2015届高考数学总复习第九章 平面解析几何第6课时 椭圆(1)课时训练

第九章 平面解析几何第6课时 椭 圆(1)
1. 已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是________． 答案：x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216
＝1 解析：∵ a ＝4，e ＝34
，∴ c ＝3.∴ b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7. ∴ 椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1. 2. 2＜m ＜6是方程x 2m －2＋y 26－m
＝1表示椭圆的________条件． 答案：必要不充分
解析：若x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，6－m ＞0，m －2≠6－m ， ∴ 2＜m ＜6且m ≠4，故2＜m ＜6是x 2m －2＋y 2
6－m
＝1表示椭圆的必要不充分条件． 3. 已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．
答案：3
解析：依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|·|PF 2|＝18，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，
可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故b ＝3. 4. 椭圆x 29＋y 22
＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2＝________．
答案：2 120°
解析：∵a 2＝9，b 2＝2，∴c ＝a 2－b 2＝9－2＝7，∴|F 1F 2|＝27.又|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝2.又由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝22＋42－（27）22×2×4
＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.
5. 已知椭圆x 210－m ＋y 2
m －2
＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m ＝________． 答案：8
解析：将椭圆的方程转化为标准形式为y 2（m －2）2＋x 2（10－m ）2
＝1，显然m －2>10－m>0，即10>m>6.(m －2)2－(10－m)2＝22，解得m ＝8.
6. 设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2
上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．
答案：34
解析：由题意可得PF 2＝F 1F 2，
∴ 2⎝⎛⎭⎫32a －c ＝2c ，∴ 3a ＝4c ，∴ e ＝34
. 7. 已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的两顶点为A(a ，0)，B(0，b)，且左焦点为F ，△FAB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为________.
答案：5－12
解析：由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c)2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52
.又e ＞0，故所求的椭圆的离心率为5－12
. 8. 已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)和椭圆C 2：x 2a 22＋y 2
b 22
＝1(a 2＞b 2＞0)的焦点相同且a 1＞a 2.给出如下四个结论：
① 椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点；② a 21－a 22＝b 21－b 22；③ a 1a 2＞b 1b 2
；④ a 1－a 2＜b 1－b 2.
其中，所有正确的结论是________．(填序号)
答案：①②④
解析：由已知条件可得a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21－a 22＝b 21－b 22，而a 1＞a 2，可知两椭圆无
公共点，即①正确；又a 21－a 22＝b 21－b 22，知②正确；由a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21＋b 22＝b 21＋a 22，
则a 1b 2，a 2b 1的大小关系不确定，a 1a 2＞b 1b 2
不正确，即③不正确；∵ a 1＞b 1＞0，a 2＞b 2＞0，∴ a 1＋a 2＞b 1＋b 2＞0，又由(a 1＋a 2)·(a 1－a 2)＝(b 1＋b 2)(b 1－b 2)，可得a 1－a 2＜b 1－b 2，即④正确．综上可得，正确的结论序号为①②④. 9. 已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为63
，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)．
(1) 求椭圆G 的方程；
(2) 求△PAB 的面积． 解：(1) 由已知得c ＝22，c a ＝63
， 解得a ＝2 3.
又b 2＝a 2－c 2＝4，
所以椭圆G 的方程为x 212＋y 2
4
＝1. (2) 设直线l 的方程为y ＝x ＋m.
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1
得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E(x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4
. 因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB.
所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4
＝－1，解得m ＝2. 此时方程①为4x 2＋12x ＝0，解得x 1＝－3，x 2＝0.
所以y 1＝－1，y 2＝2.
所以AB ＝3 2.此时，点P(－3，2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2
＝322， 所以△PAB 的面积S ＝12AB ·d ＝92. 10. 若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy
中，已知椭圆C 1：x 26＋y 2
3
＝1，A 1、A 2分别为椭圆C 1的左、右顶点．椭圆C 2以线段A 1A 2为短轴且与椭圆C 1为“相似椭圆”．
(1) 求椭圆C 2的方程；
(2) 设P 为椭圆C 2上异于A 1、A 2的任意一点，过P 作PQ ⊥x 轴，垂足为Q ，线段PQ 交椭圆C 1于点
H.求证：H 为△PA 1A 2的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)
(1) 解：由题意可知A 1(－6，0)，A 2(6，0)，椭圆C 1的离心率e ＝
22
.设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a>b>0)，则b ＝ 6.因为b a ＝1－e 2＝22，所以a ＝2 3.所以椭圆C 2的方程为y 212＋x 26＝1. (2) 证明：设P(x 0，y 0)，y 0≠0，则y 2012＋x 206＝1，从而y 20＝12－2x 20.将x ＝x 0代入x 26＋y 23＝1，得x 206＋y 23＝1，从而y 2＝3－x 202＝y 204，即y ＝±y 02.因为P 、H 在x 轴的同侧，所以取y ＝y 02
，即H ⎝⎛⎭⎫x 0，y 02.所以k AP ·k AH ＝y 0x 0－6·12y 0x 0＋6＝y 202（x 20－6）＝12－2x 202（x 20－6）
＝－1，从而A 2P ⊥A 1H.又PH ⊥A 1A 2，所以H 为△PA 1A 2的垂心．
11. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F(1，0)，且离心率为12
. (1) 求椭圆C 的方程；
(2) 设经过点F 的直线交椭圆C 于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P(0，y 0)，求y 0的取值范围．
解：(1) 设椭圆C 的半焦距是c.
依题意，得c ＝1.
因为椭圆C 的离心率为12，所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1. (2) 当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.
当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k(x －1)(k ≠0)．
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，
消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q(x 3，y 3)，
则x 1＋x 2＝8k 2
3＋4k 2.
所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 2
3＋4k 2，y 3＝k(x 3－1)＝－3k 3＋4k 2
. 线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k 3＋4k 2
＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －4k 23＋4k 2. 在上述方程中，令x ＝0，得y 0＝k 3＋4k 2＝13k
＋4k . 当k ＜0时，3k ＋4k ≤－43；当k ＞0时，3k
＋4k ≥4 3. 所以－312≤y 0＜0或0＜y 0≤312
. 综上，y 0的取值范围是⎣⎡⎦⎤－312，3
12.。