正弦函数课件

，
3 a＝－2 解得 b＝1 2
.
正弦函数的奇偶性
＝－sin x 由公式 sin(－x)＝－ － ＝－
正弦函数是奇函数． 正弦函数是奇函数．
图象关于原点成中心对称 .
y
1
x
-3π
− 5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π 2
o
-1
π 2
π
3π 2
2π
5π 2
3π
7π 2
4π
正弦函数的单调性
y
1
上, 是增函数； 是增函数；
上，是减函数. 是减函数
-3π
−
5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π 2
o
-1
x
π 2
π
3π 2
2π
5π 2
3π
7π 2
4π
[例] 求
π y＝sin3x－3的单调区间．
• 复合函数y＝f[g(x)] • 由函数y＝f(t)和函数t＝g(x)复合而成 • 单调性的判定方法是： 当y＝f(t)和t＝g(x)同为增(减)函数时，y＝f[g(x)]为增函数； 当y＝f(t)和t＝g(x)一个为增函数，一个为减函数时，y＝ f[g(x)]为减函数． “同增异减”
最小正周期） 周期（最小正周期）
T =
2π
ω
讲授新课
求下列三角函数的周期： 例. 求下列三角函数的周期：
y = A sin( ω x + ϕ )
T =
2π
ω
取最大值、 例 ：求使函数 y＝2＋sin x 取最大值、最小值 ＝ ＋ 的集合，并求出这个函数的最大值， 的 x 的集合，并求出这个函数的最大值， 最小值和周期 T . 解
当பைடு நூலகம் = 2 k π +
最值
π
2
时，ymax = 1
对称轴： x =
π
2
+ kπ
(k ∈ Z )
对称中心：（kπ， 0） (k ∈ Z )
例
不通过求值，比较下列各式的大小： 不通过求值，比较下列各式的大小：
与
解： π π π π (1)因为－ < − < − < , 且函数 y = sin x在区间 2 10 18 2 π π π π ) < sin( − ), [ − , ]上是增函数 . 所以 sin( − 10 18 2 2
y 1
π
2
−
π
2
o -1
π
3π 2
2π
x
练习： 不求值，比较下列各对正弦值的大小： 练习： 不求值，比较下列各对正弦值的大小： （１） sin( −
π
18 )与 sin( −
π
10
)
2π 3π 与 sin （２） sin 3 4
(2) 列表 列表:
x y=sin x y=1+sin x 0 0 1
π
2
1 2
π
0 1
3π 2
2π
0 1
-1 0
描点得y=1+sin x的图象 描点得 的图象 y 1
y=1+sin x x∈[0,2π] ∈ π
π π ． ． ． ． 2π x ． 0
π
2
3π 2
-1
y=sin x x∈[0,2π] ∈ π
列表: 解 (1)列表 列表 x y=sin x y=-sin x 描点得y=-sin x的图 描点得 的图 象 0 0 0 y 1 π π ． ． ． ． 2π x ． 0
π
2 3π 2
π
2
1 -1 y=sin x x∈[0,2π] ∈ π
π
0 0
3π 2
2π
0 0
-1 1
-1 y=-sin x x∈[0,2π] ∈ π
kπ π － ，0k∈Z 6 2
对称中心坐标为________．[答案]
π [解] ∵函数 y＝sinx，x∈R 的对称轴方程为 x＝kπ＋ ，k∈Z， 2 对称中心坐标为(kπ，0)，k∈Z， π π kπ π ∴令 2x＋ ＝kπ＋ ，得 x＝ ＋ ，k∈Z， 3 2 2 12 π kπ π 令 2x＋ ＝kπ，得 x＝ － ，k∈Z， 3 2 6 π kπ π 故函数 y＝sin(2x＋ )的对称轴方程为 x＝ ＋ ，k∈Z， 3 2 12
kπ π 对称中心坐标为 2 －6，0，k∈Z.
定义域 值域
实数集R 实数集 [-1,1] 2π 奇函数
周期性 奇偶性
单调性
π π 在 2kπ − , 2kπ + （k ∈ Z）上是增函数； 2 2 π 3π 在 2kπ + , 2kπ + (k ∈ Z )上是减函数； 2 2
当且仅当x = 2kπ −
π
2
, k ∈ Z时， x = 1 sin
π
2
, k ∈ Z时， x = −1 sin
设 sin x = t − 3, x ∈ R , 求 t的取值范围。
解：
因为－1 ≤ sin x ≤ 1, 所以
−1 ≤ t − 3 ≤ 1 由此解得 2 ≤ t ≤ 4
设 2 sin x = 4 − m, x ∈ R, 求m 的取值范围。
y
2-
y = 2 + sin x，x ∈ [0，2 π]
1-
o
− 1-
π 2
π
3π 2
2π
x
y = sin x，x ∈ [0，2 π]
π x ∈ {x x = + 2kπ, k ∈ Z }时，y max = 2 + (sin x) max = 2 + 1 = 3, 2 π x ∈ {x x = − + 2kπ, k ∈ Z }时，y min = 2 + (sin x) min = 2 − 1 = 1. 2 T = 2 π.
应的 x 的值．
[解]
当
π sinx＋6＝1
时，
π π 有 x＋ ＝2kπ＋ (k∈Z)． 6 2 π ∴当 x＝2kπ＋ (k∈Z)时，ymin＝1. 3 当
π sinx＋6＝－1，即
π π x＋ ＝2kπ－ (k∈Z)， 6 2
2 即 x＝2kπ－ π(k∈Z)时，ymax＝5. 3
观察正弦函数图象
x sinx
在闭区间
−
π 2
…
0 0
…
π 2
1
…
π
0
…
3π 2
-1
-1
在闭区间
π π− π ，π − + 2kπ,2 + 2kπ, k ∈ Z 2 2 2 3π π π ，3π +2kπ, + 2kπ, k ∈ Z 2 2 2 2
求下列函数的最大值、最小值， 例 ：求下列函数的最大值、最小值，以及使函 数取得最大值、 的集合。 数取得最大值、最小值的自变量 x 的集合。
3 2 (1)y = (sin x − ) − 2 2
( 2)y = − sin
2
x+
5 3 sin x + 4
[例]
π 求函数 y＝3－2sinx＋6的最大值与最小值及相
-
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11 π 6
2π
x 与x轴的交点 交点
( 2 ,1)
(3π −1 2, )
π
( 0 , 0 ) (π , 0 ) (2π ,0)
图象的最低点 最低点
简图作法 (五点作图法)
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
思考与交流:图中,起着关键作用的点 图中,
是那些?找到它们有什么作用呢? 是那些?找到它们有什么作用呢? (0,0 ) π2 , 1 (π ,0 ) 3π ,−1

2

( 2π ,0 )
五点：最高点、最低点、 五点：最高点、最低点、与 x 轴的交点
找到这五个关键点,就可以画出正弦曲线了! 找到这五个关键点,就可以画出正弦曲线了!
y
正弦函数的周期性
1
−π −
π
2
o -1
π
2
π
3π 2
2π
3π
4π
x
图象特点: 图象特点 间隔一定长度图象重复出现 依据： 公式依据： sin( x + 2π ) = sin x 周期性是三角函数的一大特点
最小正周期） 周期（最小正周期） T = 2 π
正弦型函数
y = A sin( ω x + ϕ )
y
1 -4π -3π -2π -π − π o 2 -1
π
2
π
3π 2
2π
3π
4π
5π
6π x
对称轴： x =
π
2
+ kπ
(k ∈ Z )
对称中心：（kπ， 0） (k ∈ Z )
例．函数
π y＝sin2x＋3的对称轴方程为________，
kπ π x＝ 2 ＋12，k∈Z
2π
●
2π
●
0 π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
● ● ● ● ● ●
x
3π 2
-1
y 1
π
2
正弦函数的图象
−
o -1
π
2
π
3π 2
2π
x
y=sinx x∈[0,2π] y y=sinx x∈R
1 -4π -3π -2π -π
正弦曲线
o
-1
π
2π
3π
4π
5π
6π x
y 五点作图法
1-
图象的最高点 最高点
∴函数
即为函数
π π 3π 令 ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z， 2 4 2 3π 7π ∴ ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z， 8 8 ∴函数
π 3π 7π y＝sin4－2x的单调增区间为 8 ＋kπ， 8 ＋kπk∈Z.
正弦函数的对称性
函数 正弦函数的图像与性质 函数
函数 y 1
π
2
−
o -1
π
2
π
3π 2
2π
x
正弦函数y=sinx（x∈ R)的图象 （ 正弦函数 的图象
5π 6
∈
2π 3
π
2
π
3
y
π
6 11π 6
1
●
● ●
●
y=sinx ( x∈[0, 2π ] )
●
π
7π 6 4π 3 5π 3
7π 4π 3π 5π 11π 6 6 3 2 3
如下表 x y=sin x 0 0 y
π
2
1
π
0
3π 2
2π
0
-1
． π ． ． ． ． 2π x ． 0 -1 ．
1
π
3π 2 2
五点法
例题分析
五点法”画出下列函数在区间[0， π 的简图 的简图。 例 用“五点法”画出下列函数在区间 ，2π]的简图。 (1)y=-sin x; (2)y=1+sin x.
y
1 -4π -3π -2π -π
o
-1
π
2π
3π
4π
5π
6π x
周期的概念
一般地， 一般地，对于函数 f (x)，如果存在一个非零常数 T ， ， 取定义域内的每一个值时， 使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f ( x＋T )＝ f (x) ＋ ＝ 就叫做周期函数 周期函数， ，那么函数 f (x) 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个 函数的周期． 函数的周期． 周期 对于一个周期函数， 对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个 最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期 最小正周期． 最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．
π [分析] 令 t＝3x－ ，当 x∈R 时单调递增，所以当函数 y＝sint 递增 3 时，复合函数
π y＝sin3x－3也单调递增；当函数
y＝sint 递减时，复合函数
π y＝sin3x－3也单调递减．
[例] 求
π y＝sin3x－3的单调区间．
π π π 由 2kπ－ ≤3x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z， 2 3 2 2 π 2 5 得 kπ－ ≤x≤ kπ＋ π， 3 18 3 18
2 π 2 5π 故原函数的单调递增区间为3kπ－18，3kπ＋18，k∈Z.
π π 3π 由 2kπ＋ ≤3x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z， 2 3 2 2 5 2k 11 得 kπ＋ π≤x≤ π＋ π， 3 18 3 18 5π 2 11π 2 ， kπ＋ 故原函数的单调递减区间为 kπ+ ，k∈Z. 18 3 18 3
练习：函数
π y＝sin4－2x的单调增区间的________． 3π 7π [答案] 8 ＋kπ， 8 ＋kπk∈Z
[解]
π π y＝sin4－2x＝－sin2x－4， π y＝sin4－2x的单调增区间， π y＝sin2x－4的单调减区间，
练习：函数y＝asinx＋b的最大值为2，最小值为－1， 则a＝________，b＝________.
[解] 当 a>0 时，由题意得
3 3 [答案] 或－ 2 2 1 2
3 a＋b＝2 a＝2 ，解得 －a＋b＝－1 b＝1 2 当 a<0
.
－a＋b＝2 时，由题意，得 a＋b＝－1
正弦函数y=sinx 的定义域、值域 的定义域、 正弦函数
y
1 -4π -3π -2π -π − π o 2 -1
π
2
π
3π 2
2π
3π
4π
5π
6π x
定义域： 定义域： 实数集 R 值域： 值域： | sinx |≤1 ⇔ −1 ≤ sin x ≤ 1
即值域为[-1,1] 即值域为
当且仅当x = 2kπ +