数值分析第五版李庆扬王能超课件第3章(3)
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b a k 0
k 0 n
等式成立*/
b a
x f ( x)dx x P( x)dx x [ f ( x) P( x)]dx
a a
b
b
Q：什么样的插值多项式在 x0 … xn 上有 2n+1 阶？ 插值多项式的余项 A：Hermite 多项式！ 满足 H ( xk ) f ( xk ), H ( xk ) f ( xk )
3 A0 x0 + A1 x13
x0 0.8212 x1 0.2899 A0 0.3891 A1 0.2776
定理 x0 … xn 为 Gauss 点 n+1 ( x) ( x xk ) 与任意次数
不大于n 的多项式 P(x) （带权）ρ (x) 正交。 x0 … xn 为 Gauss 点, 则公式 a ( x ) f ( x )dx Ak f ( xk ) 证明： “” k 0 至少有 2n+1 次代数精度。 求 Gauss 点 求 对任意次数不大于n 的多项式 Pm(x)， Pm(x) ωn+1(x)的 ωn+1(x) 次数不大于2n+1，则代入公式应精确成立： n 0 b a ( x) Pm ( x)n+1 ( x)dx Ak Pm ( xk )n+1 ( xk ) = 0
0
b
n
a
( x)Pm ( x)dx ( x)n+1 (x)q(x )dx + (x )r (x )dx Ak r ( xk )
a
Ak Pm ( xk )
k 0
n
k 0
1.2
正交多项式
正交多项式族{ 0, 1, …, n, … }有性质： 任意次数不大于n 的多项式 P(x) 必与n+1 正交。 若取 w(x) 为其中的n+1，则n+1的根就是 Gauss 点。
0
1
x f ( x)dx A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 ) ，应有 3 次代数精度。
2 3 2 5 2 7 2 9
代入 f (x) = 1, x, x2, x3 不是线性方程组， 不易求解。
A0 + A1 A0 x0 + A1 x1 2 A0 x0 + A1 x12
第三讲
§1. 高斯求积公式
§1.高斯求积公式 拉格朗日插值
2.1 拉格朗日插值 高斯求积公式
2.2
正交多项式
2.1 拉格朗日插值 2.3 高斯求积公式余项
权函数 构造具有2n+1次代数精度的求积公式求 n b ( x ) f ( x )dx Ak f ( xk )
a k 0
1.1 高斯求积公式
1 dk 2 k Pk ( x ) k ( x 1 ) 2 k ! dxk
(k + 1) Pk +1 (2k + 1) xP 1, P1 x 有递推 由 P0的奇点，用普通 Newton-Cotes 公 k kP k 1 式在端点会出问题。而 Gauss公 以 Pn+1 的根为节点的求积公式称为 Gauss-Legendre 公式。 式可能避免此问题的发生。 1 ② Chebyshev 多项式族： 定义在[1, 1]上， ( x ) 2
bຫໍສະໝຸດ Baidun
n
k 0
k 0
“” 要证明 x0 … xn 为 Gauss 点，即要证公式对任意次 数不大于2n+1 的多项式 Pm(x) 精确成立，即证明：
b
a
b
( x ) Pm ( x )dx Ak Pm ( xk )
k 0 b
a
n
设P m ( x) n +1 ( x)q ( x ) + r ( x )
将节点 x0 … xn 以及系数 A0 … An 都作为待定系数。 令 f (x) = 1, x, x2, …, x2n+1 代入可求解，得到的公式 具有2n+1 次代数精度。这样的节点称为Gauss 点， 公式称为Gauss 型求积公式。
例：求
解：设
1
0
x f ( x )dx 的 2 点 Gauss 公式。
与真值相比，Gauss-Legendre求积公式具有较高的代数精度。
R[ f ] x f ( x)dx Ak f ( xk )/* 设P为f 的过x0 … xn的插值多项式 */
b a
n
1.3
高斯求积公式余项
x f ( x)dx Ak P( xk ) /*只要P 的阶数不大于2n+1，则下一步
R[ f ] x [ f ( x) H ( x)]dx
a
b
b a
f (2 n +1) ( x ) 2 ( x) x dx (2n + 2)!
f (2 n +1) ( ) (2n + 2)!
b a
2 ( x) x dx,
( a, b)
0 满足： ( Pk , Pl ) 2 2 k +1 注意到积分端点 1 可能是积分
kl kl
Tk ( x) cos (k arccosx)
以此为节点构造公式
1 x 2k + 1 Tn+1 的根为 x cos k 2n + 2 k = 0, …, n
再解上例：0 x f ( x)dx A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
Step 1：构造正交多项式2
1
设 0 ( x) 1, 1 ( x) x + a, 2 ( x) x 2 + bx + c
( 0 ,1 ) 0
1 0
x ( x + a )dx 0 a
利用此公式计算
1
0
xe x dx的值
1
0
xe x dx A0e x0 + A1e x1 0.3891 e0.8212 + 0.2776 e0.2899 1.2555
注：构造正交多项式也可以参考第五版第三章
特殊正交多项式族：
1.2
正交多项式
① Legendre 多项式族： 定义在[1, 1]上， ( x ) 1
3 5
( 0 ,1 ) 0 ( 1 , 2 ) 0
2
1 0 1 0
x ( x + bx + c )dx 0
2
10 5 即： 2 ( x ) x x + 9 21
3 x ( x )( x + bx + c )dx 0 5
10 9 5 c 21
b
2
1
1 1 x
1
f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
n
称为 Gauss-Chebyshev 公式。
1.2
正交多项式
例：试用Gauss-Legendre求积公式，计算定积分 21 I dx 1 x 1 3 1 1 x + t 解：令 ，则 I dt 1 t + 3 2 2 I = Ln2 = 0.69314718 （1）当n+1=3时， 5 1 1 8 1 I I3 ( + )+ 9 0.7745966692 + 3 0.7745966692 +3 9 0+3 0.693121693 （2）当n+1=5时，I I 5 0.69314757
Step 2：求2 = 0 的 2 个根，即为 Gauss 点 x0 ，x1
1.2
正交多项式
x0;1
10 / 9 (10 / 9)2 20 / 21 解线性方程组， 2 简单。
Step 3：代入 f (x) = 1, x 以求解 A0 ，A1
, A1 0.2776 结果与前一方法相同：x0 0.8212, x1 0.2899, A0 0.3891
k 0 n
等式成立*/
b a
x f ( x)dx x P( x)dx x [ f ( x) P( x)]dx
a a
b
b
Q：什么样的插值多项式在 x0 … xn 上有 2n+1 阶？ 插值多项式的余项 A：Hermite 多项式！ 满足 H ( xk ) f ( xk ), H ( xk ) f ( xk )
3 A0 x0 + A1 x13
x0 0.8212 x1 0.2899 A0 0.3891 A1 0.2776
定理 x0 … xn 为 Gauss 点 n+1 ( x) ( x xk ) 与任意次数
不大于n 的多项式 P(x) （带权）ρ (x) 正交。 x0 … xn 为 Gauss 点, 则公式 a ( x ) f ( x )dx Ak f ( xk ) 证明： “” k 0 至少有 2n+1 次代数精度。 求 Gauss 点 求 对任意次数不大于n 的多项式 Pm(x)， Pm(x) ωn+1(x)的 ωn+1(x) 次数不大于2n+1，则代入公式应精确成立： n 0 b a ( x) Pm ( x)n+1 ( x)dx Ak Pm ( xk )n+1 ( xk ) = 0
0
b
n
a
( x)Pm ( x)dx ( x)n+1 (x)q(x )dx + (x )r (x )dx Ak r ( xk )
a
Ak Pm ( xk )
k 0
n
k 0
1.2
正交多项式
正交多项式族{ 0, 1, …, n, … }有性质： 任意次数不大于n 的多项式 P(x) 必与n+1 正交。 若取 w(x) 为其中的n+1，则n+1的根就是 Gauss 点。
0
1
x f ( x)dx A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 ) ，应有 3 次代数精度。
2 3 2 5 2 7 2 9
代入 f (x) = 1, x, x2, x3 不是线性方程组， 不易求解。
A0 + A1 A0 x0 + A1 x1 2 A0 x0 + A1 x12
第三讲
§1. 高斯求积公式
§1.高斯求积公式 拉格朗日插值
2.1 拉格朗日插值 高斯求积公式
2.2
正交多项式
2.1 拉格朗日插值 2.3 高斯求积公式余项
权函数 构造具有2n+1次代数精度的求积公式求 n b ( x ) f ( x )dx Ak f ( xk )
a k 0
1.1 高斯求积公式
1 dk 2 k Pk ( x ) k ( x 1 ) 2 k ! dxk
(k + 1) Pk +1 (2k + 1) xP 1, P1 x 有递推 由 P0的奇点，用普通 Newton-Cotes 公 k kP k 1 式在端点会出问题。而 Gauss公 以 Pn+1 的根为节点的求积公式称为 Gauss-Legendre 公式。 式可能避免此问题的发生。 1 ② Chebyshev 多项式族： 定义在[1, 1]上， ( x ) 2
bຫໍສະໝຸດ Baidun
n
k 0
k 0
“” 要证明 x0 … xn 为 Gauss 点，即要证公式对任意次 数不大于2n+1 的多项式 Pm(x) 精确成立，即证明：
b
a
b
( x ) Pm ( x )dx Ak Pm ( xk )
k 0 b
a
n
设P m ( x) n +1 ( x)q ( x ) + r ( x )
将节点 x0 … xn 以及系数 A0 … An 都作为待定系数。 令 f (x) = 1, x, x2, …, x2n+1 代入可求解，得到的公式 具有2n+1 次代数精度。这样的节点称为Gauss 点， 公式称为Gauss 型求积公式。
例：求
解：设
1
0
x f ( x )dx 的 2 点 Gauss 公式。
与真值相比，Gauss-Legendre求积公式具有较高的代数精度。
R[ f ] x f ( x)dx Ak f ( xk )/* 设P为f 的过x0 … xn的插值多项式 */
b a
n
1.3
高斯求积公式余项
x f ( x)dx Ak P( xk ) /*只要P 的阶数不大于2n+1，则下一步
R[ f ] x [ f ( x) H ( x)]dx
a
b
b a
f (2 n +1) ( x ) 2 ( x) x dx (2n + 2)!
f (2 n +1) ( ) (2n + 2)!
b a
2 ( x) x dx,
( a, b)
0 满足： ( Pk , Pl ) 2 2 k +1 注意到积分端点 1 可能是积分
kl kl
Tk ( x) cos (k arccosx)
以此为节点构造公式
1 x 2k + 1 Tn+1 的根为 x cos k 2n + 2 k = 0, …, n
再解上例：0 x f ( x)dx A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
Step 1：构造正交多项式2
1
设 0 ( x) 1, 1 ( x) x + a, 2 ( x) x 2 + bx + c
( 0 ,1 ) 0
1 0
x ( x + a )dx 0 a
利用此公式计算
1
0
xe x dx的值
1
0
xe x dx A0e x0 + A1e x1 0.3891 e0.8212 + 0.2776 e0.2899 1.2555
注：构造正交多项式也可以参考第五版第三章
特殊正交多项式族：
1.2
正交多项式
① Legendre 多项式族： 定义在[1, 1]上， ( x ) 1
3 5
( 0 ,1 ) 0 ( 1 , 2 ) 0
2
1 0 1 0
x ( x + bx + c )dx 0
2
10 5 即： 2 ( x ) x x + 9 21
3 x ( x )( x + bx + c )dx 0 5
10 9 5 c 21
b
2
1
1 1 x
1
f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
n
称为 Gauss-Chebyshev 公式。
1.2
正交多项式
例：试用Gauss-Legendre求积公式，计算定积分 21 I dx 1 x 1 3 1 1 x + t 解：令 ，则 I dt 1 t + 3 2 2 I = Ln2 = 0.69314718 （1）当n+1=3时， 5 1 1 8 1 I I3 ( + )+ 9 0.7745966692 + 3 0.7745966692 +3 9 0+3 0.693121693 （2）当n+1=5时，I I 5 0.69314757
Step 2：求2 = 0 的 2 个根，即为 Gauss 点 x0 ，x1
1.2
正交多项式
x0;1
10 / 9 (10 / 9)2 20 / 21 解线性方程组， 2 简单。
Step 3：代入 f (x) = 1, x 以求解 A0 ，A1
, A1 0.2776 结果与前一方法相同：x0 0.8212, x1 0.2899, A0 0.3891