正定二次型

Ep A与B具有相同的规范形 Eq
O
A与B具有相同的秩和正惯性指数.
注：秩和正惯性指数是实对称矩阵合同关系 的完全不变量.
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第五章 二次型
例1. 平面上二次曲线的分类. 设 f(x,y) = ax2+bxy+cy2
§5.3 正定二次型
f(x,y) =1是椭圆 r( f )=2, 正惯性指数 2
负惯性指数 q个负的
则r, p, q由二次型唯一决定, 与P的选择无关.
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第五章 二次型
§5.1例3. 回忆
001 010 100
100 001 010
1/ 3 0 0 0 1/2 0 0 01
4 0 0 000 003
30 0 00 0 0 0 4
300 0 4 0 000
100 0 1 0 000
(1) A是正定矩阵;
(2) A的正惯性指数为n;
(3) A的特征值均大于零;
(4) A与E合同;
(5) 存在可逆矩阵P, 使得A = PTP;
推论. A正定 |A| > 0.
|A| = 1…n
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第五章 二次型
§5.3 正定二次型
定理5.5 (Sylvester). n阶实对称矩阵A正定
是否正定. 2 0 2
解: f(x1, x2, x3)的矩阵A = 0 4 0 2 0 5
（方法一）特征值
（方法二）Sylvester定理
（方法三）配方法求正惯性指数
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第五章 二次型
§5.3 正定二次型
例5. 对任意的实对称矩阵A, 满足 A2 +3A4E = O，都有aE+A正定， 则a的取值范围是__a_>__4__
§5.3 正定二次型
实二次型 f(x), A正定
∀ x 0 f(x) < 0
f(x), A负定
注 1. f 负定, 则 f 正定, 以下只研究正定.
2. A正定 A实对称.
3. 正定的几何解释： f 正定, f =1是椭圆(或其高维推广).
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第五章 二次型
二. 二次型的正定性 1. 定义: f(x) = xTAx ∀ x 0 f(x) > 0 ∀ x 0 f(x) < 0
0
yn2
p项
q项
r项 且规范形是唯一的.
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第五章 二次型
§5.3 正定二次型
推论2. 设n阶实对称矩阵A的秩为r, 正惯性指
数为p, 则存在可逆矩阵P, 使
1 p
1 1
PTAP =
rp 1
0 nr
0
Ep = Eq .
O
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第五章 二次型
§5.3 正定二次型
推论3. 两个n阶实对称矩阵A与B合同
第五章 二次型
§5.3 正定二次型
一. 惯性定理与规范形
定理5.3. (惯性定理) f(x1, x2, …, xn) = xTAx
可逆线性变换x = Py
d1y12 + d2y22 + … + dnyn2,
d1, …, dn中r个非零 二次型的秩 正惯性指数 p个正的 r = r( f ) = r(A)
A的各阶顺序主子式
1 = a11,
2 =
a11 a21
a12 a22
, …, n = |A|
均大于零.
2 6 4 例如A = 6 3 1 中二阶顺序主子式
4 14
2 =
2 6
6 3
= 30,
故A不是正定的.
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第五章 二次型
§5.3 正定二次型
例4. 判断f(x1, x2, x3) = 2x12 + 4x22 + 5x32 4x1x3
例6. 设M =
12 4 3k
, A = MMT, A正定,
则k的取值范围是__k_≠_1___
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第五章 二次型
§5.3 正定二次型
例7. 设n阶方阵A, B均正定, 且AB = BA,
证明AB也正定.
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f(x,y) =1是双曲线 r( f )=2, 正惯性指数 1
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第五章 二次型
§5.3 正定二次型
例2. 证明 n+2 个 n 阶可逆实对称矩阵 必有两个合同.
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第五章 二次型
二. 二次型的正定性 1. 定义: f(x) = xTAx ∀ x 0 f(x) > 0
§5.3 正定二次型
2. 性质 (1) diag{d1, …, dn}正定i, di > 0. (2) A正定, P可逆 PTAP正定.
(3) Ann, Bnn正定 A + B正定. (4) Ann, Bnn正定, AB是否正定?
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第五章 二次型
§5.3 正定二次型
3. 判定 定理5.4. 设A为n阶实对称矩阵, 则以下等价:
§5.3 正定二次型
001 010 100
100 001 010
1/ 3 0 0 0 1/2 0 0 01
对应二次型的标准形不唯一!
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第五章 二次型
§5.3 正定二次型
推论1. 二次型f(x) = xTAx总可以通过Rn中
的可逆线性变换化为规范形
ห้องสมุดไป่ตู้
f
y12
y2p
y2 p1
yr2
0
y2 r1
§5.3 正定二次型
实二次型 f(x), A正定 f(x), A负定
例3. f(x1, x2 , x3) = x12 + x22 + x32 正定
f(x1, x2 , x3) = x12 + x22 x32 不是正定
f(x1, x2 , x3) = x12 + x22
不是正定
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第五章 二次型