第一章 绪论

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• 第六版：1-5， 1-10, 1-11，1-12
三、误差的分类
在相同条件下， 多次测量同一 量值时，该误 系统误差 差的绝对值和 符号保持不变， 或者在条件改 变时，按某一 确定规律变化 的误差。
已定系统误差
按掌握 程度
未定系统误差
不变系统误差 按出现 规律 变化系统误差
误 差
随机误差
在相同测量条件下，多次测量同一量值时， 绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。
对于具体测量，精密度高的准确度不一定高，准 确度高度精密度不一定高。但是，精确度高的，精密 度和准确度都高。
弹着点全部在靶上， 但分散。相当于系 统误差小而随机误 差大，即精密度低， 准确度高。
弹着点集中，但偏向 一方，命中率不高。 相当于系统误差大而 随机误差小，即精密 度高，准确度低。
弹着点集中靶心。相 当于系统误差与随机 误差均小，即精密度、 准确度都高，从而精 确度亦高。
rx 2
xm 1 100% 100% 1.25% x2 80 xm 1 rx 3 100% 100% 5% x3 20
可见，在同一标称范 围内，测量值越小， 其相对误差越大。
二、误差的来源 测量的任何环节 都可能产生误差
测量装置误差 标准量具误差
信息技术包括测量技术、计算 机技术、通信技术。其中测量技术 是信息技术的关键和基础。 ——钱学森（1911-2009）
可见，测量对科学与技术的发展具有至关 重要的意义
在一定程度上，测量技术的水平反映了科学技 术和生产发展的水平。而测量技术的水平正是以测 量精度作为其主要标志。误差理论就是解决对测量 进行科学、准确评价的理论。测量技术进步的过程 就是克服误差的过程。
1. 测量与误差
测量是人类认识世界和改造世界的一种必不可少的 重要手段，是人类探索自然、打开未来知识宝库的 钥匙。可以说，人类对自然界的认识是从测量开始 的。
科学始于测量。没有测量，便 没有精密的科学。 —— 门捷列夫（Д. И. Менделеев, 1834-1907，俄国）
当你能够测量你所关注的事物 并且能够用数量来描述它时，你就 对它有所认识；当你不能测量它， 也不能将其量化时，你对它的了解 是贫乏和不深入的。 —— 开尔文（Lord Kelvin,18241907， 英国）
③ 正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和 测量方法，以便在最经济条件下得到理想的结果。
二、误差的基本概念
一、误差的定义及表示方法 （一）绝对误差 绝对误差 = 测得值 - 真值 （1.3）
真值：在观测一个量时，该量本身所具有的真实 大小。真值是一个理想概念，一般是未知的。 在实际测量中，真值常用实际值代替，即满足规 定精度的测量值。如在检定工作中，把高一等级精度 的标准所测得的量值称为实际值。
指明显超出统计规律预期值的误差。又称 为疏忽误差、过失误差，简称粗差。
粗大误差
系统误差和随机误差的定义是科学严谨，不能混 淆的。但在测量实践中，由于误差划分的人为性和条 件性，使得他们并不是一成不变的，在一定条件下可 以相互转化。也就是说一个具体误差究竟属于哪一类， 应根据所考察的实际问题和具体条件，经分析和实验 后确定。 例如一块电表，它的刻度误差在制造时可能是随 机的，但用其中一块电表来校准一批其它电表时，该 电表的刻度误差就会造成被校准的这一批电表的系统 误差。又如，由于电表刻度不准，用它来测量某电源 的电压时必带来系统误差。但如果采用很多块电表测 此电压，由于每一块电表的刻度误差有大有小，有正 有负，就使得这些测量误差具有随机性。
s 1.0， xm 100 A, x1 100 A, x2 80 A, x3 20 A
由公式1可知，最大绝对误差为
xm xm s% 100 1.0% 1 A
不同测量点的最大相对误差分别为 xm 1 rx1 100% 100% 1% x1 100
误差分析与数据处理
主讲：郭宇骞
• 电 • 邮 话: 箱: 15074917920 gyuqian@csu.edu.cn
• 学术主页： http://www.escience.cn/people/GuoYuqian
课程任务：
培养学生掌握测试与实验数据处理的基本理 论与方法，正确估计被测量的值，科学客观地评 价测量结果，并根据测试对象的精度要求，对测 试与实验方法进行合理设计，为后续专业课程及 实验环节奠定理论基础。
4. 在近似数平方或开方运算时，近似数的选取与乘 除运算相同。
5. 在对数运算时，n位有效数字的数据应该用n位对数 表，或用（n+1）位对数表，以免损失精度。 6. 三角函数运算时，所取函数值Biblioteka Baidu位数应随角度误差 的减小而增多，其对应关系：
角度误差 函数值位数 10” 5 1” 6 0.1” 7 0.01” 8
四、有效数字与数据运算
差之毫厘，失之千里！
可靠数字
不可靠数字
测量结果保留位数的原则：最末一位数字是 不可靠的，而倒数第二位数字是可靠的。
在进行重要的测量时，测量结果和测量误差 可比上述原则再多取一位数字作为参考。
可靠数字 不可靠数字
参考数字
• 数字舍入规则：对于位数很多的近似数，当 有效数字确定后，其后面多余的数字应予舍 去，而保留的有效数字最末尾数字应按下面 的舍入规则凑整： ① 若舍去部分的数值，大于保留部分末位 的半个单位，则末位加 1； ② 若舍去部分的数值，小于保留部分末位 的半个单位，则末位不变； ③ 若舍去部分的数值，等于保留部分末位 的半个单位，则末位凑成偶数； 注意与通常四舍五入规则的区别！
• 例子：将下列数据保留4位有效数字
原有数据 3.4159 2.71729 4.51050 3.21550 6.378501 7.691499 5.43460 舍入后数据 3.142 2.717 4.510 3.216 6.379 7.691 5.435
通常四舍五入规则见 5 就入，会使得最后 结果偏向于大数，产生系统误差。而修改后的 规则使舍入误差为均值为零的随机误差。
xm xm s%
测量x点产生的最大相对误差为 xm xm rx s% x x
绝对误差的最大值与该 仪表的标称范围（或量 程）上限xm成正比 选定仪表后，被测量的 值x 越接近于标称范围 （或量程）上限，测量 的相对误差越小，测量 越准确
例
检定一只2.5级、量程为100V的电压表，发现在 50V处误差最大，其值为2V，而其他刻度处的误差均 小于2V，问这只电压表是否合格？ 【解】 由公式1，该电压表的引用误差为
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教材： 教材 ：
《误差理论与数据处理 误差理论与数据处理》 》（第6版） 费业泰主编 费业 泰主编 机械工业出版社 机械 工业出版社
参考书
《误差分析与数据处理》，吴石林， 清华大学出版社，2010
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第一章 绪论
1. 2. 3. 4. 研究误差的意义 误差的基本概念 精度 有效数字与数据运算
一、研究误差的意义
不同时期长度测量精度 时期 测量精度 （m） 19世纪初 20世纪初 20世纪50年代 20世纪80年代
参与测量的五要素： 测量装置、测量人员、测量方法、测量环境、 被测对象。
由于每个要素都不可能完美无缺，使得测量结 果与真实值之间存在差异。这个差异反映在数学上 就是测量误差。
测量结果都具有误差，误差自始自终存在 于一切科学试验和测量过程中。误差具有普遍 性和必然性。
例
用某水银温度计测得某一温度为20.3℃，该温
度用高一等级的温度计测得值为20.2 ℃，则该水
银温度计测量结果的相对误差为：
0.1 0.1 r 0.5% 20.2 20.3
引用误差是仪表中通用的一种误差表示方法
电工仪表、压力表的准确度等级
我国电工仪表、压力表的准确度等级（Accuracy Class）就是按照最大引用误差进行分级的。 当一个仪表的等级s选定后，用此表测量某一被 测量时，所产生的最大绝对误差为
2 研究误差分析与数据处理的理论意义：促进科学理 论的发展。
误差分析和处理能直接应用于科学理论的检验
在科学领域，某些重大的发现是运用误差理 论直接对测量结果进行分析研究而发现的
2 研究误差分析与数据处理的实践意义 ① 正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以 消除或减小误差； ② 正确处理测量数据，合理计算所得结果，以便在 一定条件下得到更接近真实值的数据；
U m 2 rm 2% U m 100
由于
2% 2.5% ，所以该电压表合格。
50
在50v处的相对误差： r 2 4%
例
某1.0级电流表，满度值(标称范围上限）为100μA. (1)求最大绝对误差; (2)求测量值分别为100μA ，80μA和 20μA时的最大相对误差。 【解】 根据题意得
• 数据运算规则
1. 在近似数运算时，为了保证最后结果有尽可能高 的精度，所有参与运算的数字，在有效数字后可 多保留一维数字作为参考数字（或称为安全数 字）。
2. 在近似数做加减运算时，各运算数据以小数位数 最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位小 数，但最后结果应与小数位数最少的数据小数位 相同。 3. 在近似数乘除运算时，各运算数据以有效位数最 少的数据位数为准，其余各数据可多取一位有效 数，但最后结果应与有效位数最少的数据位数相 同。
仪器误差
以固定形式复现标 准量值的器具，如 标准量块、标准电 池、标准电阻、标 准砝码等。 直接或间接将被 测量值与已知量 进行比较的的器 具设备，如天平、 压力表、温度计 等 仪器的附件及附 属工具，如测长 仪的标准环规、 千分尺的调整量 棒等。
误 差 的 来 源
环境误差
附件误差
方法误差
人员误差
由于环境因素与规 定的标准状态不一 致引起测量装置和 被测量本身的变换 造成的误差 ，如温 度、气压、振动、 照明、磁场等。
由于真值难以得到，修正值本身也有误差， 因此，修正后只能得到较测得值更为准确的结果。
例
测得值
用某电压表测量电压，电压表的示值为226V，
查该表的检定证书，得知该电压表在220V 附
近的误差为5V ，被测电压的修正值为－5V ，
则修正后的测量结果为226+(－5V )=221V。 绝对误差 真值
对于相同的被测量，绝对误差可以评定测量精 度高低。但对于不同的被测量以及不同的物理量， 可以采用相对误差来评定测量精度。
第1章 绪论
教学安排： 讲授32学时 考核方式： 待定
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先修课程：
线性代数、概率论和数理统计、电路理论、电 线性代数、概率论和数理统计 、电路理论、电 子电工实验等
课程目标：
• • • • • 对误差理论体系有一个全面的把握 误差理论体系有一个全面的把握； ； 掌握误差的概念、性质及分类方法 掌握 误差的概念、性质及分类方法； ； 掌握误差处理的基本方法 掌握 误差处理的基本方法； ； 掌握利用最小二乘法进行参数估计的 掌握 利用最小二乘法进行参数估计的方法； 方法； 掌握线性回归方法处理测量数据方法 掌握 线性回归方法处理测量数据方法； ；
三、精度
精度：反映 测量结果和 真值接近程 度的量。它 与误差的大 小相对应。
准确度（Correctness）：测量结果和真值间 的偏离程度。反映测量结果中系统误差的的 影响。 精密度 （Precision）：测量数据之间的分散 程度。反映测量结果中随机误差的影响。 精确度 （Accuracy）：表示测量结果与被测 量真值之间的一致程度。就误差分析而言， 精确度是测量结果中系统误差和随机误差的 综合，误差大，则精确度低，误差小，则精 确度高。