子源的粒子射入磁场后，粒子在磁场中做匀速圆周运动，圆心在以入射点P 为圆心、半径R＝mv0/(qB)的圆(这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心圆”)上．
由此我们也可以得到一种确定临界条件的方法：确定这类粒子在有界磁场中运动的临界条件时，可以将一半径为R＝mv0/(qB)的圆沿着“轨迹圆心圆”平移，从而探索出临界条件，这种方法称为“平移法”．
5. 在真空中半径为r=3cm的圆形区域内有一磁感应强度为B=0.2T的匀强磁场，方向如图3所示。

一带正电的粒子以v=1.2×106m/s的初速度从磁场边界直径ab的a端射入磁场。

已知该粒子的比荷为q/m=108C/kg不计粒子重力，则粒子射入磁场的速度方向与ab夹角为多少时，在磁场中运动时间最长。

6. 如图4甲，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。

许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。

不计重力，不计粒子间相互影响。

下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R=mv/qB。

图乙中哪个是正确的？
（三）练习题
7．在y >0的区域内存在匀强磁场，磁场垂直于xOy 平面向外，原点O 处有一离子源，沿各个方向射出速率相等的同价负离子，对于进入磁场区域的离子，它们在磁场中做圆周运动的圆心所在的轨迹可用下图给出的四个半圆中的一个来表示，其中正确的是( )
【答案】C
8. 如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B ＝0.60 T ，磁场内有一块平面感光板ab ，板面与磁场方向平行，在距ab 的距离l ＝16 cm 处，有一个点状的α放射源S ，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速率都是v ＝3.0×106 m/s.已知α粒子的电荷量与质量之比q m ＝5.0×107 C/kg ，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab 上被α粒子打中的区域的长度． 【解析】α粒子从S 点垂直磁场以一定大小的速度朝各个方向射入，在磁场中均沿逆时针方
向做匀速圆周运动，可求出它们的运动轨迹半径R ，由qvB ＝mv 2/R ，得R ＝/v q m B
，代入数值得R ＝10 cm ，可见2R ＞l ＞R . 由于朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S ，可先考查速度沿负y 方向的α粒子，其轨迹圆心在x 轴上的A 1点，将α粒子运动轨迹的圆心A 1点开始，沿着“轨迹圆心圆”逆时针方向移动，如右图所示．由图可知，当轨迹圆的圆心移至A 3点时，粒子运动轨迹与ab 相交处P 2到S 的距离为2R ，P 2即为粒子打中ab 上区域的右边最远点．由题中几何关系得： 2222NP R l ；当α粒子的轨迹的圆心由A 3点移至A 4点的过程中，粒子运动轨迹均会与ab 相交，当移到A 4点后将不再与ab 相交了，这说明圆心位于A 4点的轨迹圆，与ab 相切的P 1点为粒子打中区域的左边最远点．可过A 4点作平行于ab 的直线cd ，再过A 4作ab 的垂线，它与ab 的交点即为P 1，同样由几何关系可知： NP 1＝22R l R 。

则所求长度为P 1P 2＝NP 1＋NP 2，代入数值得P 1P 2＝20 cm.
9.如图所示，在半径为R 的圆形区域内，有匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直于圆平面
(未画出)．一群比荷为q m
的负离子体以相同速率v 0(较大)，由P 点在纸平面内向不同方向射入磁场中发生偏转后，又飞出磁场，则下列说法正确的是(不计重力)
A ．离子飞出磁场时的动能一定相等
B ．离子在磁场中运动半径一定相等
C ．由Q 点飞出的离子在磁场中运动的时间最长
D ．沿PQ 方向射入的离子飞出时偏转角最大
【解析】射入磁场的粒子比荷相等，但质量不一定相等，故射入时初动能可能不等，又因为磁场对电荷的洛伦兹力不做功，故这些粒子从射入到射出动能不变，但不同粒子的动能可
能不等，A 项错误．粒子在磁场中偏转的半径为r ＝mv qB ，由于比荷和速度都相等，磁感应强度B 为定值，故所有粒子的偏转半径都相等，B 正确．同时各粒子在磁场中做圆周运动的周期T ＝2πm qB
，也相等，根据几何规律：圆内，较长的弦对应较大的圆心角，所以从Q 点射出的粒子偏转角最大，在磁场内运动的时间最长，C 对．沿PQ 方向射入的粒子不可能从Q 点射出，故偏角不最大，D 错，选BC.
10．(2009·北京西城模拟)如图所示，在x 轴上方的空间存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B .许多相同的离子，以相同的速率v ，由O 点沿纸面向各个方向(y >0)射入磁场区域．不计离子所受重力，不计离子间的相互影响．图中曲线表示离子运动的区域边界，其中边界与y 轴交点为M ，边界与x 轴交点为N ，且OM ＝ON ＝L .由此可判断
A ．这些离子是带负电的
B ．这些离子运动的轨道半径为L
C ．这些离子的荷质比为q m ＝v LB
D ．当离子沿y 轴正方向射入磁场时会经过N 点 【答案】D
【解析】根据左手定则，离子带正电，A 项错误；由图可知，粒子轨道半径为12
L ，B 项错误；再根据qvB ＝mv 212
L ，q m ＝2v LB ，C 项错误；由于ON ＝L ，粒子半径为12L ，ON 恰好为粒子圆周运动直径，故D 项正确．
11.如图所示，在屏MN 的上方有磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．P 为屏上的一个小孔．PC 与MN 垂直．一群质量为m 、带电量为－q 的粒子(不计重力)，以相同的速率v ，从P 处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域．粒子入射方向在与磁场B 垂直的平面内，且散开在与PC 夹角为θ的范围内．则在屏MN 上被粒子打中的区域的长度为
A.2mv qB
B.2mv cos θqB
C.2mv (1－sin θ)qB
D.2mv (1－cos θ)qB
【答案】D
【解析】由图可知。

沿PC 方向射入磁场中的带负电的粒子打在MN 上的点离P 点最远，为PR ＝2mv Bq
，沿两边界线射入磁场中的带负电的粒子打在MN 上的点离P 点最近为：PQ ＝2mv Bq
cos θ，故在屏MN 上被粒子打中的区域的长度为：QR ＝PR －PQ ＝2mv (1－cos θ)qB
，选项D 正确．
12．(2013·高考广东卷)如图，两个初速度大小相同的同种离子a 和b ，从O 点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏P 上．不计重力．下列说法正确的有( )
A ．a 、b 均带正电
B ．a 在磁场中飞行的时间比b 的短
C ．a 在磁场中飞行的路程比b 的短
D ．a 在P 上的落点与O 点的距离比b 的近
【解析】选AD.带电离子垂直进入匀强磁场，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动．根据洛
伦兹力提供向心力和周期公式T ＝2πm qB 、半径公式r ＝mυqB 及t θ＝T 2π
解决问题． 带电离子打到屏P 上，说明带电离子向下偏转，根据左手定则，a 、b 两离子均带正电，
选项A 正确；a 、b 两离子垂直进入磁场的初速度大小相同，电荷量、质量相等，由r ＝mυqB
知半径相同．b 在磁场中运动了半个圆周，a 的运动大于半个圆周，故a 在P 上的落点与O 的
距离比b 的近，飞行的路程比b 长，选项C 错误，选项D 正确；根据t θ＝T 2π
知，a 在磁场中飞行的时间比b 的长，选项B 错误．
【解析】此题考查的是“定心判径画轨迹”，a 、b 粒子做圆周运动的半径都为R ＝mv qB
，画出轨迹如图所示。

圆O 1、O 2分别为b 、a 的轨迹，a 在磁场中转过的圆心角大，由t ＝θ2πT ＝θm qB
和轨迹图可知A 、D 选项正确．
13. 如图所示，在真空中半径r ＝3.0×10－2 m 的圆形区域内，有磁感应强度B ＝0.2 T ，方向如
图的匀强磁场，一批带正电的粒子以初速度v 0＝1.0×106 m/s ，从磁场边界上直径ab 的一端a 沿着各个方向射入磁场，且初速度方向与磁场方向都垂直，该粒子的比荷为q /m ＝1.0×108 C/kg ，不计粒子重力．求：
(1)粒子的轨迹半径；
(2)粒子在磁场中运动的最长时间；
(3)若射入磁场的速度改为v 0′＝3.0×105 m/s ，其他条件不变，试用斜线画出该批粒子在磁场中可能出现的区域．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
【解析】(1)由牛顿第二定律可求得粒子在磁场中运动的半径．
qv 0B ＝m v 20R ，R ＝mv 0qB
＝5.0×10－2 m. (2)由于R >r ，要使粒子在磁场中运动的时间最长，则粒子在磁场中运动的圆弧所对应的弧长最长，从右图中可以看出，以直径ab 为弦、R 为半径所作的圆周，粒子运动时间最长，
T ＝2πm qB ，运动时间t m ＝2α2π×T ＝2α·m qB
， 又sin α＝r R ＝35
，所以t m ＝6.5×10－8 s. (3)R ′＝mv 0′qB
＝1.5×10－2 m ，粒子在磁场中可能出现的区域见答案图所示(以aO 为直径的半圆加上以a 为圆心，aO 为半径所作圆与磁场相交的部分)．
(3)
14．人们到医院检查身体时，其中有一项就是做胸透，做胸透用的是X 光，我们可以把做胸透的原理等效如下：如图所示，P 是一个放射源，从开口处在纸面内向各个方向放出某种粒子(不计重力)，而这些粒子最终必须全部垂直射到底片MN 这一有效区域，并要求底片MN 上每一地方都有粒子到达．假若放射源所放出的是质量为m 、电荷量为q 的带正电的粒子，且所有的粒子速率都是v ，M 与放射源的出口在同一水平面上，底片MN 竖直放置，底片MN 长为L .为了实现上述目的，我们必须在P 的出口处放置一有界匀强磁场．求：
(1)匀强磁场的方向；
(2)画出所需最小有界匀强磁场的区域，并用阴影表示；
(3)匀强磁场的磁感应强度B 的大小以及最小有界匀强磁场的面积S.
【解析】(1)匀强磁场的方向为垂直纸面向外．
(2)最小有界磁场如答案图所示．
(3)要想使所有的粒子都最终水平向右运动，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径必须与最小圆形有界匀强磁场的半径大小一致所以有：R ＝L /2
根据牛顿第二定律：2
mv qvB R ，mv R qB
联立解得：2mv B qL 。

如答案图所示，有界磁场的最小面积为：24
L S 。

15．在xOy 平面内有许多电子(质量为m ，电荷量为e )从坐标原点O 不断以相同大小的速度v 0沿不同的方向射入第一象限，如图所示．现加上一个垂直于xOy 平面向里的磁感应强度为B 的匀强磁场，要求这些电子穿过该磁场后都能平行于x 轴向x 轴正方向运动，试求出符合条件的磁场的最小面积．
【解析】所有电子在所求的匀强磁场中均做匀速圆周运动，由ev 0B ＝m v 20R ，得半径为R ＝mv 0eB
. 设与x 轴正向成α角入射的电子从坐标为(x ，y )的P 点射出磁场，
则有x 2＋(R －y )2＝R 2①
①式即为电子离开磁场的下边界b 的表达式，当α＝90°时，电子的运动轨迹为磁场的上边界a ，其表达式为：(R －x )2＋y 2＝R 2②
由①②式所确定的面积就是磁场的最小范围，如图所示， 其面积为
S ＝2⎝⎛⎭⎫πR 24－R 22＝π－22⎝⎛⎭⎫mv 0eB 2.
16.（2010年·全国卷Ⅰ·26·21分）如下图，在0≤x ≤3a 区域内存在与xy 平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B .在t =0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy 平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y 轴正方向的夹角分布在0～180°范围内。

已知沿y 轴正方向发射的粒子在t =t 0时刻刚好从磁场边界上P (3a ，a )点离开磁场。

求：
⑴在磁场中做圆周运动的半径R 及粒子的比荷q /m ；
⑵时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y 轴正方向夹角的取值范围；
⑶粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。

【答案】⑴R 23、023q m Bt π=； ⑵速度与y 轴的正方向的夹角范围是60°到120°；
⑶从粒子发射到全部离开所用时间为2t 0。

【解析】⑴初速度与y ，轴正方向平行的粒子在磁场中的运动轨迹如图中的弧OP 所示，其
圆心为C 。

由题给条件可以得出
∠OCP =23π .................................... ① 此粒子飞出磁场所用的时间为
t 0 = 3T .............................................. ② 式中T 为粒子做圆周运动的周期。

设粒子运动速度的大小为υ，半径为R ，由几何关系可得
R =233
a ............................................ ③ 由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
qB υ =2
m R
υ ........................................ ④ T =2R πυ
.......................................... ⑤ 联立②③④⑤式，得
23q m Bt π= .......................................... ⑥ ⑵依题意，同一时刻仍在磁场内的粒子到O 点距离相同。

在t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以O 点为圆心、OP 为半径的弧MN 上，如图所示。

设此时位于P 、M 、N 三点的粒子的初速度分别为υP 、υM 、υN 。

由对称性可知υP 与OP 、υM 与OM 、υN 与ON 的夹角均为π/3。

设υM 、υN 与y 轴正向的夹角分别为θM 、θN ，由几何关系有
θM =3
π ................................................. ⑦ θN =23
π ............................................... ⑧ 对于所有此时仍在磁场中的粒子，其初速度与y ，轴正方向所成的夹角θ应满足
3π≤θ≤23
π ......................................... ⑨ ⑶在磁场中飞行时间最长的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切，其轨迹如图2所示。

由几何关系可知，
OM =OP ...................................... ⑩ 由对称性可知，
ME=OP........................................... ⑪从粒子发射到全部粒子飞出磁场所用的时间
t m = 2t0......................................... ⑫17．如图所示，平行于直角坐标系y轴的PQ是用特殊材料制成的，只能让垂直打到PQ界面上的电子通过．其左侧有一直角三角形区域，分布着方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，其右侧有竖直向上场强为E的匀强电场．现有速率不同的电子在纸面上从坐标原点O沿不同方向射到三角形区域，不考虑电子间的相互作用．已知电子的电量为e，质量为m，在△OAC中，OA＝a，θ＝60°.求：
(1)能通过PQ界面的电子所具有的最大速度是多少；
(2)在PQ右侧x轴上什么范围内能接收到电子．
11。