正余弦定理1课件

教学目标：
正余弦定理
1、进一步熟悉正余弦定理内容;
2、能够应用正余弦定理进行边角关系的相互转化;
3、能够利用正余弦定理判断三角形的形状;
4、能够利用正余弦定理证明三角形中的三角恒等式。
教学重点：利用正余弦定理进行边角互换。
难点：
1、利用正余弦定理进行边角互换时的转化方向 2、三角恒等式证明中结论与条件之间 的内在联系 的寻求。
正弦定理： a = b = c sinA sin B sin C
余弦定理
a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC
b2 +c2 -a2 cos A=
2bc a2 +c2 -b2 cos B=
2ac a2 +b2 -c2 cos C=
2ab
解三角形中常用关系式
A+B+C= sinA+B =sinC, cosA+B =-cosC
sin A+B = cos C ，cos A+B = sin C
2
2
2
2
SABC
=
1 2
ab
sin
C=2R
2
sin
A
sin
B
sin
C
角平分线性质
A 圆内接四边形对角互补D
BD = AB
1 2 A+C=
C
CD AC
B+D=
B
C D
A B
随堂练习
1、在ABC中， a = b = c =k,那么k= A sin A sin B sin C
A、2R B、R C、4R
R是ABC外接圆半径
D、1 R 2
2、在△ABC中，bcosA=acosB,则三角形为 C A、直角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形
3、在△ABC中，若a=6,b=7,c=8,则△ABC的形状是 A
A、锐角三角形
B、钝角三角形
C、直角三角形
D、无法确定
4、在△ABC中，下列命题正确的是 D
A、若 sin A= 1 A=30 2
B、若cosA= 1 A=30 2
C、若a=7,b=6,c=10,则C为锐角
D、满足a=18,b=20,A=150o的△ABC一定不存在 5、在△ABC中，cosAcosB>sinAsinB,则△ABC为 C
A、等边三角形 B、直角三角形
C、等腰三角形 D、等腰三角形或直角三角形 （事实上，C为钝角，只有C项适合）
6、在△ABC中，sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C,则A等于
A、30o B、60o
C、120o D、150o C
7、在ABC中，已知B=30 ,b=50 3,c=150,那么ABC是
A、等边三角形 B、直角三角形
D
C、等腰三角形 D、等腰三角形或直角三角形 8、在ABC中，“A>30 ”是“sinA> 1 ”的 B
2
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
9、ABC中，tanA = sin A ,那么三角形是_等__腰___三__角__形_
tanB sin B
10、在△ABC中，A、B均为锐角，且cosA>sinB,则 △ABC是__钝__角__三__角__形____即_ sin(900 A) sin B 11、在ABC中，sinA=2cosBsinC,那么ABC 是___等__腰__三__角_形_____
12、已知ABC中，AB= a2 +b2 ,AC= a2 +c2 ,BC= b2 +c2 ,
其中a,b,c>0,那么ABC是__锐__角三角形。
例1、在ABC中，已知a=4,b=5,SABC=5 3,求c的值。 解：S= 1 ab sin C, a=4,b=5,S=5 3 （三维） 2 sin C= 2S = 3 C=60 或120 ab 2 C=60 c2 =a2 +b2 -2abcosC=16+25-20=21 c= 21 C=120 c2 =a2 +b2 -2abcosC=16+25+20=61
c= 61
例2、已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，
BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。 D
解：连接BD
（例1变式）
C
SABCD =SABD +SBCD
1
1
= 2 AB ADsin A+ 2 BC CDsin C A
A+C=180 sin A=sinC
B
1
SABCD = 2 AB
AD+BC
CD sin A=16sin A
BD2 =AB2 +AD2 -2AB ADcos A=CB2 +CD2 +2CB CDcos A
22 +42 -2 2 4cos A=62 +42 +2 6 4cos A
cos A=- 1 sin A= 3
2
2
SABCD =8 3
例3、在ABC中，b2 +c2 -bc=a2和 c = 1 + 3,求A和tan B的值。
b2
（三维）
解：cos A= b2 +c2 -a2 = 1 A=60
2bc 2
1 +
3= c = sin C = sin
120 -B
=
3 cos B+ 1 sin B
2
2
2
b sin B sin B
sin B
1 + 3= 3 cot B+ 1
2
2
2
tan B= 1 2
例4、已知SABC
=1，tan
B=
1 2
,
tan
C=-2,求ABC的
边长和外接圆面积。
（例1变式）
解：tan B= 1 sinB= 5 , cos B= 2 5
2
5
5
tan C=-2 sinC= 2
5 , cos C=-
5
5
5
sin A=sin B+C =sinBcosC+ cos BsinC= 3
5
SABC =1=2R2 sin A sin B sin C=2R2
3 5
5 2 5 = 12 R2 5 5 25
R2 = 25 R= 5 3 S= 25
12
6
12
a=2R sin A= 3, b= 15 , c= 2 15
3
3
例5、在ABC中，a2 +b2 -c2 =ab,且 tan A- tan B = c-b , tan A+ tan B c
试判断三角形的形状。 （三维）
解：
a2 +b2 -c2 cosC=
=1
C=60
2ab 2
tan A- tan B tan A+ tan B
=
sin A cos B-cos A sin B sin A cos B+ cos A sin B
=
sin A-B sin A+B
=
sin A-B
sin C
c-b = sin C- sin B sin C- sin B = sin A-B
c
sin C
sin C
sin C
sinB=sinC-sinA-B =sinA+B-sinA-B =2cos AsinB
cosA= 1 A=60 2
A=B=C=60 三角形ABC是正三角形
例16、a根co据s A所=b给c条os件B ，2判 断三a 角=形AbBC的= 形c状（。例1变式）
cos A cos B cos C
解：1sin Acos A=sinBcosB sin2A=sin2B
2A=2B或2A+2B=180 A=B或A+B=90 ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形 2) a = b = c sin A = sin B = sin C cos A cos B cos C cos A cos B cos C
tanA=tanB=tanC
∴△ABC是等边三角形
小结
1、正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形 的四个元素，如果其中三个元素是已知的(其中至少有 一边)，那么这个三角形一定可解。
2、正弦定理和余弦定理的特殊功能是边角互换，即 利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角
的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决。 3、判断三角形的形状，一般考虑从两个方向进行变
形。一个方向是边，走代数变形之路，通常正、余弦
定理结合使用;另一个方向是角，走三角变形之路，
通常是运用正弦定理，要注意边角转化的桥梁---正、余弦定理。
4、根据条件选用定理可使解题简便 1)已知两角及其中一个角的对边，选用正弦定理，
如已知A,B,a解三角形，则用正弦定理。 2)已知三边a,b,c,一般选用余弦定理求角
3)已知两边和它们的夹角，用余弦定理求第三边
再用正弦定理求角。 4)已知两边和一边的对角，用正弦定理求一个角，
但需要进行讨论，有两解的可能。