单因素方差分析方法.

单因素方差分析方法

首先在单因素试验结果的基础上，求出总方差V 、组内方差

v

w

、组间方差

v

B

。

总方差 v=

()2

ij

x x -∑

组内方差 v w =()2

ij x x i

-∑ 组间方差 v B

=b ()2

i

x x -∑

从公式可以看出，总方差衡量的是所有观测值x

ij

对总均值x 的偏离程度，反映了抽样随

机误差的大小，组内方差衡量的是所有观测值x

ij

对组均值x 的偏离程度，而组间方差则衡

量的是组均值

x i

对总均值x 的偏离程度，反映系统的误差。

在此基础上，还可以得到组间均方差和组内均方差： 组间均方差

2B

s ∧=

1

B

-a v

组内均方差 2

w

s

∧=

a

ab v

w

-

在方差相等的假定下，要检验n 个总体的均值是否相等，须首先给定原假设和备择假设。 原假设 H 0

：均值相等即μ1

=μ

2

=…=

μ

n

备择假设

H 1

：均值不完全不相等

则可以应用F 统计量进行方差检验：

F=)()(b ab a v

v w

--1B =2

2

∧∧

s

s W

B

该统计量服从分子自由度a-1，分母自由度为ab-a 的F 分布。

给定显著性水平a ，如果根据样本计算出的F 统计量的值小于等于临界值)(a ab 1a F --，

α，则说明原假设

H 0

不成立，总体均值不完全相等，差异并非仅由随机因素引起。

下面通过举例说明如何在Excel 中实现单因素方差分析。 例1：单因素方差分析

某化肥生产商需要检验三种新产品的效果，在同一地区选取3块同样大小的农田进行试验，甲农田中使用甲化肥，在乙农田使用乙化肥，在丙地使用丙化肥，得到6次试验的结果如表2所示，试在0.05的显著性水平下分析甲乙丙化肥的肥效是否存在差异。 表2 三块农田的产量

要检验三种化肥的肥效是否存在显著差异，等同于检验三者产量的均值是否相等：给定原假设

H 0

：三者产量均值相等；备择假设H 1

：三者的产量均不相等，对于影响产量的因素仅

化肥种类一项，因此可以采用单因素方差分析进行多总体样本均值检验。 ⑴新建工作表“例1”，分别单击B3：D8单元格，输入表2的产量数值。

⑵计算组均值，对应甲的均值，单击B9单元格，在编辑栏输入“=A VERAGE （B3：B8）”，再次单击B9单元格，拖曳鼠标至D9单元格，求出乙和丙的组均值。 ⑶计算总均值，单击B10单元格，在编辑栏输入“=A VERAGE （B9：D9）”。计算机结果如图1所示

图1

⑷计算

()2

i

ij

x x -，并求各组的组内方差v w

的值。

求甲组()2

i

ij x x -的值，单击B14单元格，在编辑栏输入“=（B3-$B$9）^2”。再次单击

B14单元格，拖曳鼠标至B19单元格。 求乙组

()2

i

ij

x x -的值，单击C14单元格，在编辑栏输入“=（C3-$C$9）^2”。再次单

击C14单元格，拖曳鼠标至C19单元格。 求丙组

()2

i

ij

x x -的值，单击D14单元格，在编辑栏输入“=（D3-$D$9）^2”。再次单

击D14单元格，拖曳鼠标至D19单元格。 计算

v

w

的值，单击C20单元格，在编辑栏输入“=SUM （B14：D19）”。计算结果如图

2所示。

图3

x i-的值，单击B24单元格，在编辑栏输入“=（B9-＄B＄10）⑸根据组均值和总均值求()2x

^2”。再次单击B24单元格，拖曳鼠标至D24单元格，求出三个组的值。

⑹计算组间方差V B，单击C25单元格，在编辑栏输入“=6*SUM(B24:D24)”。计算结果如图3所示。

图3

⑺计算F统计量的值，单击C28单元格，在编辑栏输入“=C25/（C27-1）/（C20/（C27*E27-C27））”。

⑻计算F a的值，单击C30单元格，在编辑栏输入“=FINV（C29，C27-1，C27*E27-C27）”。

⑼根据临界值给出的检验结果，单击C31单元格，在编辑栏输入“=IF（C28>C30,”三者产量均值不完全相等”,”三者产量均值相等”）”。

最终结果如图4所示。

从图4中可以看出，运用单因素方差分析，接受了原假设H0，因此在0.05的显著性水平下可以认为三者的均值相等，即三者的肥效无显著差异。

图4

二、方差分析表

在实际工作中，常常将上面的方差分析的过程归纳为一张表格，通过这张表格可以直观地显示出方差分析过程中各个参数的值。

方差分析表作为一种默认的方差分析形式，被许多软件作为方差分析的结果输出。后面介绍的Excel单因素分析工具的结果输出中，最终便是以方差分析的形式给出分析结果。

对应方差分析的结构如表3所示，其中对于组间方差v w的计算可直接根据公式v w=v-v B给出。

例2 方案分析表

某公司研制出了A、B、C、D4种新型生产设备，让6个熟练工人分别操作相同的时间，统计他们生产的零件的数量如表4所示，试在0.01的显著水平下检验这4种设备单位时间生产的零件数是否存在显著差异。

表4 4种机器生产的零件数量